Holomorphe Funktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:56 Di 21.07.2015 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | a) Gibt es eine holomorphe Funktion f: {z; |z|<2} --> [mm] \IC [/mm] mit [mm] f(1/n)=\bruch{1}{n^2} exp(\bruch{(-1)^n}{n}) [/mm] für alle n [mm] \in \IN?
[/mm]
b) Gibt es eine auf [mm] D_1(0) [/mm] holomorphe Funktion , so dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] |f^{(n)}(0)| \ge (n!)^2 [/mm] |
Hallo,
zu a) Angenommen, es existiert f: [mm] D_2(0) [/mm] --> [mm] \IC [/mm] holomorph mit [mm] f(1/n)=\bruch{1}{n^2} exp(\bruch{(-1)^n}{n}) [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Dann gilt f(z)=z^2exp(z) für z [mm] \in N_1={ \bruch{1}{2n}; n \in \IN} [/mm] und da [mm] N_1 [/mm] einen Häufungspunkt (0) in [mm] D_2(0) [/mm] besitzt folgt mit dem Identitätssatz f(z)=z^2exp(z) für alle z [mm] \in \IC. [/mm] Betrachtet man [mm] N_2={ \bruch{1}{2n+1}; n \in \IN}, [/mm] so folgt analog [mm] f(z)=z^2 [/mm] exp(-z) für alle z [mm] \in \IC. [/mm] --> Widerspruch
zu b) hier weiß ich nicht wirklich weiter, wenn dort ein = stehen würde, wäre es mir klar, dann existiert keine solche Fkt, da [mm] f^{(n)}(0)/n! [/mm] Konvergenzradius 0 hat...
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Wenn die Fkt. auf [mm] D_1(0) [/mm] holomorph ist, hat sie innerhalb des Kreises keine Singularität. Sie ist - da analytisch - in eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius [mm] \ge [/mm] 1 entwickelbar.
Die Koeffizienten dieser Entwicklung um 0 findet man als [mm] a_n=\bruch{f^{(n)}(0)}{n!} \Rightarrow |a_n|=\bruch{|f^{(n)}(0)|}{n!}\ge [/mm] n! nach Voraussetzung.
Mit Hadamard oder einfacher: mit dem Quotientenkriterium ergibt sich daraus aber ein Konvergenzradius von 0 im Widerspruch zu oben Gesagtem.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:42 Mi 22.07.2015 | | Autor: | Trikolon |
Noch mal zu a) ist das so ok?
und zu b) wovon genau ist da der Konvergenzradius 0?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:57 Mi 22.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Noch mal zu a) ist das so ok?
Ja
> und zu b) wovon genau ist da der Konvergenzradius 0?
f ist auf [mm] D_1(0) [/mm] holomorph, es gilt also
(*) [mm] f(z)=\summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n [/mm] für alle z [mm] \in D_1(0).
[/mm]
Die Potenzreihe in (*) hat also einen Konvergenzradius R mit R [mm] \ge [/mm] 1.
Nun gilt
$ [mm] a_n=\bruch{f^{(n)}(0)}{n!}$
[/mm]
also folgt mit der Vor. $ [mm] |f^{(n)}(0)| \ge (n!)^2 [/mm] $ :
[mm] $|a_n|=\bruch{|f^{(n)}(0)|}{n!}\ge [/mm] n! $
Mit Cauchy-Hadamard bekommst Du daraus den Widerspruch
[mm] $R=\bruch{1}{\lim \sup \wurzel[n]{a_n|}}=0$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Do 23.07.2015 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Ich hätte noch vier Aufgaben zu diesem Themenbereich:
Untersuche ob es holomorphe Funktionen f [mm] \in O(\Omega) [/mm] mit folgenden Eigenschaften gibt:
a) [mm] \Omega [/mm] = [mm] D_1(0), f(1/n^2)=1/n [/mm] für alle n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2
b) [mm] \Omega= D_1(0) [/mm] \ (-1,0], f wie in a)
c) [mm] \Omega= \IC, f(1/2n)=f(1/(2n+1))=i/n^2
[/mm]
d) [mm] \Omega= \IC [/mm] \ {0}, f(z)=0 für z [mm] \in [/mm] { [mm] n^2 \pi [/mm] +1999mi: n,m [mm] \in \IZ \{0} [/mm] } und f(z) [mm] \not= [/mm] 0 |
zu a)
Es ist [mm] U=D_1(0) [/mm] offene Umgebung von 0 und die Fkt f: U --> [mm] \IC, f(z)=z^2 [/mm] ist holomorph mit [mm] f(1/n^2)=1/n [/mm] für alle n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2.
