Implizite Trapezregel < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Do 22.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Gegeben:
[mm] y'=\pmat{ 0 & 2 & -1\\ 0 & -300 & 0\\ 0 & -598 & -1 }y, y(0)=\vektor{2 \\ 5 \\11}
[/mm]
Benutze zur numerischen Lösung die implizite Trapezregel [mm] y_{n+1}=y_n+h/2(f_{n+1}+f_n) [/mm] und leite eine explizite Darstellung der Iterierten [mm] y_n [/mm] her. |
Hallo,
mir ist nicht ganz klar, wie ich die Trapezregel auf das AWP anwenden soll. Ich wollte zunächst versuchen, ein paar Werte auszurechnen:
[mm] y_1=y_0+h/2(f_1+f_0).
[/mm]
Mein Problem: Was ist [mm] f_1 [/mm] und was [mm] f_0??
[/mm]
Danke im Voraus!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:51 Fr 23.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben:
> [mm]y'=\pmat{ 0 & 2 & -1\\ 0 & -300 & 0\\ 0 & -598 & -1 }y, y(0)=\vektor{2 \\ 5 \\11}[/mm]
>
> Benutze zur numerischen Lösung die implizite Trapezregel
> [mm]y_{n+1}=y_n+h/2(f_{n+1}+f_n)[/mm] und leite eine explizite
> Darstellung der Iterierten [mm]y_n[/mm] her.
> Hallo,
>
> mir ist nicht ganz klar, wie ich die Trapezregel auf das
> AWP anwenden soll. Ich wollte zunächst versuchen, ein paar
> Werte auszurechnen:
>
> [mm]y_1=y_0+h/2(f_1+f_0).[/mm]
>
> Mein Problem: Was ist [mm]f_1[/mm] und was [mm]f_0??[/mm]
Es ist
[mm] $f_n [/mm] := [mm] f(t_n,y_n). [/mm] $
FRED
>
> Danke im Voraus!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Fr 23.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Also so:
[mm] y_1= \vektor{2 \\ 5 \\11} +h/2(\pmat{ 0 & 2 & -1\\ 0 & -300 & 0\\ 0 & -598 & -1 }y_1+\vektor{-1\\ 1500 \\-3001})
[/mm]
?
Oh je, ob man da für [mm] y_n [/mm] eine Formel erkennt..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Fr 23.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] y_1=y_0+h/2*A*y_1+h/2*A*y_0
[/mm]
schreibe [mm] y_1=E*y_1 [/mm] und löse nach [mm] y_1 [/mm] auf
dann schreib so allgemein [mm] y_2 [/mm] auf und lös wieder auf
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Fr 23.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
[mm] y_1=y_0+h/2\cdot{}A\cdot{}y_1+h/2\cdot{}A\cdot{}y_0 [/mm]
--> [mm] y_1-h/2Ay_1=y_0+h/2Ay_0 [/mm] --> [mm] y_1(E-h/2A)=y_0+h/2Ay_0 [/mm]
Und nun?
|
|
|
| |
|
Hallo Trikolon,
> [mm]y_1=y_0+h/2\cdot{}A\cdot{}y_1+h/2\cdot{}A\cdot{}y_0[/mm]
>
> --> [mm]y_1-h/2Ay_1=y_0+h/2Ay_0[/mm] --> [mm]y_1(E-h/2A)=y_0+h/2Ay_0[/mm]
> Und nun?
Das muss doch so lauten:
[mm]\left(E-\bruch{h}{2}A\right)y_{1}=\left(E+\bruch{h}{2}A\right)y_{0}[/mm]
Multipliziere jetzt mit der Inversen von [mm]\left(E-\bruch{h}{2}A\right)[/mm].
