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Forum "Numerik linearer Gleichungssysteme" - Konvergenz Splitting-Verfahren
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Konvergenz Splitting-Verfahren: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:54 Mo 20.10.2014
Autor: Karl87

Hallo,

habe eine Frage bzgl der Konvergenz von Splitting-Verfahren.

Ein Splitting-Verfahren ist ja genau dann konvergent, wenn der Spektralradius der Iterationsmatrix kleiner 1 ist (p(M)<1). Mir ist klar, der Spektralradius ist der betragsmäßig größte Eigenwert der Iterationsmatrix.

Habe nun gelesen, dass die Eigenwerte oft schwierig zu berechnen sind.

Jetzt meine Frage: Gibt es noch andere Möglichkeiten Konvergenzaussagen zu treffen?

Die angepassten Konvergenzaussagen (Zeilen-/Spalten-&Quadratsummenkriterium) mal kurz vernachlässigt.

Würde mich über eine Antwort freuen.
vG
Karl

        
Bezug
Konvergenz Splitting-Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:39 Di 21.10.2014
Autor: DieAcht

Hallo Karl,


> Ein Splitting-Verfahren ist ja genau dann konvergent, wenn
> der Spektralradius der Iterationsmatrix kleiner 1 ist
> (p(M)<1). Mir ist klar, der Spektralradius ist der
> betragsmäßig größte Eigenwert der Iterationsmatrix.

Ja, wobei die Matrix [mm] $M\$ [/mm] quadratisch sein muss!

> Habe nun gelesen, dass die Eigenwerte oft schwierig zu
> berechnen sind.

Richtig.

> Jetzt meine Frage: Gibt es noch andere Möglichkeiten
> Konvergenzaussagen zu treffen?

Sei [mm] $M\$ [/mm] eine quadratische Matrix, dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1) Der Spektralradius [mm] $r(M)\$ [/mm] von [mm] $M\$ [/mm] ist kleiner als [mm] $1\$. [/mm]
2) [mm] $M^k\to [/mm] 0$ für [mm] k\to\infty. [/mm]
3) Es gibt eine Vektornorm, sodass sich für induzierte Matrixnorm [mm] \|M\|<1 [/mm] ergibt.
4) [mm] $M-\lambda [/mm] E$ ist für alle [mm] \lambda [/mm] mit [mm] $|\lambda|\ge [/mm] 1$ regulär.

Kannst du mal probieren zu beweisen. ;-)


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Konvergenz Splitting-Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:45 Mi 22.10.2014
Autor: Karl87

Ein Kommilitone hat gemeint, es ist auch möglich Konvergenzaussagen über eine Abschätzung der Matrix zu treffen, vorausgesetzt ist nur, dass die Matrix hermitesch ist. Der From: Spektralradius p(M) [mm] \le [/mm] ||A||

Gibt es einen solchen Ansatz?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz Splitting-Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:17 Mi 22.10.2014
Autor: fred97


> Ein Kommilitone hat gemeint, es ist auch möglich
> Konvergenzaussagen über eine Abschätzung der Matrix zu
> treffen, vorausgesetzt ist nur, dass die Matrix hermitesch
> ist. Der From: Spektralradius p(M) [mm]\le[/mm] ||A||

Du meinst sicher $p(M) [mm] \le [/mm] ||M||$

>  
> Gibt es einen solchen Ansatz?  

Im Folgenden sei stets [mm] \IK [/mm] = [mm] \IR [/mm] oder = [mm] \IC. [/mm]

Ist $||*||$ eine Norm auf [mm] \IK^n, [/mm] so induziert diese Norm eine Norm auf [mm] \IK^{n \times n}: [/mm]

   $||A||:= [mm] \max \{||Ax||: x \in \IK^n, ||x||=1 \}$. [/mm]

Ist $A [mm] \in \IK^{n \times n}$, [/mm] so besteht folgender Zusammenhang zwischen dem Spektralradius und der Norm:

    [mm] $p(A)=\limes_{n\rightarrow\infty}||A^n||^{1/n}$. [/mm]

Ist  [mm] \IK^{n \times n} [/mm] mit der euklidischen Norm [mm] ||*||_2 [/mm] ausgestattet, dann ist die von [mm] ||*||_2 [/mm] induzierte Matrixnorm gegeben durch

    [mm] $||A||_2:= \max \{||Ax||_2: x \in \IK^n, ||x||_2=1 \}$. [/mm]

Für eine hemitesche Matrix $A$ gilt dann:

      [mm] $p(A)=||A||_2$ [/mm]

FRED

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