Integration bzgl. eines BM < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Mi 21.01.2015 | | Autor: | drossel |
Hallo. In meinem Skript steht:
Sei X ein metrischer Raum. Für eine Borelmeßbare einfache Funktion [mm] $f:X\to\mathbb{K}$, $f=\sum_{k=1}^na_k\chi_{A_i}$, [/mm] wobei [mm] $a_i\in \mathbb{K}$, $A_i\in B_X$ ($B_X$=Borelsche-\sigma-Algebra [/mm] von X), wird das Integral von f bezüglich eines signierten/komplexen Maß [mm] $\mu:B_X\to \mathbb{K}$ [/mm] in natürlicher Weise definiert als:
[mm] $\int_Xfd\mu:=\sum_{k=1}^na_k\mu (A_i)$. [/mm]
1. Ich will wissen wie man zeigt, dass der Wert nicht von der Wahl der Darstellung von f abhängt. Wir haben nur gesagt, dass man das zeigen kann, aber es nicht gemacht.
Weiter aus der Vorlesung:
Ist zunächst [mm] $\mu$ [/mm] ein positives Borelmaß, [mm] $f:X\to\mathbb{R}_{\ge 0}$
[/mm]
Borelmeßbar, so existiert eine Folge von einfachen Funktionen [mm] $(f_n)$ [/mm] mit [mm] $0\le f_n \le f_{n+1}\;\; \forall n\in\mathbb{N}$ [/mm] mit [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x)=f(x)$ [/mm] für jedes [mm] $x\in [/mm] X$. Es folgt, dass [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\int_Xf_nd\mu \in [0,\infty]$ [/mm] existiert und man definiert
[mm] $\int_Xfd\mu:=\limes_{n\rightarrow\infty}\int_Xf_nd\mu [/mm] $, da man zeigen kann, dass der Grenzwert unabhängig von der gewählten monton wachsenden Folge von Trepenfunktionen [mm] $(f_n)$ [/mm] ist.
2. Auch hierfür "da man zeigen kann, dass der Grenzwert unabhängig von der gewählten monton wachsenden Folge von Trepenfunktionen [mm] $(f_n)$ [/mm] ist" will ich mir grob anschauen wie das geht.
Zu Punkt 1:
Man nimmt sich 2 Darstellungen von f: [mm] $f=\sum_{k=1}^na_k\chi_{A_i}$ [/mm] und [mm] $f=\sum_{k=1}^mb_k\chi_{B_i}$ [/mm] und es soll gelten [mm] $\int_Xfd\mu=\sum_{k=1}^na_k\mu (A_i)=\sum_{k=1}^mb_k\mu (B_i)$.
[/mm]
Also anschaulich wenn ich mir das aufzeichne, ist mir das klar. Kann das ganze nur ein wenig heuristisch erklären wobei ich da schon Schwierigkeiten habe, es ist Worten auszudrücken: Wenn jetzt zb $n>m$ und wenn ich jetzt speziell [mm] $X=[a,b]\subseteq\mathbb{R}$ [/mm] betrachte, hab ich nur noch mehr Zerlegungen [mm] $A_i$ [/mm] als [mm] $B_i$ [/mm] des Intervalls. Aber insgesamt müssen die beiden Summen übereinstimmen, auch wenn man in der ersten Summe [mm] $f=\sum_{k=1}^na_k\chi_{A_i}$ [/mm] gleich viele oder mehr Summanden als in der 2.Summendarstellung für die einzelnen Teilintervalle benötigt. Wenn man zb das Intervall $[a,b]$ nicht unterteilt und betrachte [mm] $f=b\chi_{[a,b]}$, [/mm] und einmal [mm] $f=a_1\chi_{[a,\frac{a+b}{2}]}+a_2\chi_{[\frac{a+b}{2},b]}$, [/mm] dann ist ja die Länge von $[a,b]$= Länge von$ [mm] [a,\frac{a+b}{2}]$+Länge [/mm] von [mm] $[\frac{a+b}{2},b] [/mm] $ und auch ist anschaulich klar, dass [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] zusammen $b$ ergeben.
Also das jetzt mal als Spezialfall. Und das Integral ist linear...
Kann mir jemand sagen wie man grob vorgeht wenn man es formal zeigen will bzw wie mand as aufschreibt?
Bei Punkt 2 denke nimmt man sich auch eine weitere nichtnegative, monoton wachsende Folge [mm] $(g_n)$ [/mm] wie [mm] $(f_n)$ [/mm] her die punktweise gegen f konvergiert. Macht man dann eine Mischfolge draus? Oder wie zeigt man grob 2?
Zumindest wäre ich sehr dran interessiert, wie man das ganz grob macht.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 Mi 21.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo. In meinem Skript steht:
> Sei X ein metrischer Raum. Für eine Borelmeßbare
> einfache Funktion [mm]f:X\to\mathbb{K}[/mm],
> [mm]f=\sum_{k=1}^na_k\chi_{A_i}[/mm], wobei [mm]a_i\in \mathbb{K}[/mm],
> [mm]A_i\in B_X[/mm] ([mm]B_X[/mm][mm] =Borelsche-\sigma-Algebra[/mm] von X), wird das
> Integral von f bezüglich eines signierten/komplexen Maß
> [mm]\mu:B_X\to \mathbb{K}[/mm] in natürlicher Weise definiert als:
> [mm]\int_Xfd\mu:=\sum_{k=1}^na_k\mu (A_i)[/mm].