zu b)
Ich vermute hier liegt das Problem darin dass 0 als Häufungspunkt nicht in [mm] \Omega [/mm] liegt... Hab aber nicht wirklich einen Ansatz
zu c)
Angenommen es existiert f: [mm] \IC [/mm] --> [mm] \IC [/mm] holomorph mit [mm] f(1/2n)=f(1/(2n+1))=i/n^2. [/mm] Auf der nicht diskreten Menge { 1/(2n), n [mm] \in \IN [/mm] } [mm] \subset \IC [/mm] stimmt f mit der Funktion g: [mm] \IC [/mm] --> [mm] \IC [/mm] , [mm] g(z)=4z^2 [/mm] überein, nach dem Identitätssatz ist dann schon f=g für alle z [mm] \in \IC. [/mm] Aber g(1/2)=i [mm] \not= [/mm] h(1/2)=4i Widerspruch
d)
Hier fehlt mir wieder ein Ansatz...
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:28 Fr 24.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ich hätte noch vier Aufgaben zu diesem Themenbereich:
>
> Untersuche ob es holomorphe Funktionen f [mm]\in O(\Omega)[/mm] mit
> folgenden Eigenschaften gibt:
> a) [mm]\Omega[/mm] = [mm]D_1(0), f(1/n^2)=1/n[/mm] für alle n [mm]\in \IN,[/mm] n
> [mm]\ge[/mm] 2
> b) [mm]\Omega= D_1(0)[/mm] \ (-1,0], f wie in a)
> c) [mm]\Omega= \IC, f(1/2n)=f(1/(2n+1))=i/n^2[/mm]
> d) [mm]\Omega= \IC[/mm]
> \ {0}, f(z)=0 für z [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]n^2 \pi[/mm] +1999mi: n,m [mm]\in \IZ \{0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } und f(z) [mm]\not=[/mm] 0
> zu a)
> Es ist [mm]U=D_1(0)[/mm] offene Umgebung von 0 und die Fkt f: U -->
> [mm]\IC, f(z)=z^2[/mm] ist holomorph mit [mm]f(1/n^2)=1/n[/mm] für alle n
> [mm]\in \IN,[/mm] n [mm]\ge[/mm] 2.
Das stimmt aber nicht ! Für [mm] f(z)=z^2 [/mm] gilt [mm]f(1/n^2)=1/n^4[/mm] !!!!
Nimm an, es gäbe eine solch holomorphe Funktion f. Setze [mm] g(z):=f(z^2).
[/mm]
Begründe nun, warum g(z)=z für alle z [mm] \in D_1(0) [/mm] ist.
Differenziere die Gl. g(z)=z und setze z=0. Was passiert ?
>
> zu b)
> Ich vermute hier liegt das Problem darin dass 0 als
> Häufungspunkt nicht in [mm]\Omega[/mm] liegt... Hab aber nicht
> wirklich einen Ansatz
Sei Log(z) der Hauptzweig des Logarithmus auf [mm] \IC \setminus (-\infty,0] [/mm] und betachte
[mm] f(z)=exp(\bruch{1}{2}Log(z)).
