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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Integration u. Satz v. Fubini
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Integration u. Satz v. Fubini: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:57 Mi 28.01.2015
Autor: Topologe

Aufgabe
Die Funktion [mm] f:(0,1]\times(0,1]\rightarrow \IR [/mm] ist gegeben durch:

[mm] f(x,y)=\begin{cases} y^{-2}, & \mbox{falls } 0 < x < y \le 1 \\ -x^{-2}, & \mbox{falls } 0 < y < x \le 1 \\ 0, & \mbox{falls } 0 < x = y \le 1 \end{cases} [/mm]

Berechnen Sie die Integrale
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}f(x,y)dxdy [/mm] und [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}f(x,y)dydx. [/mm]
Warum gilt der Satz von Fubini in diesem Fall nicht?

Hi,

Fall 1) [mm] f(x,y)=y^{-2}: [/mm]

[mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}y^{-2}dx)dy=\integral_{0}^{1}[\bruch{x}{y^{-2}}]_{0}^{1}dy=\integral_{0}^{1}y^{-2}dy=[-y^{-1}]_{0}^{1}=-1+\bruch{1}{0} [/mm] = [mm] \infty [/mm] ?
Hier wäre die Frage, ob [mm] \bruch{1}{0} [/mm] durch [mm] \infty [/mm] definiert werden kann

[mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}y^{-2}dy)dx=\integral_{0}^{1}[-y^{-1}]_{0}^{1}dx [/mm] = [mm] \infty [/mm] wie eben?

Fall 2) [mm] f(x,y)=-x^{-2}: [/mm]

[mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}-x^{-2}dx)dy=\integral_{0}^{1}[x^{-1}]_{0}^{1}dy= \infty [/mm] ?

[mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}-x^{-2}dy)dx=\integral_{0}^{1}[-\bruch{y}{x^{2}}]_{0}^{1}dx=\integral_{0}^{1}-x^{-2}dx [/mm] = [mm] \infty [/mm] ?

Fall 3) f(x,y)=0:

[mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}0dx)dy=\integral_{0}^{1}0dy=0=\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}0dy)dx [/mm]

Finde die Aufgabe ein wenig merkwürdig. Hat jemand hierzu zufällig eine Idee? :-)

        
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Integration u. Satz v. Fubini: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:06 Mi 28.01.2015
Autor: chrisno

Die Fälle formulieren Bedingungen für x und y, die Du nicht beachtest.

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Integration u. Satz v. Fubini: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:21 Mi 28.01.2015
Autor: Topologe

Hm ok, nur die Bedingungen machen mich grad ein wenig stutzig.

z.B. Fall 1) 0 < x < y [mm] \le [/mm] 1

[mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}\bruch{1}{y^{2}}dx)dy=\integral_{0}^{1}[\bruch{x}{y^{2}}]_{0}^{1}dy [/mm]
Kann man denn jetzt, um das innere Integral zu berechnen, für das x einfach 0 und 1 einsetzen? Weil x gem. unseren Fallbedingungen nicht den Wert 0 und auch nicht 1 annimmt. Oder denke ich grad falsch? :-D

LG

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Integration u. Satz v. Fubini: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:35 Mi 28.01.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

deine Grenzen sind schon falsch.
z.B. Integrierst du ja in deinem Fall auch über $y = [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] x > [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] was der Bedingung widerspricht.

Korrigiere also erstmal deine Grenzen.

Gruß,
Gono

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Integration u. Satz v. Fubini: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:50 Mi 28.01.2015
Autor: Topologe

Ok,.. wie wäre das dann in Fall 1):

Könnte man denn da schreiben: [mm] \integral_{x}^{1}(\integral_{0}^{y}y^{-2}dx)dy? [/mm]

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Integration u. Satz v. Fubini: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:06 Mi 28.01.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ok,.. wie wäre das dann in Fall 1):
>  
> Könnte man denn da schreiben:
> [mm]\integral_{x}^{1}(\integral_{0}^{y}y^{-2}dx)dy?[/mm]  

Nein, was soll denn das x in der Grenze, wenn du nach x integrierst??

Du hast 0 < x < y < 1
Welche Werte kann x annehmen => Das sind deine Grenzen für x.
Welche Werte kann y DANN noch annehmen => Das sind deine Grenzen für y.

So schwer ist das ja nun nicht...

