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Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:27 Do 10.08.2017
Autor: Rocky1994

Guten Abend,

ich möchte gerne das folgende Integral berechen:

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{3-2*x-x^{2}}} dx} [/mm]

Die Lösung von http://www.integralrechner.de verstehe ich nicht. Vielleicht kann mir das einer von euch erklären?

Mein Ansatz:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{3-2*x-x^{2}}} dx}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{4-(x+1)^{2}}} dx} [/mm]

Jetzt würde ich x+1 substituieren aber wie oder liege ich da falsch?

LG Rocky1994

        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:31 Fr 11.08.2017
Autor: fred97


> Guten Abend,
>  
> ich möchte gerne das folgende Integral berechen:
>  
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{3-2*x-x^{2}}} dx}[/mm]
>  
> Die Lösung von http://www.integralrechner.de verstehe ich
> nicht. Vielleicht kann mir das einer von euch erklären?
>  
> Mein Ansatz:
>  [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{3-2*x-x^{2}}} dx}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{4-(x+1)^{2}}} dx}[/mm]
>  
> Jetzt würde ich x+1 substituieren

gute Idee


>  aber wie

Wie Wie ? Mach doch

> oder liege ich
> da falsch?
>  

Nein


> LG Rocky1994


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Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:44 Fr 11.08.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Guten Abend,

>

> ich möchte gerne das folgende Integral berechen:

>

> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{3-2*x-x^{2}}} dx}[/mm]

>

> Die Lösung von http://www.integralrechner.de verstehe ich
> nicht. Vielleicht kann mir das einer von euch erklären?

>

> Mein Ansatz:
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{3-2*x-x^{2}}} dx}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{4-(x+1)^{2}}} dx}[/mm]

>

> Jetzt würde ich x+1 substituieren aber wie oder liege ich
> da falsch?

Wie FRED schon sagte liegst du richtig. Eigentlich hätte dir selbst auffallen müssen, dass das auf eine elementare Stammfunktion hinausläuft. Wenn du alternativ

[mm] u=\frac{x+1}{2} [/mm]

subtituierst, siehst du das vielleicht noch leichter ein.


Gruß, Diophant

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Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:18 Fr 11.08.2017
Autor: Rocky1994


> Wie FRED schon sagte liegst du richtig. Eigentlich hätte
> dir selbst auffallen müssen, dass das auf eine elementare
> Stammfunktion hinausläuft. Wenn du alternativ
>  
> [mm]u=\frac{x+1}{2}[/mm]
>  
> subtituierst, siehst du das vielleicht noch leichter ein.
>  

Ich verstehe nicht ganz wie man auf [mm]u=\frac{x+1}{2}[/mm] kommt und dann weiter macht. Wäre echt klasse, wenn ihr mir das nochmal erklären könntet!

LG Rocky1994

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Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:37 Fr 11.08.2017
Autor: Steffi21

Hallo,

machen wir zunächst u:=x+1

[mm] \bruch{du}{dx}=1 [/mm]

dx=du

jetzt bekommst Du


[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{4-u^2}} du} [/mm]

erkennst Du jetzt auch die alternative Variante?!

Steffi





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Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:45 Fr 11.08.2017
Autor: Rocky1994

Die Alternative Möglichkeit sehe ich immer noch nicht. Kann man nicht Nichteinhaltung substituieren:

[mm] v=4-u^{2} [/mm]
v'=-2u

dv/-2u=du

und dann zu Behaupten [mm] u=\wurzel[n]{4-v}? [/mm]

EDIT: Bringt mich auch nicht weiter => verwerfen

LG Rocky1994

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Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:02 Fr 11.08.2017
Autor: fred97

$ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{4-u^2}} du} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{2 \wurzel{1-(\frac{u}{2})^2}} du} [/mm] $

Jetzt substituiere [mm] $v=\frac{u}{2}$ [/mm] und beachte, dass die Funktion

[mm] \bruch{1}{ \wurzel{1-v^2}} [/mm] die Stammfunktion [mm] $\arcsin [/mm] v$ hat.

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Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:46 Fr 11.08.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Ich verstehe nicht ganz wie man auf [mm]u=\frac{x+1}{2}[/mm] kommt
> und dann weiter macht.

​Lies die gegebenen Antworten gründlicher durch. Ich habe nicht umsonst den Begriff Elementare Stammfunktion verwendet. Diese heißen so, weil sie die Stammfunktionen der sog. elementaren Funktionen sind (bzw. hier die elementare Grundfunktion zu einer gegebenen Ableitungsfunktion). Und in einer einigermaßen gut sortierten Formelsammlung sind sie zu finden, ebenso bei []Wikipedia.


