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Forum "Algebra" - Isomorphism. in Kategorie K-VR
Isomorphism. in Kategorie K-VR < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Isomorphism. in Kategorie K-VR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:32 Di 21.10.2014
Autor: Schachtel5

Aufgabe
Sei C eine Kategorie. Geben Sie eine Definition für den Begriff Isomorphismus in C an, die für den Fall, dass C die Kategorie der K-Vektorräume (für einen Körper K) ist, die die übliche Definition reproduziert.
Können Sie auch Epimorphismen und Monomorphismen in C definieren?

Hallo,

ich verstehe leider nicht so ganz, was ich hier machen soll, bzw was soll denn "die übliche Definition" sein?

Ich weiss, dass die Morphismen in der Kategorie die K-Vektorräume (Abk.: K-VR für  K-Vektorräume)  die K-linearen Abbildungen sind.
Also ein Isomorphismus zwischen K-VR ist K-linear und bijektiv, die Umkehrabbildung ist auch wieder K-linear.
Aber mir ist nichtklar, was hier genau gewollt wird.
Versteht das jemand von euch? Muss ich noch irgendwas dann nachweisen?
Gruß


        
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Isomorphism. in Kategorie K-VR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:21 Di 21.10.2014
Autor: UniversellesObjekt

Hallo,

Du hast bereits richtig erkannt, dass zu einem bijektiven Homomorphismus eine Umkehrabbildung existiert. Nun ist "bijektiv" ja nichts, was man kategorientheoretisch verallgemeinern könnte, da wir in einer Kategorie nur Objekte, Pfeile, Komposition und Identität zur Verfügung haben. Wie könnte man "Umkehrabbildung" mit diesen Daten ausdrücken?

Monomorphismen sind genau die injektiven Homomorphismen, das sind solche, welche $ [mm] fx=fy\implies [/mm] x=y $ für alle Elemente $ x, y $ erfüllen. Bun gibt es in einer Kategorie aber keine Elemente. Wie könntest du $ x, y $ sinnvoll durch Pfeile ersetzen?

Die Definition eines Epimorphismus entsteht hieraus durch Umkehren aller Pfeilrichtungen ("Dualisieren"). Man kann damit zeigen, dass Epimorphismen genau die surjektiven Homomorphismen in $ [mm] K-\mathbf [/mm] {Vect} $ sind.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Edit: Ich möchte eine kleine Ungenauigkeit verbessern. Ich habe geschrieben, man könnte Bijektivität nicht verallgemeinern, das stimmt aber so nicht. Wie oben angedeutet, ist ein Pfeil $ [mm] A\xrightarrow{\ \ f\ \ } [/mm] B$ ein Monomorphismus, wenn für jedes Testobjekt $ T $ die Abbildung [mm] $\mathcal [/mm] {C}(T, [mm] A)\xrightarrow {f_\ast}\mathcal [/mm] {C}(T, B) $, $ [mm] x\longmapsto [/mm] fx $ injektiv ist. In Kategorien wie [mm] $\mathbf {Set},K-\mathbf [/mm] {Vect} $ etc. führt dies genau auf die injektiven Abbildungen.

Man kann sich leicht überlegen, dass die vom Aufgabensteller intendierte Definition eines Isomorphismus dazu äquivalent ist, dass obige Abbildung $ [mm] f_\ast [/mm] $ stets bijektiv ist. Das geht entweder ganz elementar oder als Spezialfall des Yoneda-Lemmas

Leider stimmt Surjektivität der Abbildung nicht damit überein, dass $ f $ ein Epimorphismus ist, sondern mit der Eigenschaft, ein spaltender Epimorphismus zu sein. Deswegen sind in konkreten Kategorien die Epimorphismen häufig schwieriger zu klassifizieren als die Monomorphismen. Insbesondere gibt es häufig Epimorphismen, deren unterliegende Abbildung nicht surjektiv ist. In $ [mm] K-\mathbf [/mm] {Vect} $ funktioniert es aber glücklicherweise.

