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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz einer Folge
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Konvergenz einer Folge: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:33 Mo 09.11.2009
Autor: bonzai0710

Aufgabe
Überprüfen sie die Folgende Rekursive Folge auf Konvergenz

[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} *(a_{n} [/mm] + [mm] \bruch{3} {a_{n}}) [/mm]
[mm] a_{1} [/mm] = 3


Hallo,

Ich hab versucht mit monotonie + Beschränktheit das ganze zu bewiesen. Da ich morgen ein Test habe übe ich heute noch und muss leider feststellen das ich einige beispiele nicht lösen kann.

Weiters ist mir nicht klar wie ich mit cauchy ein Beweis Führe.

Für Cauchy hatte ich ansätze mit:
[mm] |a_{m} [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] ich hab [mm] a_{m} [/mm] auf [mm] a_{n+1} [/mm] gesetzt was ich aber nicht darf ...

Bei der monotonie + Beschränktheit bin ich total gescheitert weil es mir nicht gelingt das ganze auf eine form von [mm] \bruch{(a_{n}^2 + 3)}{a_{n}} [/mm] zu bringen. Ich kriege das Quadrat nicht in die Ungleichung rein. Mein Ansatz::

Der Grenzwer würde bei Wurzel 3 Liegen.

1. Basis [mm] a_{1} [/mm] = 3;
3 > [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * (3 + [mm] \bruch{3}{3}) [/mm] --> Das ist mal wahr
2. vorrausetzung
[mm] a_{n} [/mm] > [mm] a_{n+1} [/mm]
3. Behauptung
[mm] a_{n+1} [/mm] > [mm] a_{n+2} [/mm]
4. Schritt
[mm] a_{n} [/mm] > [mm] a_{n+1} [/mm]
--> Im Prinzip hab ich mir gedacht ich muss das jetzt bloß zu [mm] \bruch{(a_{n}^2+3)}{a_{n}} [/mm] umformen das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] kann ich ja immer vorne reinmultiplizieren.

Leider klappt das alles irgendwie nicht und ich krieg keine idee wie ich das lösen kann was mich noch zum wansinn bringt.

Als.
Zusatz wollte ich es noch mit Cauchy beweisen. Aber auch da bin ich schon am anfang gescheitert.

lg
christoph

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenz einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Mo 09.11.2009
Autor: angela.h.b.


> Überprüfen sie die Folgende Rekursive Folge auf
> Konvergenz
>  
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} *(a_{n}[/mm] + [mm]\bruch{3} {a_{n}})[/mm]
>  [mm]a_{1}[/mm]
> = 3
>  
>
> Hallo,
>  
> Ich hab versucht mit monotonie + Beschränktheit das ganze
> zu bewiesen.

Hallo,

[willkommenmr].

Das ist doch eine gute Idee.

Daß die Folge durch 0 nach unten beschränkt ist, sieht man ja sofort.

Bleibt "monoton fallend " zu zeigen.

Zeige hierfür erstmal per Induktion, daß [mm] a_n^2>3. [/mm]


Danach rechne vor, daß [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}<1. [/mm] (Monotonie).

Gruß v. Angela





Bezug
                
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Konvergenz einer Folge: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:18 Mo 09.11.2009
Autor: bonzai0710

Also ich ahb jetzt einiges mitlerweile gerechnet.

und zwar komme ich mit dem ansatz [mm] a_{n} [/mm] > [mm] a_{n+1} [/mm] wenn ich für [mm] a_{n+1} [/mm] einsetze immer zum ergebnis [mm] a_{n}^2 [/mm] > 3 selbiges für das n+1 element.

Rechne ich [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}<1 [/mm] komme ich auf [mm] a_{n}^2 [/mm] > 3.

So was zeige ich da bitte oder was habe ich gemacht. Ich steh total an...