[/mm]
>
> zu c)
> Angenommen es existiert f: [mm]\IC[/mm] --> [mm]\IC[/mm] holomorph mit
> [mm]f(1/2n)=f(1/(2n+1))=i/n^2.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Auf der nicht diskreten Menge {
> 1/(2n), n [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\subset \IC[/mm] stimmt f mit der Funktion
> g: [mm]\IC[/mm] --> [mm]\IC[/mm] , [mm]g(z)=4z^2[/mm] überein,
Da hast Du Dich wohl verschrieben: es sollte [mm]g(z)=4iz^2[/mm] lauten.
> nach dem
> Identitätssatz ist dann schon f=g für alle z [mm]\in \IC.[/mm]
> Aber g(1/2)=i [mm]\not=[/mm] h(1/2)=4i Widerspruch
Hä ? . Was ist denn h ??
Richtig hast Du heraus: wenn es eine solche hol. Funktion f gäbe, so müsste $f(z)= [mm] 4iz^2$ [/mm] gelten.
Was ist nun mit der Bedingung [mm] f(1/(2n+1))=i/n^2 [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] ?
>
> d)
> Hier fehlt mir wieder ein Ansatz...
Hattet Ihr den Produktsatz von Weierstraß ?
FRED
>
>
> Danke für eure Hilfe!
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Fr 24.07.2015 | | Autor: | Trikolon |
zu a)
> > Es ist [mm]U=D_1(0)[/mm] offene Umgebung von 0 und die Fkt f: U
> -->
> > [mm]\IC, f(z)=z^2[/mm] ist holomorph mit [mm]f(1/n^2)=1/n[/mm] für alle n
> > [mm]\in \IN,[/mm] n [mm]\ge[/mm] 2.
>
> Das stimmt aber nicht ! Für [mm]f(z)=z^2[/mm] gilt [mm]f(1/n^2)=1/n^4[/mm]
> !!!!
>
>
Ja klar, hatte es fälschlicherweise für [mm] f(1/n)=1/n^2 [/mm] gemacht 
> Nimm an, es gäbe eine solch holomorphe Funktion f. Setze
> [mm]g(z):=f(z^2).[/mm]
>
> Begründe nun, warum g(z)=z für alle z [mm]\in D_1(0)[/mm] ist.
>
> Differenziere die Gl. g(z)=z und setze z=0. Was passiert ?
>
g'(z)=1 also g'(0)=1. Ich sehe aber gerade nicht, wo das hinführt...
>
> >
> > zu b)
> > Ich vermute hier liegt das Problem darin dass 0 als
> > Häufungspunkt nicht in [mm]\Omega[/mm] liegt... Hab aber nicht
> > wirklich einen Ansatz
>
> Sei Log(z) der Hauptzweig des Logarithmus auf [mm]\IC \setminus (-\infty,0][/mm]
> und betachte
>
> [mm]f(z)=exp(\bruch{1}{2}Log(z)).[/mm]
>
Klar, das ist ja gerade eine solche Funktion mit den gewünschten Eigenschaften. Muss man die Wurzel in [mm] \IC [/mm] immer auf diese Weise darstellen also über den log?
> >
> > zu c)
> > Angenommen es existiert f: [mm]\IC[/mm] --> [mm]\IC[/mm] holomorph mit
> > [mm]f(1/2n)=f(1/(2n+1))=i/n^2.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}"
> müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil
> ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Auf der nicht diskreten Menge {
> > 1/(2n), n [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> } [mm]\subset \IC[/mm] stimmt f mit der Funktion
> > g: [mm]\IC[/mm] --> [mm]\IC[/mm] , [mm]g(z)=4z^2[/mm] überein,
>
> Da hast Du Dich wohl verschrieben: es sollte [mm]g(z)=4iz^2[/mm]
> lauten.
Ja
> > nach dem
> > Identitätssatz ist dann schon f=g für alle z [mm]\in \IC.[/mm]
> > Aber g(1/2)=i [mm]\not=[/mm] h(1/2)=4i Widerspruch
>
>
> Hä ? . Was ist denn h ??
