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Hallo zusammen
Versuche mich gerade an folgender Aufgabe:
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
y'''+4y''+4y'=2
Meine Lösung:
Homogene Lösung: y'''+4y''+4y'=0
1) Charakteristische Gleichung: [mm] \lambda^3+4\lambda^2+4\lambda=0 \gdw \lambda*(\lambda+2)^2 [/mm] = 0
2) Nullstellen: [mm] \lambda_1=0 [/mm] & [mm] \lambda_{2,3}=-2
[/mm]
3) Allg. homogene Lösung: [mm] y=A+B*e^{-2x}+C*x*e^{-2x}
[/mm]
Inhomogene Lösung: y'''+4y''+4y'=2
Wie gehe ich hier vor?
Kann ich dies auch, ohne einen bekannten Ansatz zu verwenden, lösen? Wenn ja, wie?
Liebe Grüsse
Babybel
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Hallo,
> Hallo zusammen
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> Versuche mich gerade an folgender Aufgabe:
>
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
> y'''+4y''+4y'=2
>
> Meine Lösung:
> Homogene Lösung: y'''+4y''+4y'=0
> 1) Charakteristische Gleichung:
> [mm]\lambda^3+4\lambda^2+4\lambda=0 \gdw \lambda*(\lambda+2)^2[/mm]
> = 0
> 2) Nullstellen: [mm]\lambda_1=0[/mm] & [mm]\lambda_{2,3}=-2[/mm]
> 3) Allg. homogene Lösung: [mm]y=A+B*e^{-2x}+C*x*e^{-2x}[/mm]
>
> Inhomogene Lösung: y'''+4y''+4y'=2
Achte auf deine Wortwahl: du meinst die inhomogene Gleichung und suchst deren Lösung. Man bezeichnet jede Lösung einer inhomogenen DGL als partikuläre Lösung.
> Wie gehe ich hier vor?
Indem du eine solche partikuläre Lösung aufsuchst (das geht hier praktisch ohne Rechnen durch scharfes Hinsehen!) und dann eine allgemeine Lösung bildest durch
[mm] y=y_h+y_p
[/mm]
wobei [mm] y_h: [/mm] die allgemeine Lösung der homogenen DGL und [mm] y_p [/mm] eine beliebige partikuläre Lösung der inhomogenen DGL ist. Für die partikuläre Lösung wählst du einen Anstaz vom Typ der rechten Seite, beachtest jedoch unbedingt, dass die Funktion y selbst in der DGL nicht vorkommt. Also in der allgemeinen linearen homogenen DGL 3. Ordnung
a*y'''+b*y''+c*y'+d*y=0
wäre hier d=0, und das liefert dir den richtigen Ansatz!
> Kann ich dies auch, ohne einen bekannten Ansatz zu
> verwenden, lösen? Wenn ja, wie?
Na ja, man kann solche DGLen in ein System erster Ordnung transformieren, aber ob man damit hier ohne bekannten Ansatz auskommt, das habe ich jetzt nicht versucht und halte es auch für nicht sonderlich sinnvoll, da der Aufwand sicherlich nicht weniger wird!
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant
Vielen Dank für deine Hilfe.
Also meine Störfunktion (g(x)=2) ist eine Polynomfunktion vom Grade 1, daraus ergibt sich, da [mm] a_0 [/mm] (bei dir d)=0, dass der Lösungsansatz von [mm] y_p(x)=x*D [/mm] ist.
Nun berechne: [mm] y_p'(x)=D, y_p''(x)=0 [/mm] & [mm] y_p'''(x)=0
[/mm]
Setze dies in die DGL: (also in y'''+4y''+4y'=2)
0+4*0+4*D=2 [mm] \Rightarrow [/mm] D= [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Also ist [mm] y_p(x)=\bruch{1}{2}*x
[/mm]
Somit ist also die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung: [mm] y(x)=y_h(x)+y_p(x)=y=A+B\cdot{}e^{-2x}+C\cdot{}x\cdot{}e^{-2x}+\bruch{1}{2}*x
[/mm]
Ist diese Vorgehensweise so in Ordnung?
Liebe Grüsse
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Hallo,
> Hallo Diophant
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> Vielen Dank für deine Hilfe.
> Also meine Störfunktion (g(x)=2) ist eine Polynomfunktion
> vom Grade 1, daraus ergibt sich, da [mm]a_0[/mm] (bei dir d)=0, dass
> der Lösungsansatz von [mm]y_p(x)=x*D[/mm] ist.
