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Integralrechnung: Stammfunktion und Konvergenz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:09 Fr 26.08.2016
Autor: High_Elo_Theorie

Folgendes Problem habe ich liebe Community, undzwar
geht es um folgende Aufgabe:

Aufgabe
Berechnen Sie durch
F(x):= [mm] \integral_{4}^{x}{ \bruch{t^2 + \wurzel{t^2 - 4} + 1}{(1+t^2)* \wurzel{t^2 - 4}} dt} [/mm]  (x [mm] \in [/mm] I := (2 | [mm] \infty)) [/mm]
definierte Abbildung F : I -> R und bestimmen Sie in den Punkten in denen Differenzierbarkeit vorliegt die Ableitung, sowei im Falle der Konvergenz
[mm] \limes_{x\rightarrow 2} [/mm] F(x) sowie [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] F(x)





Ich habe bereits die Stammfunktion ausgerechnet nur weiss ich nicht ob Sie stimmt und die Grenzwerte der Stammfunktion.
Also ich habe als Stammfunktion raus arcosh(t/2) + arctan(t/2). Die Grenzen habe ich eingesetzt und komme auf [mm] ln(\wurzel{x^2 - 4} [/mm] + x) + ln(1 + [mm] x^2 [/mm] + x) - [mm] ln(\wurzel{16 - 4} [/mm] + 4) - [mm] ln(\wurzel{17} [/mm] + 4).
Als Grenzwerte habe ich einmal für x -> 2 als Ergebnis  ln(14)
und für [mm] x\rightarrow\infty [/mm] als Ergebnis [mm] \infty [/mm]

        
Bezug
Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:17 Fr 26.08.2016
Autor: HJKweseleit


> Folgendes Problem habe ich liebe Community, undzwar
>  geht es um folgende Aufgabe:
>  Berechnen Sie durch
>  F(x):= [mm]\integral_{4}^{x}{ \bruch{t^2 + \wurzel{t^2 - 4} + 1}{(1+t^2)* \wurzel{t^2 - 4}} dt}[/mm]
>  (x [mm]\in[/mm] I := (2 | [mm]\infty))[/mm]
>  definierte Abbildung F : I -> R und bestimmen Sie in den

> Punkten in denen Differenzierbarkeit vorliegt die
> Ableitung, sowei im Falle der Konvergenz
> [mm]\limes_{x\rightarrow 2}[/mm] F(x) sowie
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] F(x)
>  
>
>
> Ich habe bereits die Stammfunktion ausgerechnet nur weiss
> ich nicht ob Sie stimmt und die Grenzwerte der
> Stammfunktion.
> Also ich habe als Stammfunktion raus arcosh(t/2)[ok] +
> arctan(t/2)[notok] nur arctan(t).


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Integralrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:29 Fr 26.08.2016
Autor: High_Elo_Theorie

Ich merke gerade das es gar nicht richtig sein kann, da hier gar nicht das Integral gefragt ist sondern die Ableitung. Hmm ist das denn möglich ?

Bezug
                        
Bezug
Integralrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:35 Sa 27.08.2016
Autor: Chris84


> Ich merke gerade das es gar nicht richtig sein kann, da
> hier gar nicht das Integral gefragt ist sondern die
> Ableitung. Hmm ist das denn möglich ?  

Moment, es ist die Ableitung von $F$ gefragt. Du hast doch schon das Integral berechnet (eventuell nochmal nachrechnen). $F$ ist nun eine Funktion von $x$. Die Frage ist, fuer welche $x$ die Ableitung definiert ist.

Klar soweit!?

Alternativ muesste es wohl auch mit den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gehen (hab's aber nicht nachgeprueft ^^).

Gruss,
Chris

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Bezug
Integralrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:56 So 28.08.2016
Autor: High_Elo_Theorie

Kann mir denn mal jemand sagen ob es überhaupt differenzierbar/ableitbar ist ?
Ich habe mir gerade was von einer h Methode und dem Differenzialquotienten angeguckt.

Bezug
                                        
Bezug
Integralrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:25 So 28.08.2016
Autor: Chris84


> Kann mir denn mal jemand sagen ob es überhaupt
> differenzierbar/ableitbar ist ?
> Ich habe mir gerade was von einer h Methode und dem
> Differenzialquotienten angeguckt.  

Huhu,
warum so kompliziert. Da du anscheinend Integrale berechnen kannst und Student im Grundstudium bist, gehe ich davon aus, dass du Ableitungen berechnen kannst.