>
> Richtig hast Du heraus: wenn es eine solche hol. Funktion f
> gäbe, so müsste [mm]f(z)= 4iz^2[/mm] gelten.
>
> Was ist nun mit der Bedingung [mm]f(1/(2n+1))=i/n^2[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm]
> ?
Das h sollte ein f sein. Das zeigt ja gerade, dass die gefundene Funktion g zwar die erste, aber nicht die zweite Bedingung erfüllt.
>
> >
> > d)
> > Hier fehlt mir wieder ein Ansatz...
>
> Hattet Ihr den Produktsatz von Weierstraß ?
>
Nein, den hatten wir noch nicht.
> FRED
> >
> >
> > Danke für eure Hilfe!
> >
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Fr 24.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> zu a)
> > > Es ist [mm]U=D_1(0)[/mm] offene Umgebung von 0 und die Fkt f:
> U
> > -->
> > > [mm]\IC, f(z)=z^2[/mm] ist holomorph mit [mm]f(1/n^2)=1/n[/mm] für alle n
> > > [mm]\in \IN,[/mm] n [mm]\ge[/mm] 2.
> >
> > Das stimmt aber nicht ! Für [mm]f(z)=z^2[/mm] gilt [mm]f(1/n^2)=1/n^4[/mm]
> > !!!!
> >
> >
> Ja klar, hatte es fälschlicherweise für [mm]f(1/n)=1/n^2[/mm]
> gemacht
>
> > Nimm an, es gäbe eine solch holomorphe Funktion f. Setze
> > [mm]g(z):=f(z^2).[/mm]
> >
> > Begründe nun, warum g(z)=z für alle z [mm]\in D_1(0)[/mm] ist.
> >
> > Differenziere die Gl. g(z)=z und setze z=0. Was passiert ?
> >
> g'(z)=1 also g'(0)=1. Ich sehe aber gerade nicht, wo das
> hinführt...
Wenn Du läufst, machst Du dann auch immer nur einen Schritt ...... ?
Es war [mm] g(z)=f(z^2)=z
[/mm]
Differenziert man, so bekommt man
[mm] $1=g'(z)=f'(z^2)*2z$
[/mm]
Für z=0 liefert das 1=0.
> >
> > >
> > > zu b)
> > > Ich vermute hier liegt das Problem darin dass 0 als
> > > Häufungspunkt nicht in [mm]\Omega[/mm] liegt... Hab aber nicht
> > > wirklich einen Ansatz
> >
> > Sei Log(z) der Hauptzweig des Logarithmus auf [mm]\IC \setminus (-\infty,0][/mm]
> > und betachte
> >
> > [mm]f(z)=exp(\bruch{1}{2}Log(z)).[/mm]
> >
> Klar, das ist ja gerade eine solche Funktion mit den
> gewünschten Eigenschaften. Muss man die Wurzel in [mm]\IC[/mm]
> immer auf diese Weise darstellen also über den log?
nein, müssen musst Du nichts. Wurzel und Log sind in [mm] \IC [/mm] nicht eindeutig. Man muss sich immer passende Zweige zurechtbasteln.
> > >
> > > zu c)
> > > Angenommen es existiert f: [mm]\IC[/mm] --> [mm]\IC[/mm] holomorph mit
>
> > > [mm]f(1/2n)=f(1/(2n+1))=i/n^2.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}"
> müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil
> ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Eingabefehler: "{" und "}"
> > müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil
> > ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> >
> > Auf der nicht diskreten Menge {
> > > 1/(2n), n [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> >
> > } [mm]\subset \IC[/mm] stimmt f mit der Funktion
> > > g: [mm]\IC[/mm] --> [mm]\IC[/mm] , [mm]g(z)=4z^2[/mm] überein,
> >
> > Da hast Du Dich wohl verschrieben: es sollte [mm]g(z)=4iz^2[/mm]
> > lauten.
>
> Ja
>
> > > nach dem
> > > Identitätssatz ist dann schon f=g für alle z [mm]\in \IC.[/mm]
> > > Aber g(1/2)=i [mm]\not=[/mm] h(1/2)=4i Widerspruch
> >
> >
> > Hä ? . Was ist denn h ??
