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Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:55 Sa 10.02.2018
Autor: Ice-Man

Hallo,

ich soll integrieren.

[mm] \integral_{}^{}{e^{{\bruch{x}{2}}} dx} [/mm]

Lösung ist ja,

[mm] 2e^{\bruch{x}{2}}+C [/mm]

Aber ich habe leider nur ein Verständnisproblem bei dem herleiten der Lösung.

Ich substituiere,

[mm] \bruch{x}{2}=u [/mm]

[mm] du=\bruch{dx}{2} [/mm]

Wie entsteht jetzt das dx und du?

Schreibe ich das einfach um? Bzw. darf ich das?


Vielen Dank schon einmal.




        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:28 Sa 10.02.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich substituiere,
>  
> [mm]\bruch{x}{2}=u[/mm]
>  
> [mm]du=\bruch{dx}{2}[/mm]
>  
> Wie entsteht jetzt das dx und du?

[mm] $\frac{du}{dx}$ [/mm] ist eine alternative Schreibweise für "Leite die Funktion u nach x ab".
In deinem Fall ergibt sich daher [mm] $\frac{du}{dx} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$, [/mm] da ja $u = [mm] \frac{x}{2}$ [/mm] gilt.

Nun macht man einen Schritt, der zwar rein mathematisch gesehen gar nicht geht, der aber funktioniert!
Das sollte man immer im Hinterkopf bei dieser Art der Integration haben.
Man "multipliziert" beide Seiten mit $dx$ und erhält somit:

$du = [mm] \frac{1}{2} [/mm] dx$ bzw $2du = dx$

d.h. man muss im Integral oben das "$dx$" ersetzen durch "$2 du$", wenn man $u = [mm] \frac{x}{2}$ [/mm] substituiert, um die richtige Lösung zu erhalten.

Gruß,
Gono


Bezug
                
Bezug
Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 Sa 10.02.2018
Autor: Ice-Man

Ok, vielen Dank.

Das dachte ich mir schon. Denn ich habe ja die Lösung erhalten.

Nur war ich mir nicht sicher ob ich das einfach so machen darf, bzw. ob das dann einfach so funktioniert.

Aber dann kann ich prinzipiell aus den Variablen die "Ableitungsterme" formen?

Bezug
                        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 Sa 10.02.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Aber dann kann ich prinzipiell aus den Variablen die
> "Ableitungsterme" formen?

ja, allerdings muss man immer aufpassen, dass die Voraussetzungen für die Substitution erfüllt sind.

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:50 Sa 10.02.2018
Autor: Hias

Hallo,
du kannst das [mm] \bruch{x}{2}=u [/mm] bzw. $x = 2u $ als eine Funktion x in Abhängigkeit von u auffassen, d.h. $x(u)=2u$. Diese kannst du dann wie gewohnt nach u ableiten, also

[mm] \bruch{dx(u)}{du }= \bruch{d(2u)}{du}=2 [/mm]

Nach dx umstellen, einsetzen und fertig.



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