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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Häufungspunkt Definition,äquiv
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Häufungspunkt Definition,äquiv: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:50 Sa 03.10.2015
Autor: sissile

Aufgabe
In der Einführung in die Analysis wird der Häufungspunkt definiert als:
(1) Sei A [mm] \subseteq \mathbb{R} [/mm] und a [mm] \in \mathbb{R}: [/mm]
a ist ein Häufungspunkt von A: [mm] \forall \epsilon>0: U_{\epsilon} [/mm] (a) [mm] \cap [/mm] A enthält unendlich viele Punkte.

In der Einführung in die Topologie wird ein Häufungspunkt so definiert:
(X,O) Topologischer Raum, a [mm] \in [/mm] X, A [mm] \subseteq [/mm] X
a Häufungspunkt von A: [mm] \forall [/mm] U [mm] \in U_a: [/mm] U [mm] \cap [/mm] (A [mm] \setminus\{a\}) \not=\emptyset [/mm]


Wenn ich die topologische Definition für den topologischen Raum [mm] (\mathbb{R},O_n) [/mm] aufschreibe:
(2) A [mm] \subseteq \mathbb{R}, [/mm] a [mm] \in \mathbb{R} [/mm]
a Häufungspunkt von A: [mm] \forall \epsilon>0: U_{\epsilon} [/mm] (a) [mm] \cap [/mm] (A [mm] \setminus\{a\}) \not=\emptyset [/mm]

Frage 1): Sind die beiden Definitionen äquivalent in [mm] \mathbb{R}? [/mm]
Frage 2): Sind in topologischen Räumen die Definition oben und und die Definition, dass  a heißt Häufungspunkt ist, falls in jeder noch so kleinen Umgebung des Punktes unendlich viele Folgenglieder liegen äquivalent? Oder würde man da Folgenglieder durch Netzglieder vertauschen?

Hallo,
Eine Frage die schon mehrmals bei mir aufkam.
Bezüglich 1) Es ist klar aus (1) [mm] \Rightarrow [/mm] (2). Aber gilt auch die Rückrichtung?

Kann auch sein, dass es eine Trivialität ist, die mir nie aufgefallen ist :O

Ich würde mich sehr freuen auf eine Aufklärung bezüglich der beiden Definitionen.
LG,
sissi

        
Bezug
Häufungspunkt Definition,äquiv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 Sa 03.10.2015
Autor: fred97


> In der Einführung in die Analysis wird der Häufungspunkt
> definiert als:
>  (1) Sei A [mm]\subseteq \mathbb{R}[/mm] und a [mm]\in \mathbb{R}:[/mm]
>  a
> ist ein Häufungspunkt von A: [mm]\forall \epsilon>0: U_{\epsilon}[/mm]
> (a) [mm]\cap[/mm] A enthält unendlich viele Punkte.
>  
> In der Einführung in die Topologie wird ein Häufungspunkt
> so definiert:
>  (X,O) Topologischer Raum, a [mm]\in[/mm] X, A [mm]\subseteq[/mm] X
>  a Häufungspunkt von A: [mm]\forall[/mm] U [mm]\in U_a:[/mm] U [mm]\cap[/mm] (A
> [mm]\setminus\{a\}) \not=\emptyset[/mm]
>  
>
> Wenn ich die topologische Definition für den topologischen
> Raum [mm](\mathbb{R},O_n)[/mm] aufschreibe:
>  (2) A [mm]\subseteq \mathbb{R},[/mm] a [mm]\in \mathbb{R}[/mm]
>  a
> Häufungspunkt von A: [mm]\forall \epsilon>0: U_{\epsilon}[/mm] (a)
> [mm]\cap[/mm] (A [mm]\setminus\{a\}) \not=\emptyset[/mm]
>  
> Frage 1): Sind die beiden Definitionen äquivalent in
> [mm]\mathbb{R}?[/mm]

Ja.


>  Frage 2): Sind in topologischen Räumen die Definition
> oben und und die Definition, dass  a heißt Häufungspunkt
> ist, falls in jeder noch so kleinen Umgebung des Punktes
> unendlich viele Folgenglieder liegen äquivalent? Oder
> würde man da Folgenglieder durch Netzglieder vertauschen?

In allgemeinen top. Räumen kommst Du mit Folgen nicht aus ! Da brauchst Du schon Netze oder Filter.


>  Hallo,
>  Eine Frage die schon mehrmals bei mir aufkam.
>  Bezüglich 1) Es ist klar aus (1) [mm]\Rightarrow[/mm] (2). Aber
> gilt auch die Rückrichtung?


Wir sind also in [mm] \IR [/mm] und es gelte (2).

Sei [mm] $\epsilon>0$. [/mm] Nach Vor. enthält $ [mm] U_{\epsilon} [/mm] (a) [mm] \cap [/mm]  A$ mindestens ein Element [mm] a_1. [/mm]

Ebenso enthält $ [mm] U_{\epsilon/2} [/mm] (a) [mm] \cap [/mm]  A$  mindestens ein Element [mm] a_2. [/mm]

Genauso enthält $ [mm] U_{\epsilon/3} [/mm] (a) [mm] \cap [/mm]  A$  mindestens ein Element [mm] a_3. [/mm]

Etc.... Nun überzeuge Dich davon, dass die Menge [mm] \{a_1,a_2,a_3,.... \} [/mm] nicht endlich ist.

