www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Algebraische Geometrie" - Körpererweiterung, Morphismus
Körpererweiterung, Morphismus < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebraische Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Körpererweiterung, Morphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:44 Mi 08.02.2012
Autor: flipflop

Aufgabe
Bemerkung: Es sei [mm] \varphi: [/mm] X [mm] \to [/mm] Y ein dominanter Morphismus irreduzibler affiner Varietäten gleicher Dimension. Dann hat man [mm] \IK(Y) \cong \varphi^{\ast}(\IK(Y)) \subseteq \IK(X). [/mm] Die Körpererweiterung [mm] \varphi^{\ast}(\IK(Y)) \subseteq \IK(X) [/mm] ist dabei endlich erzeugt und algebraisch.

[mm] (\varphi^{\ast} [/mm] bezeichnet den zugehörigen Komorphismus [mm] \varphi^{\ast}: \IK(Y) \to \IK(X) [/mm] )

Hallo,
leider komme ich mit der obigen Bemerkung nicht zurecht - ich schreibe jetzt mal auf, was mir so dazu einfällt:

zu algebraisch:
Es gilt [mm] trdeg_{\IK}(\varphi^{\ast}(\IK(Y))=trdeg_{\IK}(\IK(Y))=trdeg_{\IK}(\IK(X)). [/mm] Wir haben einen Körperturm [mm] \IK \subseteq \varphi^{\ast}(\IK(Y)) \subseteq \IK(X). [/mm] Deshalb gilt [mm] trdeg_{\IK}(\IK(X))=trdeg_{\IK}(\varphi^{\ast}(\IK(Y))+trdeg_{\varphi^{\ast}(\IK(Y)}(\IK(X)). [/mm] Also folgt [mm] trdeg_{\varphi^{\ast}(\IK(Y)}(\IK(X)) [/mm] =0 und somit ist [mm] \varphi^{\ast}(\IK(Y)) \subseteq \IK(X) [/mm] algebraisch.
Stimmt das so?

zu endlich erzeugt:
hier habe ich leider überhaupt keinen Ansatz. Das einzige, was mir noch einfällt, ist, dass [mm] \varphi^{\ast} [/mm] injektiv ist, weil [mm] \varphi [/mm] dominant ist...

Es wäre prima, wenn mir jemand weiterhelfen könnte - vielen Dank schonmal...

lg flipflop

        
Bezug
Körpererweiterung, Morphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:42 Sa 11.02.2012
Autor: felixf

Moin flipflop!

> Bemerkung: Es sei [mm]\varphi:[/mm] X [mm]\to[/mm] Y ein dominanter
> Morphismus irreduzibler affiner Varietäten gleicher
> Dimension. Dann hat man [mm]\IK(Y) \cong \varphi^{\ast}(\IK(Y)) \subseteq \IK(X).[/mm]
> Die Körpererweiterung [mm]\varphi^{\ast}(\IK(Y)) \subseteq \IK(X)[/mm]
> ist dabei endlich erzeugt und algebraisch.
>  
> [mm](\varphi^{\ast}[/mm] bezeichnet den zugehörigen Komorphismus
> [mm]\varphi^{\ast}: \IK(Y) \to \IK(X)[/mm] )
>
>  Hallo,
>  leider komme ich mit der obigen Bemerkung nicht zurecht -
> ich schreibe jetzt mal auf, was mir so dazu einfällt:
>  
> zu algebraisch:
>  Es gilt
> [mm]trdeg_{\IK}(\varphi^{\ast}(\IK(Y))=trdeg_{\IK}(\IK(Y))=trdeg_{\IK}(\IK(X)).[/mm]
> Wir haben einen Körperturm [mm]\IK \subseteq \varphi^{\ast}(\IK(Y)) \subseteq \IK(X).[/mm]
> Deshalb gilt
> [mm]trdeg_{\IK}(\IK(X))=trdeg_{\IK}(\varphi^{\ast}(\IK(Y))+trdeg_{\varphi^{\ast}(\IK(Y)}(\IK(X)).[/mm]
> Also folgt [mm]trdeg_{\varphi^{\ast}(\IK(Y)}(\IK(X))[/mm] =0 und
> somit ist [mm]\varphi^{\ast}(\IK(Y)) \subseteq \IK(X)[/mm]
> algebraisch.
>  Stimmt das so?

Ja.

> zu endlich erzeugt:
>  hier habe ich leider überhaupt keinen Ansatz. Das
> einzige, was mir noch einfällt, ist, dass [mm]\varphi^{\ast}[/mm]
> injektiv ist, weil [mm]\varphi[/mm] dominant ist...