> Nun berechne: [mm]y_p'(x)=D, y_p''(x)=0[/mm] & [mm]y_p'''(x)=0[/mm]
> Setze dies in die DGL: (also in y'''+4y''+4y'=2)
> 0+4*0+4*D=2 [mm]\Rightarrow[/mm] D= [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> Also ist [mm]y_p(x)=\bruch{1}{2}*x[/mm]
>
> Somit ist also die allgemeine Lösung der inhomogenen
> Differentialgleichung:
> [mm]y(x)=y_h(x)+y_p(x)=y=A+B\cdot{}e^{-2x}+C\cdot{}x\cdot{}e^{-2x}+\bruch{1}{2}*x[/mm]
>
> Ist diese Vorgehensweise so in Ordnung?
>
Jep: voll in Ordnung. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jetzt sei doch mal so gut und probiere das mit dem scharf Hinsehen selbst mal aus. Gibst du mir Recht, dass man hier
[mm] y_p=\bruch{1}{2}x
[/mm]
direkt ablesen kann?
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Mo 01.09.2014 | | Autor: | Babybel73 |
Hallo Diophant
Also du meinst einfach, dass man y'''=y''=0 setzen kann und 4y'=2 & dies ist ja [mm] y'=\bruch{1}{2} [/mm] & dann kann ich dies integrieren und erhalte [mm] y(x)=E+\bruch{1}{2}*x, [/mm] wobei das E wieder verschwindet in der allgemeinen Lösung, da ich es mit dem A von y(x) zusammen tun kann.
Meinst du so?
Liebe Grüsse
Babybel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:43 Mo 01.09.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Hallo Diophant
>
> Also du meinst einfach, dass man y'''=y''=0 setzen kann und
> 4y'=2 & dies ist ja [mm]y'=\bruch{1}{2}[/mm] & dann kann ich dies
> integrieren und erhalte [mm]y(x)=E+\bruch{1}{2}*x,[/mm] wobei das E
> wieder verschwindet in der allgemeinen Lösung, da ich es
> mit dem A von y(x) zusammen tun kann.
> Meinst du so?
>
Viel zu kompliziert gedacht: die partikuläre Lösung kann eine Proportionalität sein aus den genannten Gründen, also von der Form a*x. Das ergibt abgeleitet a, ein weiteres Mal abgeleitet Null usw. und jetzt macht man sich noch klar, dass 2 die Hälfte von 4 ist - fertig. 
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:32 Mo 01.09.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Hallo Diophant
> >
> > Vielen Dank für deine Hilfe.
> > Also meine Störfunktion (g(x)=2) ist eine
> Polynomfunktion
> > vom Grade 1,
Nein, eine Polynomfunktion vom Grade 0.
FRED
> daraus ergibt sich, da [mm]a_0[/mm] (bei dir d)=0,
> dass
> > der Lösungsansatz von [mm]y_p(x)=x*D[/mm] ist.
> > Nun berechne: [mm]y_p'(x)=D, y_p''(x)=0[/mm] & [mm]y_p'''(x)=0[/mm]
> > Setze dies in die DGL: (also in y'''+4y''+4y'=2)
> > 0+4*0+4*D=2 [mm]\Rightarrow[/mm] D= [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> > Also ist [mm]y_p(x)=\bruch{1}{2}*x[/mm]
> >
> > Somit ist also die allgemeine Lösung der inhomogenen
> > Differentialgleichung:
> >
> [mm]y(x)=y_h(x)+y_p(x)=y=A+B\cdot{}e^{-2x}+C\cdot{}x\cdot{}e^{-2x}+\bruch{1}{2}*x[/mm]
> >
> > Ist diese Vorgehensweise so in Ordnung?
> >
>
> Jep: voll in Ordnung.
>
> Jetzt sei doch mal so gut und probiere das mit dem scharf
> Hinsehen selbst mal aus. Gibst du mir Recht, dass man hier
>
> [mm]y_p=\bruch{1}{2}x[/mm]
>
> direkt ablesen kann?
>
>
> Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 Mo 01.09.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo FRED,
> > > Vielen Dank für deine Hilfe.
> > > Also meine Störfunktion (g(x)=2) ist eine
> > Polynomfunktion
> > > vom Grade 1,
>
>
> Nein, eine Polynomfunktion vom Grade 0.
au ja, das hatte ich überlesen. Danke für den Nachtrag!
Gruß, Diophant
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