>
> 1. Ich will wissen wie man zeigt, dass der Wert nicht von
> der Wahl der Darstellung von f abhängt. Wir haben nur
> gesagt, dass man das zeigen kann, aber es nicht gemacht.
Tja, der Beweis hierfür ist nicht einfach. Beweise findest Du in den meisten Büchern zur Maß- und Integrationstheorie.
>
> Weiter aus der Vorlesung:
> Ist zunächst [mm]\mu[/mm] ein positives Borelmaß,
> [mm]f:X\to\mathbb{R}_{\ge 0}[/mm]
> Borelmeßbar, so existiert eine
> Folge von einfachen Funktionen [mm](f_n)[/mm] mit [mm]0\le f_n \le f_{n+1}\;\; \forall n\in\mathbb{N}[/mm]
> mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x)=f(x)[/mm] für jedes [mm]x\in X[/mm].
> Es folgt, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\int_Xf_nd\mu \in [0,\infty][/mm]
> existiert und man definiert
> [mm]\int_Xfd\mu:=\limes_{n\rightarrow\infty}\int_Xf_nd\mu [/mm], da
> man zeigen kann, dass der Grenzwert unabhängig von der
> gewählten monton wachsenden Folge von Trepenfunktionen
> [mm](f_n)[/mm] ist.
>
> 2. Auch hierfür "da man zeigen kann, dass der Grenzwert
> unabhängig von der gewählten monton wachsenden Folge von
> Trepenfunktionen [mm](f_n)[/mm] ist" will ich mir grob anschauen wie
> das geht.
Definiere
[mm] S:=\sup \{\integral_{X}^{}{g d \mu}: 0 \le g \le f; \quad g \quad einfache \quad Treppenfunktion \}
[/mm]
Sei nun eine [mm] (f_n) [/mm] eine Folge von einfachen Funktionen mit $ [mm] 0\le f_n \le f_{n+1}\;\; \forall n\in\mathbb{N} [/mm] $ mit $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x)=f(x) [/mm] $ für jedes $ [mm] x\in [/mm] X $, so zeige:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\int_Xf_nd\mu [/mm] =S$.
FRED
>
> Zu Punkt 1:
> Man nimmt sich 2 Darstellungen von f:
> [mm]f=\sum_{k=1}^na_k\chi_{A_i}[/mm] und [mm]f=\sum_{k=1}^mb_k\chi_{B_i}[/mm]
> und es soll gelten [mm]\int_Xfd\mu=\sum_{k=1}^na_k\mu (A_i)=\sum_{k=1}^mb_k\mu (B_i)[/mm].
>
> Also anschaulich wenn ich mir das aufzeichne, ist mir das
> klar. Kann das ganze nur ein wenig heuristisch erklären
> wobei ich da schon Schwierigkeiten habe, es ist Worten
> auszudrücken: Wenn jetzt zb [mm]n>m[/mm] und wenn ich jetzt
> speziell [mm]X=[a,b]\subseteq\mathbb{R}[/mm] betrachte, hab ich nur
> noch mehr Zerlegungen [mm]A_i[/mm] als [mm]B_i[/mm] des Intervalls. Aber
> insgesamt müssen die beiden Summen übereinstimmen, auch
> wenn man in der ersten Summe [mm]f=\sum_{k=1}^na_k\chi_{A_i}[/mm]
> gleich viele oder mehr Summanden als in der
> 2.Summendarstellung für die einzelnen Teilintervalle
> benötigt. Wenn man zb das Intervall [mm][a,b][/mm] nicht unterteilt
> und betrachte [mm]f=b\chi_{[a,b]}[/mm], und einmal
> [mm]f=a_1\chi_{[a,\frac{a+b}{2}]}+a_2\chi_{[\frac{a+b}{2},b]}[/mm],
> dann ist ja die Länge von [mm][a,b][/mm]= Länge von[mm] [a,\frac{a+b}{2}][/mm]+Länge
> von [mm][\frac{a+b}{2},b][/mm] und auch ist anschaulich klar, dass
> [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] zusammen [mm]b[/mm] ergeben.
> Also das jetzt mal als Spezialfall. Und das Integral ist
> linear...
> Kann mir jemand sagen wie man grob vorgeht wenn man es
> formal zeigen will bzw wie mand as aufschreibt?
>
> Bei Punkt 2 denke nimmt man sich auch eine weitere
> nichtnegative, monoton wachsende Folge [mm](g_n)[/mm] wie [mm](f_n)[/mm] her
> die punktweise gegen f konvergiert. Macht man dann eine
> Mischfolge draus? Oder wie zeigt man grob 2?
>
> Zumindest wäre ich sehr dran interessiert, wie man das
> ganz grob macht.
> Gruß
>
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