Gruß,
Gono


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Integration u. Satz v. Fubini: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:38 Do 29.01.2015
Autor: Topologe

Ok,
mir war noch nicht so richtig klar, wie das mit dem Mehrfachintegral funktioniert. Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe müsste es so sein:

[mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{y}f(x,y)dx)dy, [/mm] da y die Werte (0,1] annehmen kann (außen wird ja über y integriert) und dann x die Werte (0,y) (innen wird über x integriert). Wär das so ok? :-)

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Integration u. Satz v. Fubini: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:30 Do 29.01.2015
Autor: chrisno

Lang ist es her, aber fang mal so mit a) an.

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Integration u. Satz v. Fubini: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:30 Fr 30.01.2015
Autor: Topologe

Ok :-)

Also Fall 1) 0 < x < y [mm] \le [/mm] 1:

[mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}f(x,y)dx)dy=\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{y}y^{-2}dx)dy=\integral_{0}^{1}[\bruch{x}{y^{2}}]_{0}^{y}dy=\integral_{0}^{1}\bruch{1}{y}dy=[ln(y)]_{0}^{1}=0 [/mm]

[mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}f(x,y)dy)dx=\integral_{0}^{1}(\integral_{x}^{1}y^{-2}dy)dx=\integral_{0}^{1}[-\bruch{1}{y}]_{x}^{1}dx=\integral_{0}^{1}\bruch{1-x}{x}dx=[ln(x)-x]_{0}^{1}=-1 [/mm]

Also das sieht vom Ergebnis her schonmal gut aus mit [mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}f(x,y)dx)dy\not=\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}f(x,y)dy)dx [/mm]

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Integration u. Satz v. Fubini: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:21 Fr 30.01.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}f(x,y)dx)dy=\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{y}y^{-2}dx)dy=\integral_{0}^{1}[\bruch{x}{y^{2}}]_{0}^{y}dy=\integral_{0}^{1}\bruch{1}{y}dy=[ln(y)]_{0}^{1}=0[/mm]

[notok]
Dein letztes Gleichheitszeichen ist Blödsinn

> [mm]\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}f(x,y)dy)dx=\integral_{0}^{1}(\integral_{x}^{1}y^{-2}dy)dx=\integral_{0}^{1}[-\bruch{1}{y}]_{x}^{1}dx=\integral_{0}^{1}\bruch{1-x}{x}dx=[ln(x)-x]_{0}^{1}=-1[/mm]

[notok]
Hier ebenso.
Du solltest dich nochmal mehr mit dem [mm] \ln [/mm] vertraut machen.


Gruß,
Gono


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Integration u. Satz v. Fubini: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:12 Fr 30.01.2015
Autor: Topologe

[mm] [ln(y)]_{0}^{1}=ln(1)-ln(0)=0-'nicht [/mm] definiert' [mm] \rightarrow [/mm] wäre dann das Ergebnis nicht einfach 0?

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Integration u. Satz v. Fubini: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:43 Fr 30.01.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm][ln(y)]_{0}^{1}=ln(1)-ln(0)=0-'nicht[/mm] definiert' [mm]\rightarrow[/mm]
> wäre dann das Ergebnis nicht einfach 0?

nein, wäre es nicht.

[]Du hast einiges nachzuarbeiten...

Gruß,
Gono

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Integration u. Satz v. Fubini: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:34 Fr 30.01.2015
Autor: Topologe

Achso danke, also müsste man dann folgendes schreiben?

[mm] \integral_{0}^{1} \bruch{1}{y} [/mm] dy = [mm] lim_{\alpha\rightarrow 0}\integral_{\alpha}^{1}\bruch{1}{y}dy=lim_{\alpha\rightarrow 0}[ln(y)]_{\alpha}^{1}=lim_{\alpha\rightarrow 0}(ln(1)-ln(\alpha))=0-(-\infty)=\infty [/mm]

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Integration u. Satz v. Fubini: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:35 Fr 30.01.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]\integral_{0}^{1} \bruch{1}{y}[/mm] dy = [mm]lim_{\alpha\rightarrow 0}\integral_{\alpha}^{1}\bruch{1}{y}dy=lim_{\alpha\rightarrow 0}[ln(y)]_{\alpha}^{1}=lim_{\alpha\rightarrow 0}(ln(1)-ln(\alpha))=0-(-\infty)=\infty[/mm]

Ja.
Das bringt dir aber nichts, weil dein Ansatz die Integrale getrennt auszurechnen, nicht funktioniert und falsch ist.
Du implizierst nämlich indirekt, dass das Integral linear ist.