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Fr 23.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
[mm] y_{1}=(\left(E+\bruch{h}{2}A\right)y_{0}) \left(E-\bruch{h}{2}A\right)^{-1}
[/mm]
Kann man das noch vereinfachen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Sa 24.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
spannend wirds erst wenn du weitermachst
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:12 Sa 24.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Genau das bin ich mir ja nicht sicher. Wie vereinfacht man das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Sa 24.01.2015 | | Autor: | meili |
Hallo,
Besser [mm] $y_0 [/mm] = [mm] \left(E-\bruch{h}{2}A\right)^{-1}*\left(E+\bruch{h}{2}A\right)y_0$,
[/mm]
da Matrixmultiplikation nicht zwingend kommutativ ist.
[mm] $E-\bruch{h}{2}A$ [/mm] kannst du in Abhänigkeit von h konkret hinschreiben,
und dann invertierten.
Dann noch mit [mm] $E+\bruch{h}{2}A$ [/mm] multiplizieren.
So bekommst du eine Matrix B abhängig von h heraus mit [mm] $y_1 [/mm] = [mm] By_0$, [/mm]
oder auch [mm] $y_{n+1} [/mm] = [mm] By_n$.
[/mm]
Gruß
meili
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 Sa 24.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Ohje, davon die Inverse ausrechnen macht richtig Spaß...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 So 25.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Nach ewiger Rechnerei hab ich das hier raus:
[mm] \left(E-\bruch{h}{2}A\right)^{-1}=\pmat{ 1 & \bruch{h}{1+150h} & \bruch{300h^2+2h}{2(301h+2+150h^2)} \\ 0 & \bruch{1}{1+150h} & 0\\ 0 & \bruch{-598h}{301h+2+150h^2} & \bruch{300h+2}{301h+2+150h^2}}
[/mm]
Stimmt das? Ist dieser Weg wirklich zielführend?
|
|
|
| |
|
Hallo Trikolon,
> Nach ewiger Rechnerei hab ich das hier raus:
>
> [mm]\left(E-\bruch{h}{2}A\right)^{-1}=\pmat{ 1 & \bruch{h}{1+150h} & \bruch{300h^2+2h}{2(301h+2+150h^2)} \\ 0 & \bruch{1}{1+150h} & 0\\ 0 & \bruch{-598h}{301h+2+150h^2} & \bruch{300h+2}{301h+2+150h^2}}[/mm]
>
Das 2. Element in der 1.Zeile stimmt nicht.
Das 3. Element in der 1.Zeile lässt sich
noch eleganter schrieben und ist
vorzeichenbehaftet.
> Stimmt das? Ist dieser Weg wirklich zielführend?
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Mo 26.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
[mm] \left(E-\bruch{h}{2}A\right)^{-1}=\pmat{ 1 & \bruch{298h^2-2h}{2+301h+150h^2} & \bruch{300h^2+2h}{2(301h+2+150h^2)} \\ 0 & \bruch{1}{1+150h} & 0\\ 0 & \bruch{-598h}{301h+2+150h^2} & \bruch{2}{2+h}} [/mm]
So besser?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:19 Di 27.01.2015 | | Autor: | meili |
Hallo,
> [mm]\left(E-\bruch{h}{2}A\right)^{-1}=\pmat{ 1 & \bruch{298h^2-2h}{2+301h+150h^2} & \bruch{300h^2+2h}{2(301h+2+150h^2)} \\ 0 & \bruch{1}{1+150h} & 0\\ 0 & \bruch{-598h}{301h+2+150h^2} & \bruch{2}{2+h}}[/mm]
Schon mal ausprobiert [mm] $\left(E-\bruch{h}{2}A\right)^{-1}\left(E-\bruch{h}{2}A\right) [/mm] = E$?
>
>
> So besser?
Besser ja, aber noch nicht richtig.
Die erste Zeile müsste [mm] $\qquad 1\qquad \bruch{2h}{2+h} \qquad -\bruch{h}{2+h} \qquad$ [/mm] sein.
Der 3. Ausdruck in der ersten Zeile lässt sich dazu kürzen,
aber das Minuszeichen fehlt trotzdem.
