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Forum "Algebra" - Ideale Einheiten in Faktorring
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Ideale Einheiten in Faktorring: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:18 Mo 27.03.2006
Autor: cycilia

Aufgabe
K Körper, K[X] Polynomring über K, n  [mm] \in \IN, [/mm] n>0 Zeigen Sie:
a) Der Ring [mm] K[X]/(X^n) [/mm] besitzt genau n+1 Ideale, genau eines dieser Ideale ist maximal
b) Berechn die Einheiten in [mm] K[X]/(X^n) [/mm]

was ich weiss: Ideale wären additive Untergruppen von [mm] K[X]/(X^n) [/mm] mit Idealeigenschaft: r  [mm] \in K[X]/(X^n), [/mm] a  [mm] \in [/mm] Ideal => ra  [mm] \in [/mm] Ideal

in einem Körper ist = maximales Ideal.

Korrespondenzsatz: Es gibt eine Bijektion der Ideale in K[X] in die Menge der Ideale in [mm] k[X]/(X^n). [/mm]

das heisst: Aufgabenteil a ist eigentlich darauf reduzierbar die Anzahl der Ideale in K[X] zu bestimmen. Die Anzahl der maximalen Ideale kann nur 1 betragen, da K Körper.

Leider komme ich hier jetzt aber nicht mehr weiter. Kann jemand helfen?

        
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Ideale Einheiten in Faktorring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:19 Mo 27.03.2006
Autor: Galois

Hallo cycilia!

So ganz schlau werde ich aus dem, was Du schreibst, nicht, aber ich denke, folgende Idee könnte Dir weiterhelfen:

Ist I ein Ideal in [mm] $K[X]/(X^n)$ [/mm] und ist [mm] $\pi:K[X]\to K[X]/(X^n)$ [/mm] die Quotientenabbildung, so ist [mm] $\pi^{-1}(I)$ [/mm] ein das Polynom [mm] $X^n$ [/mm] enthaltendes Ideal in $K[X]$. Nun ist K[X] aber ein Hauptidealring! Welche Möglichkeiten bleiben daher für [mm] $\pi^{-1}(I)$? [/mm]

Wenn Du alle Ideale kennst, siehst Du auch praktisch sofort, welche von ihnen ein maximales ist.

Zu Teil b):
Sei [mm] $p\in [/mm] K[X]$. Dann ist [mm] $\pi(p)$ [/mm] genau dann eine Einheit in [mm] $K[X]/(X^n)$, [/mm] wenn es ein [mm] $q\in [/mm] K[X]$ mit [mm] \pi(p)\pi(q)=\pi(1) [/mm] gibt, also mit [mm] $pq=1+rX^n$ [/mm] für ein geeignetes [mm] $r\in [/mm] K[X]$.
Das bedeutet aber nicht anderes, als daß sich die 1 in $K[X]$ als Linearkombination von p und [mm] $X^n$ [/mm] schreiben läßt. Und dies ist genau dann der Fall, wenn p und [mm] $X^n$ [/mm] teilerfremd sind!

Grüße,
Galois


[]Bonner Matheforum

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Ideale Einheiten in Faktorring: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:35 Mo 27.03.2006
Autor: cycilia

Neee, leider hilft mir das so nicht.

Warum ist [mm] X^n [/mm] in  [mm] \pi^-1 [/mm] enthalten?
Wie sieht die Quotientenabbildung aus?
[mm] \pi(J) [/mm] = {a + [mm] (X^n): [/mm] a  [mm] \in [/mm] J }, wenn J ein Ideal in K[X] ist. ?

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Ideale Einheiten in Faktorring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:08 Mo 27.03.2006
Autor: Galois

Hallo cycilia!

> Warum ist [mm]X^n[/mm] in  [mm]\pi^-1[/mm] enthalten?

Es gilt [mm] $X^n\in\pi^{-1}(I)$, [/mm] da [mm] $X^n$ [/mm] unter [mm] $\pi$ [/mm] auf die Null in [mm] $K[X]/(X^n)$ [/mm] abgebildet wird (s.u.) und I als Ideal in [mm] $K[X]/(X^n)$ [/mm] natürlich insbesondere die Null enthält.