​Gruß, Diophant

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Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:55 Fr 11.08.2017
Autor: Rocky1994

Mir ist schon bewusst, dass ich auf das Integral

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1-x^2}dx} [/mm]

Kommen muss.

Ich verstehe aber nicht wie ich zum einen auf [mm] \bruch{x+1}{2} [/mm] komme und zum anderen wie ich von dort aus auf das oben genannt. Soll jetzt nicht frechklingen aber genau das das mit der Integralrechner auch gesagt und ich hab's nicht verstanden. Kann mir das einer von euch kurz schritt für Schritt erklären?

LG Rocky1994

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Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 Fr 11.08.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Mir ist schon bewusst, dass ich auf das Integral

>

> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1-x^2}dx}[/mm]

>

> Kommen muss.

Wie kommst du darauf? Das ist falsch, es geht um das elementare Integral

[mm] \int{ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx}=arcsin(x)+C[/mm]
>

> Ich verstehe aber nicht wie ich zum einen auf
> [mm]\bruch{x+1}{2}[/mm] komme und zum anderen wie ich von dort aus
> auf das oben genannt. Soll jetzt nicht frechklingen aber
> genau das das mit der Integralrechner auch gesagt und ich
> hab's nicht verstanden.

Na ja, wenn man sich von vornherein auf solche Hilfsmittel verlässt und nicht selbst anfängt nachzudenken, dann ist das kein Wunder (soll jetzt auch nicht frech klingen).

​> Kann mir das einer von euch kurz

> schritt für Schritt erklären?

​Ich werde es tun, obwohl ich über deine Arbeitsweise innerlich den Kopf schütteln muss.

​Es sei

[mm]\begin{aligned} u&= \frac{x+1}{2}\ \gdw\\ 2u&=x+1 \end{aligned}[/mm]

mit

[mm] \frac{du}{dx}=\frac{1}{2}\ \gdw\ dx=2*du [/mm]

​Wenn man damit in deine zweite Version des Intergals eingeht (wo du korrekt quadratisch ergänzt hast), dann bekommt man

[mm]\begin{aligned} \int{ \frac{1}{\sqrt{4-(x+1)^2}} dx}&= \int{ \frac{1}{\sqrt{4-4u^2}} du*2}\\ &= 2* \int{ \frac{1}{2}* \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} du}\\ &= \int{ \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} du}\\ &= arcsin(u)+C\\ &= arcsin\left(\frac{x+1}{2}\right)+C \end{aligned}[/mm]


​Gruß, Diophant

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Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:00 Sa 12.08.2017
Autor: HJKweseleit


> Mir ist schon bewusst, dass ich auf das Integral
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1-x^2}dx}[/mm]
>  
> Kommen muss.
>  
> Ich verstehe aber nicht wie ich zum einen auf
> [mm]\bruch{x+1}{2}[/mm] komme und zum anderen wie ich von dort aus
> auf das oben genannt. Soll jetzt nicht frechklingen aber
> genau das das mit der Integralrechner auch gesagt und ich
> hab's nicht verstanden. Kann mir das einer von euch kurz
> schritt für Schritt erklären?
>  
> LG Rocky1994


Du bist doch selber schon auf die Idee gekommen, x+1 zu substituieren. Dann stößt du auf den Ausdruck [mm] \wurzel{4-u^2}. [/mm] Wenn du nun in Formelsammlungen nachschaust, stellst du fest, dass [mm] \wurzel{1-u^2} [/mm] dir helfen würde. Also musst du versuchen, die 4 in eine 1 zu verwandeln, beispielsweise so: [mm] \wurzel{4-u^2}=\wurzel{4(1-\bruch{u^2}{4})}=2\wurzel{1-(\bruch{u}{2})^2}. [/mm]
Und damit ergibt sich eine weitere naheliegende Substitution.

Ganz oft muss man sich durch mehrere Substitutionen durchhangeln, um weiter zu kommen, weil eine "Gesamtsubstitution" schwer oder gar nicht zu erkennen ist oder sich eine Untegral dann noch weiter in mehrere Summanden aufspaltet. Integrieren ist viel schwerer als Differenzieren.

Merkregel: Differenzieren kann man alles, integrieren kann man nix.

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Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:40 Sa 12.08.2017
Autor: fred97

Das alles hab ich schon  gestern erzählt



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