Das stimmt nicht. Wenn es [mm] $\varphi^\ast$ [/mm] gibt, ist es automatisch injektiv als Homomorphismus zwischen Koerpern.

Du brauchst dominant, damit es [mm] $\varphi^\ast [/mm] : [mm] \IK(Y) \to \IK(X)$ [/mm] ueberhaupt gibt.

Wenn es nicht dominant ist, bekommst du nur einen Homomorphismus zwischen den Strukturgarben bzw. den Koordinatenringen.

Dass [mm] $\IK(X)$ [/mm] endlich erzeugt ueber [mm] $\varphi^*(\IK(Y))$ [/mm] ist folgt daraus, dass [mm] $\IK(X)$ [/mm] ueber [mm] $\IK$ [/mm] endlich erzeugt ist (als Koerper!) und somit auch ueber [mm] $\varphi^*(\IK(Y))$. [/mm]

Um das nachzuvollziehen musst du dir die Definition von [mm] $\IK(X)$ [/mm] genauer anschauen.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Körpererweiterung, Morphismus: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:15 Di 14.02.2012
Autor: flipflop

Hallo Felix,
vielen Dank für deine Antwort! (Ich melde mich erst jetzt, weil ich krank war :-( )

zu algebraisch: Leider ist mir meine eigene Lösung gerade nicht mehr klar - warum gilt denn [mm] \IK \subseteq \varphi^{\ast}(\IK(Y))? [/mm]

zu endlich erzeugt: Danke für die Korrektur und den Tipp! Mein Versuch:
[mm] \IK(X) [/mm] ist der Quotientenkörper von [mm] \mathcal{O}_X(X). [/mm]
[mm] \mathcal{O}_X(X) [/mm] ist eine affine [mm] \IK [/mm] -Algebra, d.h. [mm] \mathcal{O}_X(X)=\IK[f_1, \dots f_r] [/mm] mit [mm] f_i \in \mathcal{O}_X(X). [/mm] Also ist [mm] \IK(X) [/mm] = [mm] \IK (\bruch{f_1}{1}, \dots, \bruch{f_r}{1}) [/mm] und somit auch [mm] \IK(X) [/mm] = [mm] \varphi ^{\ast}(\IK(Y)) (\bruch{f_1}{1}, \dots, \bruch{f_r}{1}). [/mm]

Lg flipflop


Bezug
                        
Bezug
Körpererweiterung, Morphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:25 Do 16.02.2012
Autor: Berieux

Hi!

> Hallo Felix,
>  vielen Dank für deine Antwort! (Ich melde mich erst
> jetzt, weil ich krank war :-( )
>  
> zu algebraisch: Leider ist mir meine eigene Lösung gerade
> nicht mehr klar - warum gilt denn [mm]\IK \subseteq \varphi^{\ast}(\IK(Y))?[/mm]
>  

[mm]\varphi^{\ast}[/mm] auf K eingeschränkt ist doch die Identität.
Und da die Varietäten dieselbe Dimension haben, ist [mm]tredeg_{K}K(Y)=trdeg_{K}K(X)[/mm]. Deshalb ist deine Argumentation so wie sie im ersten Post steht richtig.

> zu endlich erzeugt: Danke für die Korrektur und den Tipp!
> Mein Versuch:
>  [mm]\IK(X)[/mm] ist der Quotientenkörper von [mm]\mathcal{O}_X(X).[/mm]
> [mm]\mathcal{O}_X(X)[/mm] ist eine affine [mm]\IK[/mm] -Algebra, d.h.
> [mm]\mathcal{O}_X(X)=\IK[f_1, \dots f_r][/mm] mit [mm]f_i \in \mathcal{O}_X(X).[/mm]
> Also ist [mm]\IK(X)[/mm] = [mm]\IK (\bruch{f_1}{1}, \dots, \bruch{f_r}{1})[/mm]
> und somit auch [mm]\IK(X)[/mm] = [mm]\varphi ^{\ast}(\IK(Y)) (\bruch{f_1}{1}, \dots, \bruch{f_r}{1}).[/mm]
>  

Ja.

Viele Grüße,
Berieux

> Lg flipflop
>  


Bezug
                                
Bezug
Körpererweiterung, Morphismus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:56 Do 16.02.2012
Autor: flipflop

Hallo Berieux,
vielen Dank!
Liebe Grüße, flipflop

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebraische Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de