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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Homogene Lösung
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Homogene Lösung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 Di 09.01.2018
Autor: Dom_89

Hallo,

ich habe eine kurze Frage zu der homogenen Lösung einer Differentialgleichung.

Die allgemeine Form lautet: [mm] y_{h}(x) [/mm] = [mm] C*e^{-ax}, [/mm] wobei -a ja der Eigenwert ist.

Bei DGL zweiter und höherer Ordnung stand ich nun schon öfters vor folgenden Sachverhalt - dazu drei Beispiele:

Eigenwerte: [mm] \lambda_{1} [/mm] = -1 und [mm] \lambda_{2} [/mm] = -3
Homogene Lösung: [mm] y_{h}(x) =C_{1}*e^{-x}+ C_{2}*e^{-3x} [/mm]

Eigenwerte: [mm] \lambda_{1} [/mm] = 2 und [mm] \lambda_{2} [/mm] = 1
Homogene Lösung: [mm] y_{h}(x) =C_{1}*e^{2x}+ C_{2}*e^{x} [/mm]

Eigenwerte: [mm] \lambda_{1} [/mm] = 1 und [mm] \lambda_{2} [/mm] = 1
Homogene Lösung: [mm] y_{h}(x) =C_{1}*e^{-x}+ C_{2}*e^{-x}x [/mm]

Ich verstehe nun nicht, warum mein Eigenwert im negativen Fall (Beispiel 1) auch in der homogenen Lösung noch negativ bleibt, wenn dieser doch als -a angegeben ist und im anderen Fall positive Eigenwerte dann einmal in der homogenen Lösung negativ und einmal positiv sein müssen

        
Bezug
Homogene Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:15 Mi 10.01.2018
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ich habe eine kurze Frage zu der homogenen Lösung einer
> Differentialgleichung.

"homogene" Lösung ist Unsinn. Man spricht von Lösungen einer homogenen linearen DGL.


>  
> Die allgemeine Form lautet: [mm]y_{h}(x)[/mm] = [mm]C*e^{-ax},[/mm] wobei -a
> ja der Eigenwert ist.

Wenn die DGL so lautet

$y'+ay=0$,

dann ja.



>  
> Bei DGL zweiter und höherer Ordnung stand ich nun schon
> öfters vor folgenden Sachverhalt - dazu drei Beispiele:

Ich vermute, dass es sich jeweils um eine DGL der Form

(*) $y''+ay'+by=0$

handelt.

>  
> Eigenwerte: [mm]\lambda_{1}[/mm] = -1 und [mm]\lambda_{2}[/mm] = -3
>  Homogene Lösung: [mm]y_{h}(x) =C_{1}*e^{-x}+ C_{2}*e^{-3x}[/mm]

Das ist O.K.


>  
> Eigenwerte: [mm]\lambda_{1}[/mm] = 2 und [mm]\lambda_{2}[/mm] = 1
>  Homogene Lösung: [mm]y_{h}(x) =C_{1}*e^{2x}+ C_{2}*e^{x}[/mm]

Auch O.K.


>  
> Eigenwerte: [mm]\lambda_{1}[/mm] = 1 und [mm]\lambda_{2}[/mm] = 1
>  Homogene Lösung: [mm]y_{h}(x) =C_{1}*e^{-x}+ C_{2}*e^{-x}x[/mm]

Das stimmt nicht. Die allg. Lösung der DGL lautet hier

[mm]y_{h}(x) =C_{1}*e^{x}+ C_{2}*e^{x}x[/mm]



>  
> Ich verstehe nun nicht, warum mein Eigenwert im negativen
> Fall (Beispiel 1) auch in der homogenen Lösung noch
> negativ bleibt, wenn dieser doch als -a angegeben ist und
> im anderen Fall positive Eigenwerte dann einmal in der
> homogenen Lösung negativ und einmal positiv sein müssen

Ganz ehrlich: ich verstehe Dei Problem nicht.

Betrachten wir also die DGL $y''+ay'+by=0$. Das zugeh. char. Polynom lautet

[mm] $p(\lambda)=\lambda^2+a \lambda [/mm] +b$.

Wir hehmen nun an, dass p die reellen Nullstellen [mm] \lambda_1, \lambda_2 [/mm] hat.

Im Falle [mm] \lambda_1 \ne \lambda_2 [/mm] lautet die allg. Lösung der DGL wie folgt:

[mm] $y_h(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_1e^{\lambda_2x}. [/mm]

Im Falle [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] lautet die allg. Lösung der DGL wie folgt:

[mm] $y_h(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_1xe^{\lambda_1x}. [/mm]





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