> >
> > Richtig hast Du heraus: wenn es eine solche hol. Funktion f
> > gäbe, so müsste [mm]f(z)= 4iz^2[/mm] gelten.
> >
> > Was ist nun mit der Bedingung [mm]f(1/(2n+1))=i/n^2[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm]
> > ?
>
> Das h sollte ein f sein. Das zeigt ja gerade, dass die
> gefundene Funktion g zwar die erste, aber nicht die zweite
> Bedingung erfüllt.
> >
> > >
> > > d)
> > > Hier fehlt mir wieder ein Ansatz...
> >
> > Hattet Ihr den Produktsatz von Weierstraß ?
> >
> Nein, den hatten wir noch nicht.
Dann muss ich mir etwas anderes überlegen.
FRED
>
> > FRED
> > >
> > >
> > > Danke für eure Hilfe!
> > >
> > >
> >
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Fr 24.07.2015 | | Autor: | rollroll |
Hallo, dazu habe ich auch mal eine Frage, wenn man z.B. [mm] |f^{(n)}(0)| \ge n!n^n [/mm] hat. Dann würde der Beweis dass es keine solche in einer Umgebung von 0 holomorphe Fkt f gibt doch genauso verlaufen, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Fr 24.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, dazu habe ich auch mal eine Frage, wenn man z.B.
> [mm]|f^{(n)}(0)| \ge n!n^n[/mm] hat. Dann würde der Beweis dass es
> keine solche in einer Umgebung von 0 holomorphe Fkt f gibt
> doch genauso verlaufen, oder?
Ja
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Mi 29.07.2015 | | Autor: | Trikolon |
Noch eine Aufgabe aus dieser Reihe, zu der ich keinen Ansatz finde:
[mm] f^{(n)}(0) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2^{n^2}} [/mm] für alle n [mm] \in \IN_0 [/mm] und [mm] \limes_{|z|\rightarrow\infty} \bruch{f(z)}{z^m} [/mm] = 0 für ein m [mm] \in \IN_0
[/mm]
Ich habe keine Ahnung, warum die Symbole nicht richtig angezeigt werden...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:24 Do 30.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Noch eine Aufgabe aus dieser Reihe, zu der ich keinen
> Ansatz finde:
>
> [mm]f^{(n)}(0)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2^{n^2}}[/mm] für alle n [mm]\in \IN_0[/mm] und
> [mm]\limes_{|z|\rightarrow\infty} \bruch{f(z)}{z^m}[/mm] = 0 für
> ein m [mm]\in \IN_0[/mm]
>
> Ich habe keine Ahnung, warum die Symbole nicht richtig
> angezeigt werden...
Ich auch nicht.
Mal wieder nehmen wir an, es gäbe ein solches f. Die Voraussetzungen zeigen, dass f eine ganze Funktion ist.
Wir unterscheiden 2 Fälle:
Fall 1: m=0. Dann haben wir
[mm] $\limes_{|z|\rightarrow\infty} [/mm] f(z)= 0$.
Zeige nun Du, dass f auf [mm] \IC [/mm] beschränkt ist. Nach Liouville ist also f auf [mm] \IC [/mm] konstant.
Das ist ein Widerspruch ! Zu was ?
Fall 2: m [mm] \ge [/mm] 1.
Die Potenzreihenentwicklung von f um 0 sieht so aus:
[mm] f(z)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{n^2}*n!}z^n [/mm] (z [mm] \in \IC).
[/mm]
Ist nun t [mm] \in \IR [/mm] und t>0, so folgt
[mm] f(t)=\ge \bruch{1}{2^{m^2}*m!}t^m,
[/mm]
also
[mm] \bruch{f(t)}{t^m} \ge \bruch{1}{2^{m^2}*m!}.
[/mm]
Wieder haben wir einen Widerspruch. Zu was ?
FRED
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