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Integrieren: Stammfunktion, schwer
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:34 So 15.01.2017
Autor: pc_doctor

Aufgabe
[mm] \integral_{0}^{6}{\bruch{1}{\wurzel{x(6-x)}} dx} [/mm]





Hallo,

mir macht die Aufgabe etwas Probleme. Die Stammfunktion zu finden, ist hier nicht so einfach.

Partialbruchzerlegung hat nichts gebracht. Deshalb habe ich Substitution angewandt.

[mm] \integral_{0}^{6}{\bruch{1}{\wurzel{x(6-x)}} dx} [/mm]

Habe erstmal die Diskriminante anders aufgeschrieben:

[mm] \integral_{0}^{6}{\bruch{1}{\wurzel{9-(x-3)^{2}}} dx} [/mm]

Sei z = x-3

dx = dz

=>
[mm] \integral_{0}^{6}{\bruch{1}{\wurzel{9-z^{2}}} dz} [/mm]

Ab hier weiß ich nicht mehr weiter. Ich möchte zu [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-z^{2}}} [/mm] kommen, denn das ist ein Standardintegral.

Was kann ich hier noch machen oder würdet ihr es anders machen?

Vielen Dank im Voraus.

        
Bezug
Integrieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:05 So 15.01.2017
Autor: Infinit

Hallo pc-doctor,
Deine Substitution finde ich schon mal prima, denn für diese Art von Integral kenne ich aus alter Zeit die Stammfunktion. Jetzt stellt sich natürlich die Frage, ob man dies weiss oder nicht und insofern ist Deine Frage zum richtigen Weitermachen nicht so einfach zu beantworten. Der Arcussinus taucht hier auf, aber ob dies jemand sieht, der nicht die Lösung kennt, das sei mal dahingestellt.
Es gilt auf jeden Fall
[mm] \int \bruch{dz}{\wurzel{a^2-z^2}} = \arcsin(\bruch{z}{a}) [/mm]
Viele Grüße,
Infinit 

Bezug
                
Bezug
Integrieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:49 So 15.01.2017
Autor: pc_doctor

Hallo lieber Infinit,

vielen Dank für die Antwort. Die Lösung ist meinem Tutor sicherlich bekannt, da er den Tipp mit dem arcsin gab.

Schönes Wochenende und danke nochmal.

Bezug
                        
Bezug
Integrieren: Zu beachten
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:01 So 15.01.2017
Autor: Diophant

Hallo zusammen,

die Frage der Stammfunktion ist ja geklärt. Allerdings: es handelt sich um ein uneigentliches Integral. Bedeutet: du musst das Integral als Grenzwert schreiben (Konvergenz hin oder her).

Du könntest auch noch die Achsensymmetrie des Integranden zu x=3 nutzen, dann hast du die Grenzwertbetrachtung nur an einer Seite.

Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Integrieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 So 15.01.2017
Autor: donquijote


> [mm]\integral_{0}^{6}{\bruch{1}{\wurzel{x(6-x)}} dx}[/mm]
>  
>
>
>
> Hallo,
>  
> mir macht die Aufgabe etwas Probleme. Die Stammfunktion zu
> finden, ist hier nicht so einfach.
>  
> Partialbruchzerlegung hat nichts gebracht. Deshalb habe ich
> Substitution angewandt.
>
> [mm]\integral_{0}^{6}{\bruch{1}{\wurzel{x(6-x)}} dx}[/mm]
>  
> Habe erstmal die Diskriminante anders aufgeschrieben:
>  
> [mm]\integral_{0}^{6}{\bruch{1}{\wurzel{9-(x-3)^{2}}} dx}[/mm]
>  
> Sei z = x-3
>  
> dx = dz
>  
> =>
> [mm]\integral_{0}^{6}{\bruch{1}{\wurzel{9-z^{2}}} dz}[/mm]

Hallo,
der Ansatz ist ok, du musst aber noch berücksichtigen, dass sich durch die Substitution die Integrationsgrenzen ändern.

>  
> Ab hier weiß ich nicht mehr weiter. Ich möchte zu
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-z^{2}}}[/mm] kommen, denn das ist ein
> Standardintegral.

Darauf kommst du, indem die eine weitere Substitution [mm]t=\frac z3\Leftrightarrow z^2=9t^2[/mm] ausführst (bzw. beide Substitutionen in einem Schritt machst, d. h. [mm]t=\frac{x-3}{3}[/mm]).

>  
> Was kann ich hier noch machen oder würdet ihr es anders
> machen?
>
> Vielen Dank im Voraus.  


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