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Isomorphism. in Kategorie K-VR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:23 Di 21.10.2014
Autor: Schachtel5

Hallo, danke für deine Antwort, jetzt verstehe ich die Aufgabe endlich etwas.
Ich hätte für den Isomorphismus-Teil gesagt:
Also Wenn C=Kategorie der K-Vektorräume, Ob(C) Klasse der K-Vektorräume
[mm] Morph_C(X,Y)=\{f:X\to Y; f K-linear\} [/mm]
[mm] f\in Morph_C(X,Y) [/mm] heißt Isomorphismus in C, wenn ein [mm] g\in Morph_C(Y,X) [/mm] gibt, sodass
[mm] Morph_C(X,Y) \times Morph_C(Y,X) \to Morph_C(Y,Y) [/mm]
[mm] (f,g)\mapsto f\circ [/mm] g, mit [mm] (f\circ [/mm] g)(y):=f(g(y)) für alle y in Y
und [mm] Morph_C(Y,X) \times Morph_C(X,Y)\to Morph_C(X,X) [/mm]
[mm] (g,f)\mapsto g\circ [/mm] f, mit [mm] (g\circ [/mm] f)(x):=g(f(x)) für alle x in X

Und entsprechend injektiv mit der Existenz einer "Linksinversen" formuliert bzw surjektiv bzgl der Existenz einer Rechtsinversen.

Aber das kann es ja so nicht sein ... oder..

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Isomorphism. in Kategorie K-VR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:53 Di 21.10.2014
Autor: UniversellesObjekt

Hallo,

> Hallo, danke für deine Antwort, jetzt verstehe ich die
> Aufgabe endlich etwas.
>  Ich hätte für den Isomorphismus-Teil gesagt:
>  Also Wenn C=Kategorie der K-Vektorräume, Ob(C) Klasse der
> K-Vektorräume
>  [mm]Morph_C(X,Y)=\{f:X\to Y; f K-linear\}[/mm]
>  [mm]f\in Morph_C(X,Y)[/mm]
> heißt Isomorphismus in C, wenn ein [mm]g\in Morph_C(Y,X)[/mm] gibt,
> sodass
>  [mm]Morph_C(X,Y) \times Morph_C(Y,X) \to Morph_C(Y,Y)[/mm]
> [mm](f,g)\mapsto f\circ[/mm] g, mit [mm](f\circ[/mm] g)(y):=f(g(y)) für alle
> y in Y
>  und [mm]Morph_C(Y,X) \times Morph_C(X,Y)\to Morph_C(X,X)[/mm]
> [mm](g,f)\mapsto g\circ[/mm] f, mit [mm](g\circ[/mm] f)(x):=g(f(x)) für alle
> x in X

Da passt leider noch nicht alles ganz zusammen. Wenn wir ein festes $f$ haben, für das wir definieren wollen, wann $f$ Isomorphismus heißt, können wir bei einer Abbildung nicht [mm] $(f,g)\mapsto\dots$ [/mm] schreiben, wenigstens müssen wir uns darüber im Klaren sein, dass das nicht dasselbe $f$ sein kann.

(Vergleiche: Sei [mm] $x\in\IR$. [/mm] Betrachte die Abbildung [mm] $\IR\longrightarrow [/mm] R$, [mm] $x\longmapsto x^2$ [/mm] - was soll das bedeuten?)

Außerdem können wir nicht [mm] $x\in [/mm] X$ schreiben, das ist in der Kategorientheorie "verboten", beziehungsweise hat keine Bedeutung. Es gibt nur Objekte und Pfeile, keine "Elemente von Objekten". Dies macht im Wesentlichen die Einfachheit der Kategorientheorie aus. Um diese zu erkennen und wertschätzen zu können, muss man sich einfach ein bisschen daran gewöhnen.

