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Integration Kreisscheibe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:23 Di 17.01.2017
Autor: ChopSuey

Aufgabe
Betrachten Sie die parametrisierte Fläche

$ [mm] \psi: [/mm] D [mm] \to \IR^3, [/mm] \ [mm] \psi(x,y) [/mm] = [mm] (x,y,x^2-y^2)^T [/mm] $

mit der Kreisscheibe $ D = [mm] \{(x,y) \vert x^2+y^2 \le R^2\}$ [/mm] vom Radius $ R >0 $ ud berechnen Sie ihre Oberfläche.

Hallo,

zu dieser Aufgabe habe ich eine Frage. Folgendes hab ich bereits notiert:

Mit $ f: D [mm] \to \IR^3, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] f(x,y) = [mm] x^2-y^2$ [/mm]

ergibt sich der Flächeninhalt der Menge $ M [mm] =\psi(D)$ [/mm]  zu

$ A(M) = [mm] \int_{D}\sqrt{1+\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial x}}d(x,y)$ [/mm]

$ A(M) = [mm] \int_{D}\sqrt{1+4x^2+4y^2}d(x,y)$ [/mm]

nun wird in der Lösung ein Koordinatenwechsel zu Polarkoordinaten vorgenommen gemäß

$ A(M) = [mm] \int_{0}^R\left(\int_{-\pi}^{\pi}\sqrt{1+4r}d\varphi\right)rdr$ [/mm]

Nun lautet meine Frage wieso das innere Integral von $ [mm] -\pi [/mm] $ nach $ [mm] \pi$ [/mm] integriert wird. Es handelt sich doch offensichtlich um die ganze Kreisscheibe und die müsste doch von $ 0$ nach $ [mm] 2\pi$ [/mm] integriert werden, oder nicht?

Freue mich über jeden Hinweis.

LG,
ChopSuey

        
Bezug
Integration Kreisscheibe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:16 Di 17.01.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

Für den Wechsel zu Polarkoordinaten ist es wichtig, dass der Winkel eine ganze Kreisscheibe beschreibt. Ob er das nun tut, indem er von $0$ bis [mm] $2\pi$ [/mm] läuft oder von [mm] $-\pi$ [/mm] bis [mm] $\pi$ [/mm] spielt dabei keine Rolle… wie du auch an deinem Beispiel sehen kannst… wichtig ist nur, dass er eine ganze Periode durchläuft. Möglich wäre also auch [mm] $[7\pi, 9\pi)$ [/mm] oder [mm] $[e\pi,(e+2)\pi)$ [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Integration Kreisscheibe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 Di 17.01.2017
Autor: ChopSuey

Hallo Gono,

vielen Dank für deine Antwort. Beschreibt der Winkel beim Wechsel zu Polarkoordinaten denn immer eine ganze Kreisscheibe? Ich bin mit dem Ganzen noch etwas unvertraut. Oder kann der Winkel auch kürzer ausfallen?

Werde mir noch weitere Beispiele zum besseren Verständnis anschauen!

Vielen Dank,
LG,
ChopSuey

Bezug
                        
Bezug
Integration Kreisscheibe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:09 Di 17.01.2017
Autor: leduart

Hallo
wenn dein Gebiet etwa wäre [mm] x^2+y^2<=r^2, [/mm] x>0,y)0 musst du nur über 1/4 Kreis also von 0 bis [mm] \pi/2 [/mm] integrieren, das hat nicht mit Polarkoordinaten zu tun, sondern mit dem D
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Integration Kreisscheibe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:03 Di 17.01.2017
Autor: ChopSuey

Hallo Leduart,

ja klar! Stimmt natürlich und ergibt Sinn.

Danke für die Ergänzung und den Hinweis!

LG,
ChopSuey

Bezug
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