Rechne die Funktion doch mal ohne Fallunterscheidung in deinem Fall aus!

Gruß,
Gono

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Integration u. Satz v. Fubini: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:49 Sa 31.01.2015
Autor: Topologe

Ohne Fallunterscheidung?
Also einfach

[mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}y^{-2}dx)dy? [/mm]

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Integration u. Satz v. Fubini: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:18 Sa 31.01.2015
Autor: fred97


> Ohne Fallunterscheidung?
>  Also einfach
>  
> [mm]\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}y^{-2}dx)dy?[/mm]  

nein

fred


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Integration u. Satz v. Fubini: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:31 Sa 31.01.2015
Autor: Topologe

Ok, dann weiss ich grad nicht so wirklich worauf ihr hinauswollt. Vllt seh ich ja den Wald vor lauter Bäumen nicht :-)

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Integration u. Satz v. Fubini: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:12 Sa 31.01.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

du sollst sauber einmal das Integral:

[mm] $\int_0^1 \int_0^1 [/mm] f(x,y) dx dy$

Und einmal

[mm] $\int_0^1 \int_0^1 [/mm] f(x,y) dy dx$

Also fange an:

[mm] $\int_0^1 \int_0^1 [/mm] f(x,y) dx dy = [mm] \ldots$ [/mm]

Gruß,
Gono.

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Integration u. Satz v. Fubini: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:09 So 01.02.2015
Autor: Topologe

Also eigentlich kenne ich nur solche Notationen:

[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}f(x,y)dxdy=\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}f(x,y)dx)dy=\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}f(x,y)dy)dx [/mm]
Was anderes ist mir leider gar nicht geläufig

Bezug
                                                                                                                                                        
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Integration u. Satz v. Fubini: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 17:18 So 01.02.2015
Autor: DerGraf

Hallo Topologe,

Es gilt doch:

[mm] $\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}f(x,y)dxdy=\integral_{0}^{1}\left(\integral_{0}^{y}f(x,y)dx+\integral_{x=y}f(x,y)dx+\integral_{y}^{1}f(x,y)dx\right)dy=\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{y}f(x,y)dxdy+\integral_{0}^{1}\integral_{x=y}f(x,y)dxdy+\integral_{0}^{1}\integral_{y}^{1}f(x,y)dxdy$ [/mm]

Jetzt musst du nur noch die 3 Teile von f den 3 Integralen zuordnen und ausrechnen.

Viele Grüße

DerGraf

Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
Integration u. Satz v. Fubini: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:51 Mo 02.02.2015
Autor: Topologe

Achso, ok.

Also: [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{y}f(x,y)dxdy [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{x=y}f(x,y)dxdy [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{y}^{1}f(x,y)dxdy [/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{y}y^{-2}dxdy [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{x=y}0dxdy [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{y}^{1}-x^{-2}dxdy [/mm]

[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{y}y^{-2}dxdy=\integral_{0}^{1}[\bruch{x}{y^{2}}]_{0}^{y}dy=\integral_{0}^{1}\bruch{1}{y}dy=lim_{A\rightarrow 0} [ln(y)]_{A}^{1} [/mm] = [mm] lim_{A\rightarrow 0}(ln(1)-ln(A))=\infty [/mm]

[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{x=y}0dxdy=0 [/mm]

[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{y}^{1}-x^{-2}dxdy=\integral_{0}^{1}[\bruch{1}{x}]_{y}^{1}dy=\integral_{0}^{1}1-\bruch{1}{y}dy=lim_{A\rightarrow 0}[y-ln(y)]_{A}^{1}=\infty [/mm]

Also [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}f(x,y)dxdy=\infty [/mm]

Wäre das so bis hierhin ok? :-)

Und Satz von Fubini gilt nicht, da f(x,y) nicht stetig?

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Integration u. Satz v. Fubini: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:09 Mo 02.02.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

deine Idee ist richtig, aber derGraf hat dir einen falschen Hinweis gegeben.
Das Auseinanderziehen funktioniert nämlich nicht!

Wann darfst du denn die Linearität des Integrals ausnutzen?
Warum darfst du das hier nicht?

> Also: [mm]\integral_{0}^{1}dy[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{x=y}f(x,y)dxdy[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{1}dy[/mm]
>  [mm]=\integral_{0}^{1}dy[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{1}dy[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{1}dy[/mm]

Hier hast du schon einen Fehler gemacht, es heißt nämlich korrekt erstmal NUR:

[mm] $\integral_0^1 \left(\integral_{0}^{y}y^{-2}dx + \integral_{x=y}0dx + \integral_{y}^{1}-x^{-2}dx\right) [/mm] dy$

Jetzt weiter im Text!