Aber an sich ist deine Idee nicht so schlecht. [mm] $X\xrightarrow{\ \ f\ \ }Y$ [/mm] heißt Isomorphismus, wenn es ein [mm] $Y\xrightarrow{\ \ g\ \ }X$ [/mm] gibt mit ...
Anstelle der ... musst du versuchen anzugeben, was es bedeuten soll, dass $g$ und $f$ invers zueinander sind. Tipp: Denke mal an die "Umkehrabbildung". Wodurch ist diese festgelegt?

Übrigens ist die Bezeichnung [mm] $\operatorname{Morph}_\mathcal{C}(X,Y)$ [/mm] sehr ungewöhnlich. Kategorientheoretiker schreiben häufig [mm] $\mathcal{C}(X,Y)$, [/mm] (homologische) Algebraiker schreiben gerne [mm] $\operatorname{Hom}_\mathcal{C}(X,Y)$. [/mm]


> Und entsprechend injektiv mit der Existenz einer
> "Linksinversen" formuliert bzw surjektiv bzgl der Existenz
> einer Rechtsinversen.

Leider ist das nicht immer äquivalent - betrachte zum Beispiel einmal die Kategorie der Mengen. [mm] $\emptyset\longrightarrow \{0\}$ [/mm] ist injektiv, aber es existiert keine Linksinverse. Das worum es bei der Injektivität geht, ist nicht Linksinvertierbarkeit, sondern linkskürzbarkeit. Wenn $fx=fy$ gilt, kann man $f$ "kürzen" und es folgt $x=y$. Das gilt es auch hier zu präzisieren. Nur so etwas wie Elemente $x,y$ für die $fx=fy$ gelten könnte, gibt es halt nicht. Wenn [mm] $X\xrightarrow{f}Y$ [/mm] eine lineare Abbildung ist, entspricht ein Element [mm] $x\in [/mm] X$ genau einer linearen Abbildung [mm] $K\xrightarrow{\ \ e_x\ \ } [/mm] X$, welche die $1$ auf $X$ sendet. Es gilt dann $fx=fy$ genau dann wenn [mm] $fe_x=fe_y$. [/mm] Da wir aber in allgemeinen Kategorien keine Elemente haben, müssen wir statt $K$ jedes Objekt und statt [mm] $e_x$ [/mm] und [mm] $e_y$ [/mm] jeden Pfeil zulassen.

> Aber das kann es ja so nicht sein ... oder..

Analog sind Epimorphismen die "rechtskürzbaren" Pfeile. Speziell für [mm] $K-\mathbf{Vect}$ [/mm] ist Rechtskürzbarkeit und Rechtsinvertierbarkeit äquivalent, aber das ist "nur Zufall". Ebenso in der Kategorie der Mengen, wo diese Aussage das Auswahlaxiom voraussetzt.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

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Isomorphism. in Kategorie K-VR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:18 Di 21.10.2014
Autor: Schachtel5

Achso verstehe. Ja, ich sehe es ein dass mein letzter Vorschlag recht sinnlos ist.

Also $ [mm] X\xrightarrow{\ \ f\ \ }Y [/mm] $ heißt Isomorphismus, wenn es ein $ [mm] Y\xrightarrow{\ \ g\ \ }X [/mm] $ gibt mit [mm] f\circ g=id_Y [/mm] und [mm] g\circ [/mm] f [mm] =id_X [/mm] ?
Und Monomorphismus, Epimorphsmus soll man dann die Links,- bzw. Rechtskürzbarkeit aufschreiben, also bspw. für Monomorphismus:
Wenn für alle N Objekt von C und für alle Morphismen a,b : [mm] N\to [/mm] X mit
[mm] f\circ a=f\circ [/mm] b folgt, dass a=b, oder?


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Isomorphism. in Kategorie K-VR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:39 Di 21.10.2014
Autor: UniversellesObjekt

Genau. Ein Blick ins nLab verrät uns, dass wir damit auch die üblichen Definitionen gefunden haben: []Isomorphismus. []Monomorphismus.