Gruß
meili
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:17 Di 27.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Aber im zweiten Faktor muss doch E+h/2A stehen. Und dann kommt bei mir nicht die Einheitsmatrix raus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:50 Mi 28.01.2015 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Aber im zweiten Faktor muss doch E+h/2A stehen. Und dann
> kommt bei mir nicht die Einheitsmatrix raus.
Das ist richtig für die Berechnung der Matrix B mit [mm] $y_{n+1} [/mm] = [mm] By_n$.
[/mm]
[mm] $\left(E-\bruch{h}{2}A\right)^{-1}*\left(E-\bruch{h}{2}A\right) [/mm] = E$
ist nur um zu testen ob, die Inverse stimmt.
Gruß
meili
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Mi 28.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
[mm] \left(E-\bruch{h}{2}A\right)^{-1}\cdot{}\left(E+\bruch{h}{2}A\right) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & \bruch{2h+2}{2+h} & \bruch{-h}{h+2} \\ 0 & \bruch{1-150h}{1+150h} & 0 \\ 0 & \bruch{-1196}{(h+2)1+150h)} & \bruch{2-2h}{2+h}}
[/mm]
Ist das so ok? Aber wenn ich das jetzt mit [mm] y_0 [/mm] multipliziere, fällt mir nix besonders auf...
|
|
|
| |
|
Hallo Trikolon,
>
> [mm]\left(E-\bruch{h}{2}A\right)^{-1}\cdot{}\left(E+\bruch{h}{2}A\right)[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 & \bruch{2h+2}{2+h} & \bruch{-h}{h+2} \\ 0 & \bruch{1-150h}{1+150h} & 0 \\ 0 & \bruch{-1196}{(h+2)1+150h)} & \bruch{2-2h}{2+h}}[/mm]
>
Die ausmultiplizierte Matrix muss doch so lauten:
[mm]\left(E-\bruch{h}{2}A\right)^{-1}\cdot{}\left(E+\bruch{h}{2}A\right) = \pmat{ 1 & \bruch{\blue{4h}}{2+h} & \bruch{-h}{h+2} \\ 0 & \bruch{1-150h}{1+150h} & 0 \\ 0 & \bruch{-1196}{(h+2)1+150h)} & \bruch{2-\blue{h}}{2+h}}[/mm]
> Ist das so ok? Aber wenn ich das jetzt mit [mm]y_0[/mm]
> multipliziere, fällt mir nix besonders auf...
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Mi 28.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Multipliziert mit [mm] y_0 [/mm] erhalte ich
[mm] y_1=\vektor{\bruch{2h-5}{h+2} \\ \bruch{5(1-150h)}{1+150h} \\ \bruch{-1650h^2+3289h-5958}{(h+2)(1+150h)}}
[/mm]
Und nun?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:02 Do 29.01.2015 | | Autor: | meili |
Hallo,
nach Aufgabenstellung sollst du eine explizite Darstellung für [mm] $y_n$ [/mm] angeben.
Mit
[mm] $y_n [/mm] = [mm] \pmat{1 & \bruch{4h}{2+h} & -\bruch{2h}{2+h} \\0 & \bruch{1-150h}{1+150h} & 0 \\ 0 & -\bruch{1196h}{(1+150h)(2+h)} & \bruch{2-h}{2+h}}y_{n-1}$ [/mm] $n [mm] \ge [/mm] 1$
bzw.
[mm] $y_n [/mm] = [mm] \pmat{1 & \bruch{4h}{2+h} & -\bruch{2h}{2+h} \\0 & \bruch{1-150h}{1+150h} & 0 \\ 0 & -\bruch{1196h}{(1+150h)(2+h)} & \bruch{2-h}{2+h}}^n *\vektor{2 \\ 5 \\ 11}$ [/mm] $n [mm] \ge [/mm] 1$
bist du fertig.
Gruß
meili
|
|
|
|