FRED

>  
> Kann auch sein, dass es eine Trivialität ist, die mir nie
> aufgefallen ist :O
>  
> Ich würde mich sehr freuen auf eine Aufklärung bezüglich
> der beiden Definitionen.
>  LG,
>  sissi


Bezug
                
Bezug
Häufungspunkt Definition,äquiv: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:08 So 04.10.2015
Autor: sissile

Hallo Fred,
Danke für deine Antwort. Aber woher weißt du, dass [mm] a_1,a_2,.. [/mm] alle verschieden sind?

Mein Versuch wäre:
Angenommen [mm] \exists \epsilon_0>0: U_{\epsilon_0}(a) \cap [/mm] A enthält nur endlich viele Punkte [mm] \{a_1,a_2,..,a_n\}, [/mm] die ungleich a sind.
Sei [mm] \overline{\epsilon}:= [/mm] min [mm] \{|a_i-a|: i \in \{1,..,n\}\} [/mm]
So folgt [mm] U_{\frac{\overline{\epsilon}}{2}}(a) \cap (A\setminus \{a\})= \emptyset \rightarrow [/mm] Widerspruch zu 2.

Und der Beweis gilt modifiziert natürlich in allen metrischen Räumen.

LG,
sissi


Bezug
                        
Bezug
Häufungspunkt Definition,äquiv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:58 Mo 05.10.2015
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  Danke für deine Antwort. Aber woher weißt du, dass
> [mm]a_1,a_2,..[/mm] alle verschieden sind?
>
> Mein Versuch wäre:
>  Angenommen [mm]\exists \epsilon_0>0: U_{\epsilon_0}(a) \cap[/mm] A
> enthält nur endlich viele Punkte [mm]\{a_1,a_2,..,a_n\},[/mm] die
> ungleich a sind.
>  Sei [mm]\overline{\epsilon}:=[/mm] min [mm]\{|a_i-a|: i \in \{1,..,n\}\}[/mm]
>  
> So folgt [mm]U_{\frac{\overline{\epsilon}}{2}}(a) \cap (A\setminus \{a\})= \emptyset \rightarrow[/mm]
> Widerspruch zu 2.

Versuch geglückt !

FRED


>  
> Und der Beweis gilt modifiziert natürlich in allen
> metrischen Räumen.
>  
> LG,
>  sissi
>  


Bezug
                                
Bezug
Häufungspunkt Definition,äquiv: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:29 Sa 10.10.2015
Autor: sissile

Supa, danke für die Hilfe!

Bezug
        
Bezug
Häufungspunkt Definition,äquiv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:32 Sa 03.10.2015
Autor: tobit09

Hallo sissile!


Nur kleinere Ergänzungen zu Freds Antwort:


> Frage 1): Sind die beiden Definitionen äquivalent in
> [mm]\mathbb{R}?[/mm]

Eine entsprechende Äquivalenzaussage gilt (mit analogem Beweis) auch für beliebige metrische Räume.


>  Frage 2): Sind in topologischen Räumen die Definition
> oben und und die Definition, dass  a heißt Häufungspunkt
> ist, falls in jeder noch so kleinen Umgebung des Punktes
> unendlich viele Folgenglieder liegen äquivalent? Oder
> würde man da Folgenglieder durch Netzglieder vertauschen?

Meinst du "Elemente von A" statt "Folgenglieder"?

Betrachte mal [mm] $X:=\{1,2\}$ [/mm] mit der Topologie [mm] $\tau:=\{\emptyset,X\}$ [/mm] und $A=X$.
Dann ist z.B. $1$ ein Häufungspunkt von $A$.
In der Umgebung $X$ von $1$ liegen jedoch nur endlich viele Punkte aus $A$ (nämlich nur die beiden Punkte 1 und 2).


Für metrische Räume $X$ und Teilmengen [mm] $A\subseteq [/mm] X$ kann man zeigen:
Ein Punkt [mm] $x\in [/mm] X$ ist genau dann Häufungspunkt von $A$, wenn eine Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] von Punkten [mm] $a_n\in A\setminus\{x\}$ [/mm] existiert, die gegen $x$ konvergiert.

Für beliebige topologische Räume $X$ und Teilmengen [mm] $A\subseteq [/mm] X$ gilt ein analoges Kriterium mit Netzen anstelle von Folgen:
Ein Punkt [mm] $x\in [/mm] X$ ist genau dann Häufungspunkt von $A$, wenn ein Netz [mm] $(a_i)_{i\in I}$ [/mm] von Punkten [mm] $a_i\in A\setminus\{x\}$ [/mm] existiert, das gegen $x$ konvergiert.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Häufungspunkt Definition,äquiv: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:15 So 04.10.2015
Autor: sissile

Danke, ist klar.
LG,
sissi

Bezug
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