Zu zeigen ist jetzt allerdings noch, dass dies tatsächlich mit den klassischen Konzepten übereinstimmt. Dass also eine lineare Abbildung ein Monomorphismus nach obiger Definition ist, genau dann, wenn sie injektiv ist.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

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Isomorphism. in Kategorie K-VR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:29 Di 21.10.2014
Autor: Schachtel5

Achso alles klar, super, danke dir für deine Hilfe UniversellesObjekt. Ich schummel auch nirgenswo vorher, weil bringt ja sonst nichts. Ich muss mich trotzdem noch genauer mit dem Thema injektiv, Monomorphismus, hat ein Linksinverse etc. beschäftigen, Gemeinsamkeiten und Unterschiede. Aber deine Antworten haben mir da schonmal gut geholfen.

Ich will exemplarisch zeigen.
Sei f: [mm] X\to [/mm] Y K-linear. f ist ein Monomorphismus [mm] \gdw [/mm] f ist injektiv.

Die Richtung [mm] "\Leftarrow [/mm] " ist kein Problem:
Es gelte: für alle x,y in X mit f(x)=f(y) gilt, dass x=y.
Seien [mm] a,b:M\to [/mm] X K-linear mit [mm] f\circ a=f\circ [/mm] b. Zu zeigen: a=b.
Also:  [mm] f\circ a=f\circ [/mm] b, dh. für alle [mm] m\in [/mm] M ist f(a(m))=f(b(m)), [mm] a(m),b(m)\in [/mm] X, nach Vor. gilt dann a(m)=b(m) für alle [mm] m\in [/mm] M und das heißt a=b.

An der Richtung [mm] "\Rightarrow [/mm] " hänge ich aber.
Vor.:f ist ein Monomorphismus, d.h. für jedes Objekt M in C und für alle Morphismen [mm] a,b:M\to [/mm] X mit [mm] f\circ a=f\circ [/mm] b gilt, dass a=b. Und zu Zeigen:
für alle  x,y in X mit f(x)=f(y) gilt, dass x=y.
Ich hatte vor, M=K und [mm] a=e_x [/mm] und [mm] b=e_y [/mm] zu wählen mit der Notation von dem obigen Thread. also beispielsweise wäre [mm] e_x:K\to [/mm] X die Abbildung, die  1 auf x schickt.
Dann hab ich erstmal [mm] (f\circ e_x)(k)=(f\circ e_y)(k) [/mm] für alle k [mm] \in [/mm] K, dh. für k=1 wäre das f(x)=f(y). Aber da komme ich nicht so richtig weiter, vielleicht muss ich M und a und b anders wählen.


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Isomorphism. in Kategorie K-VR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 Di 21.10.2014
Autor: UniversellesObjekt

Hallo, der erste Teil ist genau richtig. Und umgekehrt ist es auch die richtige Idee. Beachte, dass $ fx=fy $ genau dann, wenn $ [mm] fe_x=fe_y [/mm] $ (ich spare mal ein paar Klammern und Kompositionszeichen). Nehmen wir an, dass $ f $ Monomorphismus ist. Zeigen wollen wir Injektivität. Sei daher $ fx=fy $ mit $ x, [mm] y\in [/mm] X $. Gemäß meiner Eingangsbemerkung gilt dann $ [mm] fe_x=fe_y [/mm] $. Die Monomorphie besagt jetzt genau, dass wir $ f $ kürzen dürfen, es folgt also $ [mm] e_x=e_y [/mm] $. Durch Einsetzen von $1$ folgt $ x=y $.

Diese Argumentation zum Beweis "Injektiv [mm] \iff [/mm] Monomorphismus" funktioniert in vielen Kategorien analog. Die Richtung Injektiv [mm] \implies [/mm] Monomorphismus ist meistens trivial, denn wenn $fa=fb $ für zwei Abbildungen $ a, b $ gilt, gilt insbesondere $ fax=fbx $ für alle Elemente $ x $ aus der Domäne von a und b. Wegen Injektivität können wir hier f kürzen und bekommen ax=bx für alle x und somit a=b. Dass wir Gleichheit von Funktionen "elementweise" testen können ist also sehr wichtig.

