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Hessenormalform in: Korrektur,Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:46 Mi 01.07.2015
Autor: PeterPaul

Aufgabe
Sei $g$ eine Gerade,gegeben in Hessescher Normalform

$g= [mm] H_{C,\gamma}:= \{Z \in \IC . = \gamma \}$ [/mm] für $ 0 [mm] \neq [/mm] C [mm] \in \IC [/mm] $ und [mm] $\gamma \in \IR [/mm] $

$a)$ Bestimmen sie eine Formel für den Fußpunkt des Lotes auf die Gerade $ g= [mm] H_{C,\gamma}$ [/mm] durch einen Punkt $ P [mm] \in \IC.$ [/mm]

$b)$ Zeigen sie :Schreibt man die Gerade $ g= [mm] H_{C,\gamma}$ [/mm] in Hessescher Normalform mit $ |C|=1$ und $ [mm] \gamma \ge [/mm] 0$ ,so ist der Abstand eines Punktes $ P [mm] \in \IC$ [/mm] von der Geraden $g$ gleich [mm] $|-\gamma|$. [/mm]

ich komme irgendwie nicht mit der aufgabe klar ,ich hab keinerlei Ansatz dafür ..:/ Hilfebitte..!!:/

        
Bezug
Hessenormalform in: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:20 Do 02.07.2015
Autor: Chris84

Huhu,

> Sei [mm]g[/mm] eine Gerade,gegeben in Hessescher Normalform
>  
> [mm]g= H_{C,\gamma}:= \{Z \in \IC . = \gamma \}[/mm] für [mm]0 \neq C \in \IC[/mm]

Wie habt ihr eigentlich das Skalarprodukt in [mm] $\IC$ [/mm] definiert?

> und [mm]\gamma \in \IR[/mm]
>  
> [mm]a)[/mm] Bestimmen sie eine Formel für den Fußpunkt des Lotes
> auf die Gerade [mm]g= H_{C,\gamma}[/mm] durch einen Punkt [mm]P \in \IC.[/mm]

Erstmal zu a: Das sieht schwieriger aus, als es ist. Analytische Geometrie aus der Schule ist bekannt? Ich gehe mal davon aus. Mach dir klar, dass Aufgabe a) aequivalent ist zu

Sei $g: [mm] (\vec{q}-\vec{x})\cdot\vec{n}=0$ [/mm] eine Gerade in [mm] $\IR^2$, [/mm] wobei [mm] $\vec{q}$ [/mm] ein Stuetzvektor und [mm] $\vec{n}$ [/mm] der Normalenvektor ist. Weiterhin sei ein Punkt [mm] $P\in\IR^2$ [/mm] gegeben. Bestimmt den Fusspunkt von $P$ auf $g$. (Hinweis: Bestimme die HIlfsgerade durch $P$ in Richtung [mm] \vec{n} [/mm] und bestimme den Schnitt mit $g$.)

Wenn das klappt, dann sollte Aufgabe a) analog verlaufen.

>  
> [mm]b)[/mm] Zeigen sie :Schreibt man die Gerade [mm]g= H_{C,\gamma}[/mm] in
> Hessescher Normalform mit [mm]|C|=1[/mm] und [mm]\gamma \ge 0[/mm] ,so ist
> der Abstand eines Punktes [mm]P \in \IC[/mm] von der Geraden [mm]g[/mm]
> gleich [mm]|-\gamma|[/mm].

Das geht auch aehnlich wie in der Geometrie. (Machen wir sonst spaeter!)