>  Wie sieht die Quotientenabbildung aus?
>  [mm]\pi(J) = \{a + (X^n): a \in J \}[/mm], wenn J ein Ideal in K[X] ist. ?

Ja, genau, sogar für jede Menge [mm] $J\subseteq [/mm] K[X]$. Die genaue Definition auf der Ebene einzelner Elemente [mm] $p\in [/mm] K[X]$ [mm] lautet:$\pi(p):=p+(X^n)$. [/mm]
Mit anderen Worten: [mm] $\pi(p)$ [/mm] ist einfach die p enthaltende Nebenklasse des Ideals [mm] (X^n) [/mm] in K[X].

Hilft das weiter?

Grüße,
Galois

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Ideale Einheiten in Faktorring: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:04 Di 28.03.2006
Autor: cycilia

So, nächster Versuch....

Also, da K ein Körper ist, ist K[X] ein Hauptiealring, dh. alle Ideale werden von einem Element erzeugt.

Ich nehme an, die Ideale in [mm] K[X]/(X^n) [/mm] haben die Form
[mm] (\bar [/mm] 0), [mm] (\bar [/mm] x), [mm] (\bar x^2),...., (\bar x^n-1) [/mm] und der gesamte Ring. Das
müsste ich ja aber eigentlich beweisen..... falls es denn stimmt.

Jetzt habe ich die Abbildung  [mm] \pi^ [/mm] 1: [mm] K[X]/(X^n) [/mm] ----> K[X]. Es gilt [mm] (X^n) \in [/mm] Urbildmenge. Das ist mir mittlerweile klar. Aber wie kann ich die restlichen Elemente bestimmen? Die restlichen Elemente wären doch die Ideale in K[X] und die bin ich nicht wirklich in der Lage zu bestimmen.



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Ideale Einheiten in Faktorring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 Di 28.03.2006
Autor: Galois

Hallo cycilia!

> Also, da K ein Körper ist, ist K[X] ein Hauptiealring, dh.
> alle Ideale werden von einem Element erzeugt.

Ja, genau. [ok]

> Ich nehme an, die Ideale in [mm]K[X]/(X^n)[/mm] haben die Form [mm](\bar 0), (\bar x), (\bar x^2),\dots, (\bar x^n-1)[/mm] und der gesamte Ring. Das müsste ich ja aber eigentlich beweisen..... falls es denn stimmt.

Ja, das ist auch richtig. :-) Übrigens ist [mm] $\bar [/mm] x$ natürlich nichts anderes als mein [mm] $\pi(x)$. [/mm]
Noch ein Hinweis zu Formeleingabe: Durch geschweifte Klammern kann man Ausdrücke zusammenfassen: Du meintest sicherlich [mm] $(\bar x^{n-1})$, [/mm] nicht
[mm] $(\bar x^n-1)$. [/mm] ;-)

> Jetzt habe ich die Abbildung  [mm]\pi^{-1}: K[X]/(X^n) \to K[X][/mm].

Vorsicht, das ist keine Abbildung! Wir haben nur die Abbildung [mm]\pi: K[X] \to K[X]/(X^n)[/mm]. Da diese nicht injektiv ist, besitzt sie kein Inverses. Gleichwohl ist für [mm] $I\subseteq K[X]/(X^n)$ [/mm] der "Ausdruck" [mm] $\pi^{-1}(I)$ [/mm] definiert, nämlich als das Urbild von I in $K[X]$. (Mehr brauchen wir im Folgenden auch nicht.)

> Es gilt [mm](X^n) \in[/mm] Urbildmenge. Das ist mir mittlerweile klar. Aber wie kann ich die restlichen Elemente bestimmen?