Für die umgekehrte Richtung braucht man ein festes Objekt der Kategorie, welches "Elemente" klassifiziert. In der Kategorie der Mengen ist dies die Einpunktmenge. Jedes Element $ [mm] x\in [/mm] X $ korrespondiert eindeutig zu dem Pfeil [mm] $\{p\}\longrightarrow [/mm] X $, welcher p auf x schickt. Ebenso der Einpunktraum in topologischen Räumen. Für K-Vect tut es K. Allgemeiner funktioniert in R-Mod der R-Modul R. In Grp funktioniert [mm] $\IZ [/mm] $. In Mon funktioniert [mm] $\IN [/mm] $. Für gerichtete Graphen funktioniert der Graph mit zwei Knoten und dazwischen einem Pfeil. Für Kategorien funktioniert die Kategorie mit zwei Objekten und einem Pfeil zwischen diesen. Für kommutative Ringe funktioniert [mm] $\IZ [/mm] [x] $. Allgemeiner funktioniert für Comm-R-Alg die kommutative R-Algebra $R [x] $. Für möglicherweise nichtkommutative R-Algebren benötigt man die freie Algebra über einem Erzeuger.

In all diesen konkreten Kategorien stimmen daher Monomorphismen mit "injektiven Homomorphismen " überein. Das angesprochene "element-klassifizierende Objekt" kann man übrigens präzisieren als darstellendes Objekt des Vergissfunktors. Ich weiß aber nicht, ob du dich schon mit darstellbaren Funktoren auskennst.

Für Epimorphismen geht es leider nicht immer so schön - beispielsweise ist [mm] $\IZ\longrightarrow\IQ [/mm] $ ein nicht-surjektiver Epimorphismus von Ringen.

Und für K-Vect fehlt uns zumindest noch ein Beweis, dass Epimorphismen mit surjektiven Homomorphismen übereinstimmen ;-)

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

P.S.: Pfeile, zu denen ein Linksinverser Pfeil existiert nennt man übrigens []spaltende Monomorphismen. Dass spaltende Monomorphismen bereits Monomorphismen sein müssen, lässt sich sehr leicht nachprüfen.

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Isomorphism. in Kategorie K-VR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:42 Mi 22.10.2014
Autor: Schachtel5

Achso, ich war mir nicht sicher, dass die Äquivalenz: [mm] f\circ e_x=f\circ e_y \gdw [/mm] f(x)=f(y) gilt. Also [mm] f\circ e_x=f\circ e_y [/mm] heißt ja [mm] f\circ e_x(k)=f\circ e_y [/mm] (k) für alle [mm] k\in [/mm] K und für k=1 ist f(x)=f(y) darum kam ich an der Stelle dann nicht weiter. Aber verstehe jetzt. Und deine Erläuterungen sind sehr sehr hilfreich und echt gut. Mit darstellbaren Funktoren nicht so richtig, ich kenne die Definition des durch einen Objekts einer Kategorie dargestellten Funktors aber das wars auch schon.

Denke mal, dass wir nicht mehr viel zu Kategorientheorie machen, also haben Grundbegriffe wie Kategorien, Funktoren und natürliche Transformationen kennengelernt und dann gehts mit algebraischer Topologie weiter (Simplizialer Komplex, Definition simplizialer Homologie etc), aber ist wirklich gut, eine abstraktere Sichtweise zu bekommen. Anscheinend ist Kategorientheorie sehr hilfreich Mathematik richtig zu verstehen. Aber kann es nicht so gut beurteilen.

An dem Beweis, dass für [mm] f:X\to [/mm] Y K_linear gilt: f surjektiv genau dann, wenn f ein Epimorphismus ist, hänge ich leider auch.
Also aus surjektiv=>Epimorphismus, hab ich schon geschafft.
Aber die Rückrichtung, aus Epi folgt surjektiv, macht mir Probleme:

Annahme: f ist ein Epimorphismus, dh für jedes Objekt S in C und für alle Morphismen [mm] a,b:Y\to [/mm] S in C mit [mm] a\circ f=b\circ [/mm] f folgt, dass a=b.
Wenn f nicht surjektiv ist, existiert ein [mm] y\in [/mm] Y, s.d. [mm] y\notin [/mm] Bild(f). Ich muss mir jetzt irgendwie S und a und b denke ich mal so konstruieren, dass ich einen Widerpruch kriege, aber ich weiss nicht wie :/.
Vielleicht geht es ohne Widerspruch besser.
Aber habe keine Idee.