Gruß,
Gono



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Integration u. Satz v. Fubini: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:16 Mo 02.02.2015
Autor: Topologe

Uff ok^^

Gut [mm] \integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{y}-y^{-2}dx+\integral_{x=y}0dx+\integral_{y}^{1}-x^{-2}dx)dy [/mm]

[mm] =\integral_{0}^{1}([\bruch{x}{y^{2}}]_{0}^{y}+0+[\bruch{1}{x}]_{y}^{1})dy [/mm]

[mm] =\integral_{0}^{1}(\bruch{1}{y}+(1-\bruch{1}{y}))dy=\integral_{0}^{1}1dy=1 [/mm]

Wär das jetzt bis hierhin ok? :-)

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Integration u. Satz v. Fubini: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:27 Mo 02.02.2015
Autor: fred97


> Uff ok^^
>  
> Gut
> [mm]\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{y}-y^{-2}dx+\integral_{x=y}0dx+\integral_{y}^{1}-x^{-2}dx)dy[/mm]
>  
> [mm]=\integral_{0}^{1}([\bruch{x}{y^{2}}]_{0}^{y}+0+[\bruch{1}{x}]_{y}^{1})dy[/mm]
>  
> [mm]=\integral_{0}^{1}(\bruch{1}{y}+(1-\bruch{1}{y}))dy=\integral_{0}^{1}1dy=1[/mm]
>  
> Wär das jetzt bis hierhin ok? :-)

Ja

FRED


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Bezug
Integration u. Satz v. Fubini: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:12 Mo 02.02.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

und jetzt das gleiche für die vertauschten Integralgrenzen.

Gruß,
Gono

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Bezug
Integration u. Satz v. Fubini: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:45 Di 03.02.2015
Autor: Topologe

Ok,...

[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}f(x,y)dydx=\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{x}-x^{-2}dy+\integral_{x=y}0dy +\integral_{x}^{1}y^{-2}dy)dx [/mm]

[mm] =\integral_{0}^{1}([-\bruch{y}{x^{2}}]_{0}^{x}+0+[-\bruch{1}{y}]_{x}^{1})dx [/mm]

[mm] =\integral_{0}^{1}(-\bruch{1}{x}+0+(-1+\bruch{1}{x}))dx [/mm]

[mm] =\integral_{0}^{1}-1dx=-1 \not= \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}f(x,y)dxdy [/mm] :-)

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Bezug
Integration u. Satz v. Fubini: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:50 Di 03.02.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

na sieht doch schon besser aus :-)
Verstanden, was du vorher falsch machtest?

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                                                                                                                                                                
Bezug
Integration u. Satz v. Fubini: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:32 Di 03.02.2015
Autor: Topologe

Super :-)

Darauf wäre ich im Leben nie alleine gekommen! Ist jetzt alles schon  klarer, danke!

Bezug
                                                                                                                                                                
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Integration u. Satz v. Fubini: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 14:10 Mo 02.02.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

dein letztes Gleichheitszeichen ist falsch.
Du kannst im äußeren Integral keine Linearität voraussetzen und das führt auch zum falschen Ergebnis.

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                                                                                                                        
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Integration u. Satz v. Fubini: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 18:21 Mo 02.02.2015
Autor: DerGraf

Hallo Gono,

Linearität ist doch eine grundlegende Eigenschaft von Lebesgue-Integralen. Mehr verwende ich beim letzten Gleichheitszeichen nicht.

Viele Grüße

DerGraf



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Integration u. Satz v. Fubini: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 20:13 Mo 02.02.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Linearität ist doch eine grundlegende Eigenschaft von Lebesgue-Integralen.

nur wenn die Einzelintegrale existieren, das tun sie hier aber nicht!
Voraussetzungen beachten, auch von "grundlegenden Eigenschaften"!

Das gilt sogar trivialerweise schon bei Summen, die Gleichheit

[mm] $\summe_{n=1}^\infty [/mm] 0 = [mm] \summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^\infty -\bruch{1}{n} [/mm] $

ist Blödsinn, weil links was definiertes steht, rechts aber nicht.