Wir wissen: Ist I ein Ideal in [mm]K[X]/(X^n)[/mm], so ist [mm] $\pi^{-1}(I)$ [/mm] ein Ideal in K[X]. (Falls Du es nicht weißt: Bitte anhand der Definition von "Ideal" überprüfen!) Jedes solche Ideal wird aber - K[X] ist Hauptidealring - von einem Element von K[X] erzeugt. Es gibt also ein Polynom [mm]p\in K[X][/mm] mit [mm] $(p)=\pi^{-1}(I)$. [/mm] Dann liegt aber insbesondere [mm] $X^n$ [/mm] in (p), d. h., [mm] $X^n$ [/mm] ist ein Vielfaches von p! Hm, da gibt es dann ja nur noch wenige Möglichkeiten, welches Polynom p so sein könnte... :-)

Anschließend muß Du noch zeigen, daß [mm] $(\bar p)=(\pi(p))$ [/mm] tatsächlich I ergibt.

> Die restlichen Elemente wären doch die Ideale in K[X] und die bin ich nicht wirklich in der Lage zu bestimmen.

Hm. Vermutlich bringst Du gerade "Elemente" und "Ideale" durcheinander... [haee]

Grüße,
Galois

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Ideale Einheiten in Faktorring: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:33 Di 28.03.2006
Autor: cycilia

[mm] \pi^{-1}(I) [/mm] = [mm] X^m [/mm] mit m teilt n, da [mm] (X^n) [/mm] in I enthalten ist ?

[mm] \pi(X^m) [/mm] = {a + [mm] (X^n): [/mm] a  [mm] \in (X^m)} [/mm] = ?

eigentlich müsste ich doch folgendes bestimmen:

[mm] \pi^{-1}(\bar [/mm] 0) = [mm] (X^n) [/mm]
[mm] \pi^{-1}(\bar [/mm] x) = ????

usw. - da frage ich mich immer noch wie das gehen soll?

[mm] \pi((p))= {a+(X^n): a \in p} [/mm]
( [mm] \bar [/mm] x) = (x) + [mm] (X^n) [/mm] ?

[mm] \pi^{-1}(\bar [/mm] x) =  [mm] \pi^{-1}((x) +(X^n)) [/mm] = ???


und dann zeigen dass  [mm] \pi(0) [/mm] = [mm] (X^n) [/mm] usw.








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Ideale Einheiten in Faktorring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:27 Di 28.03.2006
Autor: Galois

Hallo cycilia!

Zuerst noch ein weiterer Tip zum Formeleditor: ;-) Dein Text wird leicher lesbar, wenn Du Deine Formeln mit[mm] beginnst und mit [/mm] abschließt. Die Forensoftware versucht zwar, Formeln automatisch zu erkennen, aber das funktioniert nicht immer fehlerfrei.
Ferner sind innerhalb von Formeln geschweifte Klammern als\{ bzw. \} einzugeben - die Zeichen "{" und "}" haben ja wie erwähnt im Formeleditor eine andere Bedeutung.

Aber nun zum Thema.

>  [mm]\pi^{-1}(I) = X^m[/mm] mit m teilt n, da [mm](X^n)[/mm] in I enthalten ist ?

Fast. Genauer gilt: [mm]\pi^{-1}(I) = (X^m)[/mm] mit [mm]X^m[/mm] teilt [mm]X^n[/mm] (oder äquivalent: [mm]m\le n[/mm]), da [mm](X^n)\subseteq \pi^{-1}(I)[/mm]. - Aber das meintest Du bestimmt auch, oder? ;-)

> [mm]\pi(X^m) = \{a + (X^n): a \in (X^m)\} = ?[/mm]

Richtig, aber so explizit brauchst Du das gar nicht. Um zu zeigen, daß tatsächlich [mm]\pi((X^m))=I[/mm] gilt, verwendest Du einfach das, was wir bereits wissen, nämlich [mm]\pi^{-1}(I)=(X^m)[/mm]. Es bleibt dann [mm]\pi(\pi^{-1}(I))=I[/mm] zu zeigen. Das folgt aber aus der Surjektivität von [mm]\pi[/mm].

> eigentlich müsste ich doch folgendes bestimmen:
>  
> [mm]\pi^{-1}(\bar 0) = (X^n)[/mm]
> [mm]\pi^{-1}(\bar x) = ????[/mm]
>  
> usw. - da frage ich mich immer noch wie das gehen soll?

