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Komplizierter Erwartungswert: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 00:38 Mi 08.11.2017
Autor: Teduk

Aufgabe
Es muss ein Eigenwert für eine Entscheidung bestimmt werden.

Hallo,
ich kämpfe mit dem Problem, dass ich einen Erwartungswert für eine Entscheidung benötige, allerdings nicht dahintersteige, wie ich diesen ermittle.

Das "Problem" ist für mich etwas schwierig zu beschreiben, aber ich gebe mein Bestes.

Eine Entscheidung fällt an. Innerhalb dieser Entscheidung lässt sich zwischen zwei Wegen A und B wählen. Sowohl Weg A als auch Weg B können mit einer gleichmäßigen Wahrscheinlichkeit eine von 6 Eigenschaften haben, die eigene Gewichtungen haben. Weg A hat damit die Eigenschaften A1−A6, von denen jeder eine eigene Gewichtung erhält und Weg B hat 6 vollkommen von Weg A unabhängige Eigenschaften B1−B6. Sowohl die Wahl von Weg A als auch Weg B führen beide zu einer Eigenschaft, die für beide Wege dieselbe ist. Zusätzlich kann Weg A allerdings noch zu einer zweiten Eigenschaft führen, das Selbe gilt für Weg B. Somit kann Weg A eine Eigenschaft wählen, die nur für Weg A verfügbar ist, und eine Eigenschaft, die ebenfalls für Weg B verfügbar ist. Weg B hat dann auch noch eine Eigenschaft zur Wahl, die nur für Weg B zur Verfügung steht. Diese drei Eigenschaften werden aus einem Vorrat von 9 verschiedenen möglichen Eigenschaften ausgewählt. Es darf keine dieser 9 Eigenschaften doppelt auftauchen, also müssen immer 3 verschiedene von diesen 9 gewählt werden. Diese 9 Eigenschaften haben alle dieselbe Auftrittswahrscheinlichkeit. Somit hat eine Eigenschaft die Wahrscheinlichkeit von 19, die zweite Eigenschaft die Wahrscheinlichkeit von 18, und die dritte eine Wahrscheinlichkeit von 17, da immer eine mögliche Eigenschaft wegfällt. Welche dieser drei Eigenschaften zuerst zugeteilt wird, ist zufällig. Beispielsweise kann als erstes die Eigenschaft gewählt werden, die sich Weg A und Weg B teilen, aber auch der, der nur für Weg B verfügbar ist. Es ist quasi zufällig, ob die Eigenschaft mit dem höchsten Wert nur für A, nur für B oder für beide verfügbar ist.

Nun benötige ich einen Erwartungswert für die gesamte Entscheidung. Es ist beispielsweise möglich, Weg A zu nehmen, der eine von 6 Eigenschaften, bspw. A3 hat, und dann zusätzlich eine von zwei weiteren Eigenschaften auszuwählen. In diesem Beispiel wurde die Lösung, die nur A zur verfügung steht zuerst gewählt, also mit Wahrscheinlichkeit 19, und erhält die Gewichtung von bspw. Eigenschaft 4. Die Lösung, die sich A und B teilen, wurde danach mit 18 gewählt, und hat die Gewichtung von der Eigenschaft 2 (bsp.). Der Erwartungswert soll berücksichtigen, dass für Weg A mit einer von 6 Gewichtungen A1−A6 die zugehörige beste weitere Eigenschaft gewählt wird. Also zwischen Eigenschaft 4 und Eigenschaft 2 in diesem Fall. Das selbe soll für Weg B geschehen. Ein zufälliges B1−B6, in diesem Fall B2 soll die bessere der beiden zwei für Weg B zur Verfügung stehenden Eigenschaften, also Eigenschaft 2, und der dritten Eigenschaft, die dann mit Wahrscheinlichkeit 17 eine der restlichen 7 Eigenschaften einnimmt, beispielsweise Eigenschaft 5.

In diesem Fall benötige ich den Erwartungswert für die gesamte Entscheidung. Die Eigenschaften können addiert werden, sodass A3+ Eigenschaft 4 oder A3+ Eigenschaft 2 möglich sind. Zusätzlich ist B2+ Eigenschaft 2 oder B2+ Eigenschaft 5 möglich. Innerhalb der Entscheidung darf aber nur einer von beiden Wegen gewählt werden, der beste von beiden. Das Problem ist ja, dass jetzt Entweder Weg A oder Weg B besser ist, das Auftreten der Eigenschaft A3 und B2 aber zufällig ist. Die Reihenfolge, mit der die drei weiteren Eigenschaften festgelegt werden, ist ebenfalls zufällig. Und welche Eigenschaft dann gewählt wird ebenso. Es gibt insgesamt 21 verschiedene Gewichtungen. Ich benötige einen Wert, der mir sagt, wie gut diese auftretende Entscheidung ist. Es könnte ja eine weitere Entscheidung auftreten, mit A1+ Eigenschaft 1 und A1+ Eigenschaft 8 und B6+ Eigenschaft 4 und B6+ Eigenschaft 1 . Die Gewichtungen sind feste Werte.

Ich weiß, dass es keine gute Erklärung des Problems ist. Ich würde mich tierisch freuen, wenn mir jemand auch nur einen Ansatz liefern könnte, wie ich so einen Wert erhalte, um eine so generierte Entscheidung zu bewerten. Wenn Vereinfachungen, wie zum Beispiel die zufällige Reihenfolge, wie die 3 Eigenschaften nach A bzw. B gewählt werden, wegfallen zu lassen, ist das auch in Ordnung.

Vielleicht kann dieses Bild weiterhelfen. [Dateianhang nicht öffentlich]

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: [https://www.onlinemathe.de/forum/Komplizierte-Rechnung-fuer-einen-Erwartungswert ; http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=232014&start=0&lps=1689764#v1689764 ]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Komplizierter Erwartungswert: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:20 Sa 11.11.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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