>  ich komme irgendwie nicht mit der aufgabe klar ,ich hab
> keinerlei Ansatz dafür ..:/ Hilfebitte..!!:/

Gruss,
Chris

Bezug
                
Bezug
Hessenormalform in: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:39 Do 02.07.2015
Autor: PeterPaul

hallo chris

sklaraprodukt ist so definiert

$<Z,W>= [mm] Re(\overline{Z},W)=xu+yv [/mm] ,  Z= x+iy, W=u+iv [mm] \in \IC$ [/mm]

also ich weis etwas ist orthogonal wenn das skalarprodukt null ist.

also

a)

Hilfsgerade

$h: [mm] \vec{p}+ \lambda *\vec{n} ;\forall \lambda \in \IR$ [/mm]

wo der punkt ist und n der normalenvektor

jetzt müsste ich h in die hesse normalform bringen  und das dann gleich setzten mit g  aber das fällt mir nicht so leicht. Eine gerade in parameterform in hesse zu bringen mit dem skalarprodukt..:/

Bezug
                        
Bezug
Hessenormalform in: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:40 Fr 03.07.2015
Autor: fred97

Wenn ich Dich richtig verstehe hast Du gegeben (die blöden Pfeile lasse ich weg):

eine Gerade g in Normalform (1) $(q-x)*n=0$

und

eine Gerade h in Parameterform (2) $x=p+ [mm] \lambda [/mm] *n$.

Jetzt suchst Du den Schnittpunkt von g und h. Dazu setze (2) in (1) ein:

    $(q-p- [mm] \lambda*n)*n=0$ [/mm]

Diese Gleichung kannst Du nach [mm] \lambda [/mm] auflösen ......

FRED


Bezug
                                
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Hessenormalform in: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:12 Fr 03.07.2015
Autor: PeterPaul

Also ich hab da jetzt $ [mm] \lambda=\frac{q-p}{n}$ [/mm]  raus. Kommt mir aus der schule auch bekannt vor, aber ich weis nicht wie ich das auf die a uebertragen soll. ..:/

Bezug
                                        
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Hessenormalform in: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:19 Fr 03.07.2015
Autor: fred97


> Also ich hab da jetzt [mm]\lambda=\frac{q-p}{n}[/mm]  raus.

Hä ?? Das ist Unfug ! [mm] \lambda [/mm] ist eine reelle Zahl. q-p ist ein Vektor , n ebenso. Du dividierst durch einen Vektor !!!!!!

FRED



> Kommt
> mir aus der schule auch bekannt vor, aber ich weis nicht
> wie ich das auf die a uebertragen soll. ..:/


Bezug
                                                
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Hessenormalform in: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:55 Fr 03.07.2015
Autor: Chris84


> > Also ich hab da jetzt [mm]\lambda=\frac{q-p}{n}[/mm]  raus.
>
> Hä ?? Das ist Unfug ! [mm]\lambda[/mm] ist eine reelle Zahl. q-p
> ist ein Vektor , n ebenso. Du dividierst durch einen Vektor
> !!!!!!

Gerade bei Anfaengern ist es manchmal doch gut, diese bloeden Pfeile mitzunehmen ^^

>  
> FRED
>  
>
>
> > Kommt
> > mir aus der schule auch bekannt vor, aber ich weis nicht
> > wie ich das auf die a uebertragen soll. ..:/
>  

Wie gesagt: Falsch!
Multipliziere die Klammer aus (Skalarprodukt). Dann hast du 1 Gleichung fuer [mm] $\lambda$. [/mm]

Bezug
                                                
Bezug
Hessenormalform in: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:25 Fr 03.07.2015
Autor: PeterPaul

Also einfach $ [mm] n*q-n*p-\lambda*n*n [/mm] =<n, [mm] (q-p)>-\lambda*n$? [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
Hessenormalform in: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:31 Fr 03.07.2015
Autor: fred97


> Also einfach [mm]n*q-n*p-\lambda*n*n =-\lambda*n[/mm]?

Nein. Wir haben die Gleichung

    [mm] $n*q-n*p-\lambda*n*n [/mm] =0$.