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                                                                                                                                        
Bezug
Integration u. Satz v. Fubini: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) oberflächlich richtig Status 
Datum: 23:19 Mo 02.02.2015
Autor: DerGraf

Hallo Gono,

dein Einwand klingt erst einmal einleuchtend, doch bin ich mir nicht sicher, ob man bei den erweiterten reellen Zahlen nicht doch mit der Linearität arbeiten könnte, da dort "unendlich" einen zulässigen Wert darstellt und somit dein Beispiel

$ [mm] \summe_{n=1}^\infty [/mm] 0 = [mm] \summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^\infty -\bruch{1}{n} [/mm] $

eine sinnvolle rechte Seite hat. Im Allgemeinen kennt man die "Mächtigkeit" der einzelnen "Unendlichs" nicht, doch hier sieht man ja, dass sie "gleichmächtig" sind. Was meinst du?

Viele Grüße

DerGraf



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Integration u. Satz v. Fubini: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 08:36 Di 03.02.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> dein Einwand klingt erst einmal einleuchtend, doch bin ich
> mir nicht sicher, ob man bei den erweiterten reellen Zahlen
> nicht doch mit der Linearität arbeiten könnte, da dort
> "unendlich" einen zulässigen Wert darstellt und somit dein
> Beispiel
>  
> [mm]\summe_{n=1}^\infty 0 = \summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{n} + \summe_{n=1}^\infty -\bruch{1}{n}[/mm]
>  
> eine sinnvolle rechte Seite hat.

Nein hat sie nicht. Rechts steht der Ausdruck [mm] $\infty [/mm] - [mm] \infty$, [/mm] der keinen sinnvollen Wert annehmen kann.

Du behauptest nun also, es wäre sinnvoll "gleichmächtige [mm] \infty$" [/mm] zu definieren, was wohl darauf hinaus laufen soll, oben zu schreiben [mm] "$\infty [/mm] - [mm] \infty [/mm] = 0$"

Das liefert aber sofort:

[mm] $\infty [/mm] =  [mm] \summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{n} [/mm] =  [mm] \summe_{n=1}^\infty \bruch{2}{n} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^\infty -\bruch{1}{n} [/mm] =  [mm] \summe_{n=1}^\infty \bruch{2}{n} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^\infty -\bruch{1}{n} [/mm] = [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty [/mm] = 0$

Was offensichtlich ein Widerspruch darstellt.

Es gibt keinen sinnvollen Weg die Differenz von Unendlichkeiten zu definieren.

edit: Und dass das ja nicht funktioniert, siehst du ja auch in dieser Aufgabe.

Gruß,
Gono

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Integration u. Satz v. Fubini: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 10:37 Di 03.02.2015
Autor: DerGraf

Hallo Gono,

ich dachte mir die Rechnung so:

[mm] $\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{y}f(x,y)dxdy+\integral_{0}^{1}\integral_{x=y}f(x,y)dxdy+\integral_{0}^{1}\integral_{y}^{1}f(x,y)dxdy [/mm] $
[mm] $=\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{y}y^{-2}dxdy+\int_0^1\integral_{x=y}0dxdy+\int_{0}^{1}\integral_{y}^{1}-x^{-2}dxdy$ [/mm]
[mm] $=\integral_{0}^{1}y^{-1}dy+\int_{0}^{1}0dy+\int_{0}^{1}1-y^{-1}dy$ [/mm]
[mm] $=\integral_{0}^{1}y^{-1}dy+0+\int_{0}^{1}1dy-\int_{0}^{1}y^{-1}dy$ [/mm]
[mm] $=\int_{0}^{1}1dy=1,$ [/mm]

weshalb ich an der Rechnung erst einmal gar nichts gesehen habe. Dass ich die Integrale bei meinem vorletzten "$=$" nicht einfach gegeneinander kürzen kann, zeigt mir nun dein Gegenbeispiel.

Also vielen Dank für deine anschauliche Erklärung!

Viele Grüße

DerGraf

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Integration u. Satz v. Fubini: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:11 Mo 02.02.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}f(x,y)dxdy=\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}f(x,y)dx)dy=\integral_{0}^{1}(\integral_{0}^{1}f(x,y)dy)dx[/mm]
>  Was anderes ist mir leider gar nicht geläufig

das letzte Gleichheitszeichen willst du hier doch gerade überprüfen und stimmt hier mal gar nicht!!

Der Graf hat dir gezeigt, wie es weitergeht.
Mache dir klar, warum das Sinn macht und rechne weiter.

Gruß,
Gono

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