Du hast also (hab's nicht nachgerechnet) $F(x)=Arcosh(x/2)-Arcosh(2)+Arctan(x)-Arctan(4)$ (alternativ laesst sich der Teil mit Arcosh auch mit nem Logarithmus ausdruecken). Die Frage ist nun, fuer welche $x$ (auf dem Definitionsbereich) man die Ableitung bestimmen kann. Wenn ja, wie lautet sie?

Bezug
                                                
Bezug
Integralrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:45 So 28.08.2016
Autor: High_Elo_Theorie

Also da ich von der Ausgangssituation die Ableitung berechnen muss gehe ich mal von einer ganz langen und unübersichtlichen Differenzierung aus. Hier kommt ja Quotienregel und die Kettenregel ins Spiel. Deswegen bin ich da etwas spektisch. Da es sonst ungewohnt für uns wäre. Deswegen bin ich davon ausgegangen zuerst die differenzierbarkeit zu prüfen bevor ich die Ableitung mache oder brauch ich die differenzierbarkeit nicht mehr prüfen ?

Bezug
                                                        
Bezug
Integralrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:50 So 28.08.2016
Autor: Chris84


> Also da ich von der Ausgangssituation die Ableitung

Was meinst du mit Ausgangssituation!? Ich ahne schlimmes....


> berechnen muss gehe ich mal von einer ganz langen und
> unübersichtlichen Differenzierung aus. Hier kommt ja
> Quotienregel und die Kettenregel ins Spiel. Deswegen bin

Wieso Quotientenregel?


> ich da etwas spektisch. Da es sonst ungewohnt für uns
> wäre. Deswegen bin ich davon ausgegangen zuerst die
> differenzierbarkeit zu prüfen bevor ich die Ableitung
> mache oder brauch ich die differenzierbarkeit nicht mehr
> prüfen ?  

Nochmal: Es geht um die Differenzierbarkeit von $F$ (NICHT vom Integranden von $F$). Ist Arcosh auf dem Definionsbereich differenzierbar, ist Arctan differenzierbar!? Was sind deren Ableitungen!? So schlimm wird das nicht.

Wie gesagt: Alternativ koennte wohl auch der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung helfen ^^

Gruss,
Chris

P.S.: Wenn du Fragen hast, diese bitte auch als solche kennzeichnen ;)

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Integralrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:14 So 28.08.2016
Autor: High_Elo_Theorie

Ist die differenzierbarkeit von arcosh(...) ist eben nicht die Aufgabe, denn wenn ich die Aufgabe so wie ich sie lese betrachte steht dort Ableitung wenn differenzierbarkeit herrscht und arcosh(...) ist das Integral von F. Deswegen weiss ich nicht was ich da machen muss, da die Ausgangssituation hier ein Bruch ist mit Wurzeln jeweils im Zähler und im Nenner. Ich müsste falls wirklich differenzierbarkeit bei der Ausgangssituation herrscht die Ableitung berechnen. Deswegen Quotientenregel und Kettenregel.

Bezug
                                                                        
Bezug
Integralrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:25 So 28.08.2016
Autor: High_Elo_Theorie

Und jetzt meine Frage
was muss ich laut der Aufgabenstellung jetzt ganz konkret machen.
Wenn es geht bitte mit Schritten.

Bezug
                                                                                
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Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:05 Mo 29.08.2016
Autor: fred97

Warum beherzigst Du denn nicht den Tipp mit dem Hauptsatz ???


Es ist

  
$F(x):=  [mm] \integral_{4}^{x}{ \bruch{t^2 + \wurzel{t^2 - 4} + 1}{(1+t^2)\cdot{} \wurzel{t^2 - 4}} dt} [/mm] $

für $x [mm] \in [/mm] I:=(2, [mm] \infty)$. [/mm]

Die Funktion f(t):= [mm] \bruch{t^2 + \wurzel{t^2 - 4} + 1}{(1+t^2)\cdot{} \wurzel{t^2 - 4}} [/mm] ist auf I stetig.

Damit ist, nach dem Hauptsatz, die Funktion F auf I  stetig differenzierbar und es ist

    $F'(x)=f(x)$ für alle $x [mm] \in [/mm] I$.

FRED

Bezug
                                                                                        
Bezug
Integralrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:13 Mo 29.08.2016
Autor: High_Elo_Theorie

Warte mal dann ist f(t) := [mm] \bruch{t^2 + \wurzel{t^2 - 4} + 1}{(1+t^2) * \wurzel{t^2 - 4}} [/mm] dt und nicht groß F. Der Fundamentalsatz der Analysis sagt doch nur das F'(x) = f(x) ist. Also müsste ich doch Zähler und Nenner mit der Quotientenregel ableiten oder ? Das verwirrt mich gerade etwas.  

