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Konvergente Folge: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:58 Mi 18.10.2017
Autor: mariella22

Aufgabe
an =((1 + 2x)/ (1 + [mm] x^2))^{2n} [/mm]
Für welche x ∈R konvergiert die Folge

Hallo,
meine Überlegung war, dass die Folge nur nicht gegen unendlich geht,
wenn Nenner gleich Zähler, dann wäre der Grenzwert 1
oder wenn der Nenner deutlich grösser ist als der Zähler, dann geht es gegen 0
Stimmt das so?

        
Bezug
Konvergente Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:12 Mi 18.10.2017
Autor: Diophant

Hallo,

deine Überlegungen sind recht unglücklich formuliert, aber soweit richtig (falls ich dich richtig verstanden habe).

Es muss schlicht und ergreifend hier der Nenner größer oder gleich dem Zähler sein. Für welche x das der Fall ist verrät dir die Ungleichung

[mm] 2x\le{x^2}
[/mm]

Nachtrag: ich war wohl gestern Abend nicht bei der Sache. x ist ja aus [mm] \IR, [/mm] also muss das gelten, was FRED in seiner Antwort geschrieben hat:

[mm] \frac{\left|1+2x\right|}{1+x^2}\le{1} [/mm]

Sorry für meine Nachlässigkeit.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Konvergente Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:36 Mi 18.10.2017
Autor: mariella22

Danke für die Hilfe.
Also für x, die nicht im Intervall (0,2) liegen
für x=0 ist an = 0 und konvergiert und für x = 2 ist an=1 und konvergiert also auch, weil die beiden Fälle konstant sind?

Bezug
                        
Bezug
Konvergente Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 Mi 18.10.2017
Autor: leduart

Hallo
du willst doch ALLE  x angeben, für die das konvergiert, du schreibst immer nur x=0 und x=1 was ist mit x=0,5, x=0.999999 [mm] x=1/\pi [/mm] usw?
eigentlich hat dir D. doch die Lösung aufgeschrieben?
Gruß leduart

Bezug
        
Bezug
Konvergente Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:57 Do 19.10.2017
Autor: fred97


> an =((1 + 2x)/ (1 + [mm]x^2))^{2n}[/mm]
>  Für welche x ∈R konvergiert die Folge
>  Hallo,
> meine Überlegung war, dass die Folge nur nicht gegen
> unendlich geht,
> wenn Nenner gleich Zähler, dann wäre der Grenzwert 1
>  oder wenn der Nenner deutlich grösser ist als der
> Zähler, dann geht es gegen 0
>  Stimmt das so?


Bekanntlich konvergiert [mm] (q^{2n}) [/mm] genau dann, wenn |q| [mm] \le [/mm] 1 ist.

Gesucht sind allso alle x mit:

[mm] \frac{|1+2x|}{1+x^2} \le [/mm] 1.

Bestimme diese x !

Bezug
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