Nein, das brauchst Du nicht. Deine Aufgabe ist, zu zeigen:
"Wenn [mm]I\subseteq K[X]/(X^n)[/mm] ein Ideal ist, dann ist I von der Form [mm] $(\bar X^m)$ [/mm] mit [mm]m\le n[/mm]."
Du fängst also mit dem Unbekannten I an, und versuchst, möglichst viel über I herauszufinden. (Wie wir oben sahen, hilft es dabei, möglichst viel über [mm] \pi^{-1}(I)$ [/mm] herauszufinden.) Informationen über [mm]\pi^{-1}(\bar x)[/mm] schaden dabei sicherlich nicht, helfen aber auch nicht wirklich weiter.

Hier daher nur zur Information: [mm]\pi^{-1}(\bar p)[/mm] besteht für [mm] $p\in [/mm] K[X]$ genau aus den Elementen von K[X], die in derselben Nebenklasse wie p liegen, d. h., es gilt [mm]\pi^{-1}(\bar p)=p+(X^n)[/mm] (was nichts anderes als [mm]\bar p[/mm] ist, aber das verwirrt jetzt wohl eher...)
Das Urbild [mm]\pi^{-1}((\bar p))[/mm] des von [mm] $\bar [/mm] p$ in [mm] $K[X]/(X^n)$ [/mm] aufgespannten Ideals ist übrigens das von p und [mm] $X^n$ [/mm] in K[X] aufgespannte Ideal.

> [mm] \pi((p))= \{a+(X^n): a \in p\}[/mm]
> [mm]( \bar x) = (x) + (X^n)[/mm] ?

In der ersten Zeile muß es hinten statt p ebenfalls (p) heißen; p ist selbst ja ein Polynom und keine Menge.
Zur zweiten Zeile: Das Ideal [mm] $(\bar [/mm] x)$ kann man sich explizit nicht wirklich gut vorstellen, da es eine Menge von Teilmengen von K[X] ist: Es besteht aus Elementen von [mm]K[X]/(X^n)[/mm], diese sind wieder Teilmengen von K[X] (nämlich Nebenklassen von [mm] $(X^n)$ [/mm] in K[X]). Die rechte Seite $(x) + [mm] (X^n)$ [/mm] ist hingegen die Summe von zwei Idealen in K[X] und damit eine Teilmenge von K[X] (nämlich das Ideal (x)).
Mir scheint es hilfreich zu sein, sich [mm] $R:=K[X]/(X^n)$ [/mm] statt als einen Quotienten als einen "eigenständigen" Ring vorzustellen. Die Abbildung [mm] $\pi:K[X]\to [/mm] R$ ist dann ein surjektiver Ring-Homomorphismus mit Kern [mm] $(X^n)$. [/mm] Die Information, wie R und [mm]\pi[/mm] konkret aussehen, braucht man dann gar nicht mehr, was das Leben deutlich vereinfacht. :-)

So, das reicht für heute.

Grüße,
Galois


[]Bonner Matheforum


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Ideale Einheiten in Faktorring: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:03 Mi 29.03.2006
Autor: cycilia

Danke :) Ja, irgendwie hatte ich leichte Schwierigkeiten mit dem Formeleditptor.... mit der Aufgabe befasse ich mich heute Mittag oder Abend nochmal (jetzt muss ich erstmal arbeiten) nur ein Test vorweg
[mm] \pi^{-1} [/mm]

Annahmen: innerhalb einer Formel fasst {} Ausdrücke zusammen, [mm] [/mm] gibt wie in HTML die Grenzen der Formel an. \ braucht man in Java auch um die Zeichen darzustellen,die sonst andere Bedeutung haben....  also ich sollte mehr drauf achten :) Die Vorschau klappt bei mir nicht, mein Browser braucht sehr sehr lange, um eine Formel darzustellen.

Danke im Voraus

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Ideale Einheiten in Faktorring: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:22 Mi 29.03.2006
Autor: cycilia

danke :) habs jetzt auch hinbekommen bzw. verstanden, gelöst hattest du es ja.

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