Bezug
                                                                                                
Bezug
Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:21 Mo 29.08.2016
Autor: Chris84


> Warte mal dann ist f(t) := [mm]\bruch{t^2 + \wurzel{t^2 - 4} + 1}{(1+t^2) * \wurzel{t^2 - 4}}[/mm]
> dt und nicht groß F. Der Fundamentalsatz der Analysis sagt

Ja ($f$ ohne $dt$). Das ist das, was ich dir schon laenger versuche klar zu machen. $F$ ist die integrierte Funktion. (Hinter dem Gleichheitszeichen von $F$ steht doch das Integralzeichen.) Und es geht um die Differenzierbarkeit von $F$, nicht von $f$.

> doch nur das F'(x) = f(x) ist. Also müsste ich doch

Eben genau das ist es, was FRED geschrieben hat. Es geht doch um die Ableitung von $F$, nicht von $f$.

> Zähler und Nenner mit der Quotientenregel ableiten oder ?

Nein, immer noch nicht.

> Das verwirrt mich gerade etwas.  

Nochmal (vlt. etwas aufuehrlicher): Es ist [mm] $f(t)=\bruch{t^2 + \wurzel{t^2 - 4} + 1}{(1+t^2) * \wurzel{t^2 - 4}}$. [/mm] Dann ist $F$ gegeben durch

[mm] $F(x)=\int_4^x [/mm] f(t) dt = Arcosh(x/2)-Arcosh(2)+Arctan(x)-Arctan(4)$.

Und es geht darum zu schauen, ob $F$ (nicht $f$) differenzierbar ist. Und da $F$ die Integralfunktion von $f$ ist, sollte natuerlich gelten, dass

$F'(x)=f(x)$

ist.

Ist das nun klarer? Wenn nicht, bitte ganz explizit nachfragen, was wo unklar ist.

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Integralrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:25 Mo 29.08.2016
Autor: High_Elo_Theorie

Es wäre doch komisch von F die Ableitung zu bilden da man ja sonst auf
wieder auf den Bruch kommen würde oder etwa nicht ?
Also wenn ich arcosh(...) ableite dann komme ich doch genau auf die Aufgabenstellung zurück oder ?

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Integralrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:29 Mo 29.08.2016
Autor: High_Elo_Theorie

Also das was mich beschäftigt hatte war von was ich jetzt die Ableitung bilden soll. Soll ich erst integrieren und dann ableiten oder [mm] \bruch{t^2 + \wurzel{t^2 - 4} + 1}{(1+t^2) * \wurzel{t^2 - 4}} [/mm] direkt ableiten.

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:30 Mo 29.08.2016
Autor: fred97


> Es wäre doch komisch von F die Ableitung zu bilden da man
> ja sonst auf
> wieder auf den Bruch kommen würde oder etwa nicht ?

Wenn Du mit "Bruch" das meinst:  $ [mm] \bruch{x^2 + \wurzel{x^2 - 4} + 1}{(1+x^2) \cdot{} \wurzel{x^2 - 4}} [/mm] $

so ist daran nichts komisch.

> Also wenn ich arcosh(...) ableite dann komme ich doch genau
> auf die Aufgabenstellung zurück oder ?  

Was meinst Du mit "Aufgabenstellung " ?

FRED


Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Integralrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:35 Mo 29.08.2016
Autor: High_Elo_Theorie

Muss ich dann wirklich nochmal das ganze Schritt für Schritt ableiten oder kann ich dann einfach sagen F'(x) = f(t) ?

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:44 Mo 29.08.2016
Autor: fred97


> Muss ich dann wirklich nochmal das ganze Schritt für
> Schritt ableiten oder kann ich dann einfach sagen F'(x) =
> f(t) ?

Es ist F'(x)=f(x). Das sagt der Hauptsatz. Damit ist die Differenzierbarkeit von F auf $(2, [mm] \infty)$ [/mm] geklärt. F' hast Du damit bestimmt.

Nun sollst Du noch

$ [mm] \limes_{x\rightarrow 2} [/mm]  F(x)$ sowie $ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm]  F(x)$

bestimmen. Dafür eignet sich die Darstellung

  $ F(x)=Arcosh(x/2)-Arcosh(2)+Arctan(x)-Arctan(4) $

besser.

Fred



Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Integralrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:59 Mo 29.08.2016
Autor: High_Elo_Theorie

Habs schon verstanden deine Gegenfrage hat es da schon etwas schlimmer gemacht. Naja danke trotzdem

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Integralrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:11 Mo 29.08.2016
Autor: fred97


> Habs schon verstanden deine Gegenfrage hat es da schon
> etwas schlimmer gemacht. Naja danke trotzdem  

Trotzdem ?  So stelle ich mir den Dank für eine erschöpfend beantwortete Frage vor !

FRED


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