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Induktion die nicht geht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:22 Do 20.10.2016
Autor: rubi

Hallo zusammen,

ich bin auf der Suche nach einer Formel über natürliche Zahlen, die aber nicht für alle n funktioniert.

Fall 1:
Es funktioniert zwar der Induktionsschritt, aber es gibt keinen Induktionsanfang.

Fall 2:
Die Formel gilt für die ersten natürlichen Zahlen, aber ab einem bestimmten n nicht mehr (ich habe hier mal gehört, dass eine Formel geben soll, die bis ungefähr n = 40 funktioniert und danach nicht mehr).

Kann mir jemand für beide Fälle jeweils ein Beispiel liefern ?
Am schönsten wäre hier eine Art Summenformel.

Vielen Dank im voraus.

Grüße
Rubi

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.


        
Bezug
Induktion die nicht geht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:14 Fr 21.10.2016
Autor: tobit09

Hallo rubi!


> Fall 1:
> Es funktioniert zwar der Induktionsschritt, aber es gibt
> keinen Induktionsanfang.

Betrachte für jede natürliche Zahl n jeweils die Aussage "n=n+1".


Allgemeiner:

Nimm eine Formel deiner Wahl (z.B. eine Summenformel), die für alle natürlichen Zahlen eine wahre Gleichheit reeller Zahlen ausdrückt, und ergänze z.B. auf der rechten Seite ein "+1". Anstelle der 1 kannst du auch jede beliebige andere reelle Zahl außer der 0 nehmen.


Anderes Beispiel:

Betrachte für jede natürliche Zahl n jeweils die Aussage

      "n ist der Nachfolger einer natürlichen Zahl, d.h. es existiert eine natürliche Zahl m mit $n=m+1$".


Wenn du lieber keinen Existenzquantor möchtest, kannst du das vorige Beispiel wie folgt abwandeln (ich nehme hier an, dass die 0 zu den natürlichen Zahlen zählt):
Betrachte für jede natürliche Zahl n jeweils die Aussage "n>0".


> Fall 2:
> Die Formel gilt für die ersten natürlichen Zahlen, aber
> ab einem bestimmten n nicht mehr (ich habe hier mal
> gehört, dass eine Formel geben soll, die bis ungefähr n =
> 40 funktioniert und danach nicht mehr).

Für eine Teilmenge [mm] $M\subseteq\IN$ [/mm] ist die Indikatorfunktion [mm] $1_M\colon\IN\to\IR$ [/mm] definiert durch

       [mm] $1_M(n):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n\in M \\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}$. [/mm]

Sei nun speziell [mm] $M=\{1,2,3,\ldots,1.000.000\}$. [/mm]

Dann gilt die Summenformel

       [mm] $\sum_{i=1}^n 1_M(i)=n$ [/mm]

für alle [mm] $n=0,1,2,\ldots,1.000.000$, [/mm] aber nicht für $n>1.000.000$.


Anderes Beispiel:

Die Formel

     [mm] $\produkt_{i=0}^{1.000.000}(n-i)=0$ [/mm]

gilt ebenfalls für [mm] $n=0,1,2,\ldots,1.000.000$, [/mm] aber nicht für $n>1.000.000$.


Viele Grüße
Tobias

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