Oder wenn Dir die Schreibweise des Skalarprodukts mit spitzen Klammern lieber ist:

  $<n,q-p>- [mm] \lambda*=0.$ [/mm]

Dann ist

  [mm] \lambda=\bruch{}{} [/mm]

FRED




Bezug
                                                                
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Hessenormalform in: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:38 Fr 03.07.2015
Autor: PeterPaul

Himmelswillen.da haette ich auch selbst drauf kommen können. ..sorry Fred. ..

Ich versteh jetzt nicht ganz was das lambda da mir sagen soll.ist das jetzt das skalar was man einsetzen muss um den schnittpunkt zwischen der hilfsgeraden und der HNF-geraden bekommt?

Bezug
                                                                        
Bezug
Hessenormalform in: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:50 Fr 03.07.2015
Autor: fred97


> Himmelswillen.da haette ich auch selbst drauf kommen
> können. ..sorry Fred. ..
>  
> Ich versteh jetzt nicht ganz was das lambda da mir sagen
> soll.ist das jetzt das skalar was man einsetzen muss um den
> schnittpunkt zwischen der hilfsgeraden und der HNF-geraden
> bekommt?


Wir hatten

eine Gerade g in Normalform (1) $ [mm] (q-x)\cdot{}n=0 [/mm] $

und

eine Gerade h in Parameterform (2) $ x=p+ [mm] \lambda \cdot{}n [/mm] $.

Gesucht ist der Schnittpunkt [mm] x_0 [/mm] von g und h.

Mit

    

  $ [mm] \lambda_0:=\bruch{}{} [/mm] $

ist dieser gegeben durch

    $ [mm] x_0=p+ \lambda_0 \cdot{}n [/mm] $.


FRED

Bezug
                                                                                
Bezug
Hessenormalform in: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:08 Fr 03.07.2015
Autor: PeterPaul

bei der b) ist das nicht genau wie bei der a) nur dass das jetzt auf  normiert wird,sprich mit normierten einheitsvektor [mm] \vec{n}? [/mm]

würde es dann nicht einfach

$ [mm] \lambda_0:=\bruch{}{||} [/mm] $ sein?

Bezug
                                                                                        
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Hessenormalform in: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:03 Sa 04.07.2015
Autor: fred97


> bei der b) ist das nicht genau wie bei der a) nur dass das
> jetzt auf  normiert wird,sprich mit normierten
> einheitsvektor [mm]\vec{n}?[/mm]
>  
> würde es dann nicht einfach
>  
> [mm]\lambda_0:=\bruch{}{||}[/mm] sein?

Es ist $<n,n> >0$, also $<n,n>=|<n,n>|$. Wenn n normiert ist, so ist $|<n,n>|=1.$


FRED


Bezug
                                                                                                
Bezug
Hessenormalform in: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:26 Sa 04.07.2015
Autor: PeterPaul

ist dann die b nicht einfach

$ [mm] \lambda_0:=\bruch{}{||}= \bruch{}{1} [/mm] =<n,q-p> $

mit der lotfußpunkt gerade ,sodass der abstand jetzt normiert ist. Ich hab mir das so gedacht weil ja |C|=1 gegeben ist..:/


falsch?

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Hessenormalform in: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:31 Mo 06.07.2015
Autor: Chris84


> ist dann die b nicht einfach
>  
> [mm]\lambda_0:=\bruch{}{||}= \bruch{}{1} =[/mm]
>  
> mit der lotfußpunkt gerade ,sodass der abstand jetzt
> normiert ist. Ich hab mir das so gedacht weil ja |C|=1
> gegeben ist..:/
>
>
> falsch?

Sieht ok aus. Insbesondere ist $C$ dein Normalenvektor der komplexen Gerade.

Es waere im Sinne der Aufgabe vlt. nochmal ganz sinnvoll, das, was wir nun im [mm] $\IR^2$ [/mm] gemacht haben, auf deine Aufgabe in [mm] $\IC$ [/mm] zu uebertragen bzw. die Groessen, die wir nun gebraucht haben, mit denen deiner Aufgabe zu identifizieren.

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