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Inhalt Elem.-geo. Figuren: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:52 Fr 28.04.2017
Autor: Joseph95

Aufgabe
Sei A [mm] \in \IR^d [/mm] eine elementargeometrische Figur mit A = [mm] \bigcup_{j=1}^{m} Q_{j} [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^{n} P_{i} [/mm] mit jeweils paarweisen disjunkten achsenparallelen Quadern [mm] Q_{1}, [/mm] ..., [mm] Q_{m} [/mm] bzw. [mm] P_{1}, [/mm] ..., [mm] P_{n}. [/mm] Zeigen Sie, dass für den Inhalt [mm] \mu [/mm] gilt:
[mm] \sum^m_{j=1} \mu(Q_j) [/mm] = [mm] \sum^n_{i=1} \mu(P_j) [/mm]

Hinweis: Es soll nur die Additivität von [mm] \mu [/mm] auf Menge der achsenparallelen Quader ausgenutzt werden.

Hey Leute,

ich bräuchte mal wieder eure Hilfe. Ich bin mir unsicher bei der Aufgabe, sie kommt mir sehr simpel rüber und befürchte dass ich sie falsch verstehen könnte.
Ich bin wie folgt vorgegangen:
Ich will zunächst den Inhalt von A bestimmen, dafür nutze ich aber nur die Vereinigung der Mengen [mm] Q_1, [/mm] ..., [mm] Q_m. [/mm] Sprich: [mm] \mu(A) [/mm] = [mm] \mu(\bigcup_{j=1}^{m} Q_{j}) [/mm] = [mm] \mu(Q_1 \cup Q_2 \cup [/mm] ... [mm] \cup Q_n) [/mm] = [mm] \mu(Q_1) [/mm] + [mm] \mu(Q_2) [/mm] + ... + [mm] \mu(Q_n) [/mm] = [mm] \sum^m_{j=1} \mu(Q_j) [/mm]

Analog zeige ich es für [mm] \mu(A) [/mm] mit den Vereinigungen von [mm] \mu(\bigcup_{i=1}^{n} P_{i}). [/mm]

Dann folgt ja aus den beiden Gleichungen auch meine Behauptung. Wäre ich nicht dann so fertig?


Viele Grüße
Joseph95

        
Bezug
Inhalt Elem.-geo. Figuren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:05 Fr 28.04.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

ja du wärst fertig.

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Inhalt Elem.-geo. Figuren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:10 Fr 28.04.2017
Autor: tobit09

Hallo zusammen!


Ich vermute, dass für diese Aufgabe nur ein Inhalt [mm] $\mu$ [/mm] auf der Menge der achsenparallelen Quader zur Verfügung steht, nicht jedoch ein Inhalt auf der Menge der elementargeometrischen Figuren.

Wenn ich richtig liege, macht es also (noch) keinen Sinn, [mm] $\mu(A)$ [/mm] zu bilden.

Vielmehr soll wohl mit dieser Aufgabe die Wohldefiniertheit einer durch [mm] $\mu(A):=\sum_{i=1}^m\mu(Q_j)$ [/mm] definierten Mengenfunktion auf der Menge der elementargeometrischen Figuren nachgewiesen werden.

Für meine Interpretation spricht der Hinweis, man solle "nur die Additivität von $ [mm] \mu [/mm] $ auf der Menge der achsenparallelen Quader" (also nicht etwa auf der Menge der elementargeometrischen Figuren!) ausnutzen.


Vielleicht kannst du, Joseph95, hier Klarheit bringen.

Außerdem beantworte bitte folgende Fragen:

Ist [mm] $\mu$ [/mm] ein beliebiger Inhalt auf der Menge der achsenparallelen Quader oder ein spezieller?
Wie sind bei euch die achsenparallelen Quader genau definiert? (Mithilfe offener, abgeschlossener oder "halbseitig offener" Intervalle?)


Viele Grüße
Tobias

Bezug
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