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Isomorphism. in Kategorie K-VR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:59 Mi 22.10.2014
Autor: UniversellesObjekt


> Achso, ich war mir nicht sicher, dass die Äquivalenz:
> [mm]f\circ e_x=f\circ e_y \gdw[/mm] f(x)=f(y) gilt. Also [mm]f\circ e_x=f\circ e_y[/mm]
> heißt ja [mm]f\circ e_x(k)=f\circ e_y[/mm] (k) für alle [mm]k\in[/mm] K und
> für k=1 ist f(x)=f(y) darum kam ich an der Stelle dann
> nicht weiter. Aber verstehe jetzt. Und deine Erläuterungen
> sind sehr sehr hilfreich und echt gut. Mit darstellbaren
> Funktoren nicht so richtig, ich kenne die Definition des
> durch einen Objekts einer Kategorie dargestellten Funktors
> aber das wars auch schon.

Nur als Hintergrund - ein Funktor [mm] $\mathcal {C}\longrightarrow\mathbf{Set} [/mm] $ heißt darstellbar, wenn er isomorph zu [mm] $\mathcal [/mm] {C}(X,-) $ für ein Objekt $ X $ ist. Beispielsweise ist [mm] \{p\} [/mm] ein darstellendes Objekt für den Identitätsfunktor von Set, $ K $ ist ein darstellendes Objekt für den Vergissfunktor $ [mm] K-\mathbf {Vect}\longrightarrow\mathbf [/mm] {Set} $. Aber das braucht man hier nicht.

> Denke mal, dass wir nicht mehr viel zu Kategorientheorie
> machen, also haben Grundbegriffe wie Kategorien, Funktoren
> und natürliche Transformationen kennengelernt und dann
> gehts mit algebraischer Topologie weiter (Simplizialer
> Komplex, Definition simplizialer Homologie etc), aber ist
> wirklich gut, eine abstraktere Sichtweise zu bekommen.
> Anscheinend ist Kategorientheorie sehr hilfreich Mathematik
> richtig zu verstehen. Aber kann es nicht so gut
> beurteilen.

Ja, das ist sie ;-)

> An dem Beweis, dass für [mm]f:X\to[/mm] Y K_linear gilt: f
> surjektiv genau dann, wenn f ein Epimorphismus ist, hänge
> ich leider auch.
>  Also aus surjektiv=>Epimorphismus, hab ich schon
> geschafft.
>  Aber die Rückrichtung, aus Epi folgt surjektiv, macht mir
> Probleme:

> Annahme: f ist ein Epimorphismus, dh für jedes Objekt S in
> C und für alle Morphismen [mm]a,b:Y\to[/mm] S in C mit [mm]a\circ f=b\circ[/mm]
> f folgt, dass a=b.
>  Wenn f nicht surjektiv ist, existiert ein [mm]y\in[/mm] Y, s.d.
> [mm]y\notin[/mm] Bild(f). Ich muss mir jetzt irgendwie S und a und b
> denke ich mal so konstruieren, dass ich einen Widerpruch
> kriege, aber ich weiss nicht wie :/.
>  Vielleicht geht es ohne Widerspruch besser.
>  Aber habe keine Idee.