Ich hab auch noch ein 3. Versuch ein komplett anderen gemacht und zwar den hier: (Leider kommt was falsches raus)

Ungleichung1: [mm] a_{n} [/mm] > [mm] a_{n+1} [/mm]  / das ganze jetzt 1/ umschreiben
Ungeichung2: [mm] \bruch{1}{a_{n}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{a_{n+1}} [/mm] / multipliziere ich mit -3 und erhalte

[mm] \bruch{-3}{a_{n}} [/mm] > [mm] \bruch{-3}{a_{n+1}} [/mm]

würde ich jetzt addieren erahlte ich:
[mm] a_{n} [/mm] - [mm] \bruch{3}{a_{n}} [/mm] > [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] \bruch{3}{a_{n+1}} [/mm]

Das sieht aus meiner sicht zwar schon sehr gut aus bzw. sehr nah an dem was ich haben will. addieren sollte ich ja auch dürfen da ja das ungleichheitszeichen bei beiden ungelichungen richtig ist. Aber das ergebnis ist nicht das was ich gern hätte :(

lg
christoph

ps: ich stehe total auf der leitung... Ich hab schon zig beispiele heute gerechnet und kann irgendwie ales lösen aber sobald ein Quadrat drinnen vorkommt versage ich beim Induktionsbeweis...

Bezug
                        
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Konvergenz einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:08 Mo 09.11.2009
Autor: angela.h.b.

>>> $ [mm] a_{n+1} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{2} \cdot{}(a_{n} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{3} {a_{n}}) [/mm] $
>>> $ [mm] a_{1} [/mm] $ = 3


Hallo,

Du machst den Eindruck, als hättest Du auf dem Papier die richtigen Rechnungen im falschen Zusammenhang stehen.

Ich zeige jetzt zunächst, weil ich beim Rechnen festgestellt habe, daß ich es brauche, die Aussage [mm] a_n^2>3, [/mm]
und im Gegensatz zu dem Tip, den ich gegeben habe, zeige ich die Aussage ohne Induktion:

Behauptung:  [mm] x_{n+1}^2 [/mm] >3 für alle n.

Bew:
[mm] x_{n+1}^2 [/mm] -3= [mm] \bruch{1}{4} \cdot{}(a_{n} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{3} {a_{n}})^2 [/mm] - 3= [mm] \bruch{1}{4}(a_{n}^2 [/mm] $ +6+  $ [mm] \bruch{9} {a_{n^2}} [/mm] -12)=
[mm] \bruch{1}{4}(a_{n}^2 [/mm] $ -6+  $ [mm] \bruch{9} {a_{n^2}}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} \cdot{}(a_{n} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{3} {a_{n}})^2 [/mm] >0


Nun zeige ich, daß [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}<1. [/mm]

Bew.: [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \cdot{}(1$ [/mm] + $ [mm] \bruch{3} {a_{n}^2}) [/mm] < [mm] \bruch{1}{2} \cdot{}(1$ [/mm] + $ [mm] \bruch{3}{3}) [/mm] =1

Und das war's auch schon.

Gruß v. Angela


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Konvergenz einer Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:30 Do 26.01.2012
Autor: kullinarisch

Hallo, ich wiederhole gerade auch die Konvergenz von rekursiven Folgen.
Eine Frage : Kann man die Beschränktheit nicht auch einfach auf folgende Weise zeigen?

[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(a_n+\bruch{3}{a_n})\ge\wurzel[]{a_n\bruch{3}{a_n}}=\wurzel[]{3} [/mm] damit ist [mm] (a_n) [/mm] nach unten durch [mm] \wurzel[]{3} [/mm] beschränkt. Dabei habe ich die AGM Ungleichung benutzt. Wäre das ausreichend?

Grüße, kulli

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Konvergenz einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:45 Do 26.01.2012
Autor: leduart

Hallo
wenn du genau hinsiehst ist angela's Beweis dasselbe, nur dass sie die Ungleichung zw geom und arith. Mittel direkt zeigt. die du wohl AGM nennst. (wieso erwartest du, dass jemand AGM versteht) für mich heisst dass Alle Guten Mathematiker
oder AG maschinenbau oder....
Gruss leduart

Bezug
                                                
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Konvergenz einer Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:17 Do 26.01.2012
Autor: kullinarisch

Ok zugegeben, genau habe ich wirklich nicht hingeschaut. Das ist komisch.. :-) Tut mir leid, habe gar nicht weiter drüber nachgedacht, AGM: Arithmetisch- Geometrisches Mittel

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