Doch die Idee ist richtig. Versuchen wir doch mal, das ganze von hinten aufzuziehen. Dabei können wir verwenden, dass man in $ [mm] K-\mathbf [/mm] {Vect} $ parallele Pfeile addieren und subtrahieren kann. Angenommen, wir hätten zwei verschiedene Pfeile $ a, b $ mit $ af=bf $. Dann müsste auch $(a-b)f=0 $. $ [mm] a\not=b [/mm] $ ist äquivalent zu $ [mm] a-b\not=0$. [/mm] Wir können daher unsere Suche einschränken auf einen von $ 0$ verschiedenen Pfeil $ k $ mit $ kf=0$. Wir suchen also einen Pfeil $ [mm] Y\xrightarrow [/mm] {k} K $, welcher alle Elemente aus dem Bild von $ f $ auf die Null sendet. Für dieses Anliegen gibt es eine "bestmögliche" Lösung, deren Konstruktion dir sicherlich schon einmal begegnet ist (und immer wieder begegnen wird, wenn ihr euch mit homologischer Algebra beschäftigt).

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

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Isomorphism. in Kategorie K-VR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:35 Mi 22.10.2014
Autor: Schachtel5

Hintergrundinfos sind immer gut:).
Ich kann nur zunächst rumraten. Kenne mich leider nicht wirklich mit homologischer Algebra aus (noch, hoffentlich =P, schnapp mir wenn ich mal mehr Zeit habe ein Buch).
Mir fallen 2 Abbildungen ein, die sowas eventuell tun könnten, also welcher alle Elemente aus dem Bild von f auf die Null sendet,
aber die sind schon ziemlich konkret und passen in der Situation glaube ich (auch von der Werte- und Zielmenge her) nicht so, zumindest die 2.. Also zb die kanonische Projektion, deren Kern das Bild von f ist, würde mir da einfallen (Y/Bild(f) müsste sogar K sein wenn f nicht trivial und linear) oder was wir jetzt scheinbar öfters betrachten ist die Randabbildung [mm] \delta_n [/mm] mit [mm] \delta_{n-1}\circ \delta_n=0, [/mm] aber das passt hier irgendwie garnicht ^^.

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Isomorphism. in Kategorie K-VR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:56 Mi 22.10.2014
Autor: UniversellesObjekt


>  Mir fallen 2 Abbildungen ein, die sowas eventuell tun
> könnten, also welcher alle Elemente aus dem Bild von f auf
> die Null sendet,
>  aber die sind schon ziemlich konkret und passen in der
> Situation glaube ich (auch von der Werte- und Zielmenge
> her) nicht so, zumindest die 2.. Also zb die kanonische
> Projektion, deren Kern das Bild von f ist, würde mir da
> einfallen (Y/Bild(f)

Hallo, dies ist genau was wir brauchen.

Sei $ [mm] X\xrightarrow [/mm] {\ \ f\ \ } Y $ eine lineare Abbildung. Wir betrachten die beiden Abbildungen $ [mm] Y\longrightarrow Y/\operatorname [/mm] {im} f $, von denen eine alles auf $ 0$ schickt und eine nur das Bild von f (also die Projektion $ k $). Beide ergeben verknüpft mit $f $ 0. Sind sie auch beide verschieden? Nun, $ k $ ist genau dann Null, wenn $ f $ surjektiv ist, tut also alles was wir brauchen.

Diese Abbildung $ k $ hat auch einen Namen, nämlich []Kokern von $ f $, man schreibt $ k [mm] =\operatorname [/mm] {coker} f $. Als Abfallprodukt unserer Charakterisierung haben wir also auch noch die Erkenntnis Epimorphismus [mm] \iff [/mm] Kokern ist 0 gewonnen. Diese gilt auch im allgemeineren Rahmen von abelschen Kategorien, in welchen man die obigen Überlegungen verallgemeinern und abstrahieren kann.

Du kennst vielleicht aus der linearen Algebra die Erkenntnis Monomorphismus [mm] \iff [/mm] Kern ist 0. Diese Analogie ist kein Zufall.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

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Isomorphism. in Kategorie K-VR: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:36 Mi 22.10.2014
Autor: Schachtel5

Aaachso! Ich hab verstanden, werd das nochmal zusammengefügt aufschreiben und dann passt das. Vielen vielen vielen Dank für deine super Hilfe!! Das hat mir echt was gebracht.
Lieben Gruß

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