Konvergenz von Mengenfolgen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:53 Di 14.10.2014 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | | Zeige, dass jede monotone Folge von Mengen konvergiert. |
Hallo zusammen,
kann mir jemand einen tipp geben wie ich am besten anfangen kann, ich stehe total auf dem schlauch.
unter monotone folgen verstehe ich, dass z.B sei [mm] a_n [/mm] eine folge dann wäre bei monoton wachsend [mm] a_n \le a_n+1 [/mm] und bei monoton fallend [mm] a_n \ge a_n+1. [/mm] Wie ist es dann bei Mengenfolge?
Betrachten wir einfach mal eine menge [mm] X=\{1,2,3,4\} [/mm] mit Teilmengen [mm] A_1=\{1\}, A_2=\{1,2\},A_3=\{1,2,3\}. [/mm] wäre das eine monoton wachsende folge? da [mm] A_1 \subset A_2 \subset A_3?
[/mm]
ich kann mir leider nicht genau die konvergenz von mengenfolgen vorstellen, da für mich persönlich stelle bildlich gesehen als einen kreis in dem objekte drin stecken sei es Zahlen usw. diese kann man in Teilmengen "teilen", aber wie sollen diese gegen einen wert konvergieren.
ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen bzw. anhand eines bsp. erklären.
grüße,
knowhow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Di 14.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
> Hallo zusammen,
> kann mir jemand einen tipp geben wie ich am besten
> anfangen kann, ich stehe total auf dem schlauch.
> unter monotone folgen verstehe ich, dass z.B sei [mm]a_n[/mm] eine
> folge dann wäre bei monoton wachsend [mm]a_n \le a_n+1[/mm] und bei
> monoton fallend [mm]a_n \ge a_n+1.[/mm] Wie ist es dann bei
> Mengenfolge?
Analog, z.B. heißt [mm] $(A_n)_{n \in \IN}$ [/mm] monoton wachsend, wenn gilt: [mm] $A_n \subseteq A_{n+1} [/mm] \ [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN$.
[/mm]
> Betrachten wir einfach mal eine menge [mm]X=\{1,2,3,4\}[/mm] mit
> Teilmengen [mm]A_1=\{1\}, A_2=\{1,2\},A_3=\{1,2,3\}.[/mm] wäre das
> eine monoton wachsende folge? da [mm]A_1 \subset A_2 \subset A_3?[/mm]
>
> ich kann mir leider nicht genau die konvergenz von
> mengenfolgen vorstellen, da für mich persönlich stelle
> bildlich gesehen als einen kreis in dem objekte drin
> stecken sei es Zahlen usw. diese kann man in Teilmengen
> "teilen", aber wie sollen diese gegen einen wert
> konvergieren.
Betrachte z.B. eine (monotone) Mengenfolge, die durch [mm] $A_n=[-n,n]$, [/mm] $n [mm] \in \IN$, [/mm] gegeben ist. Intuitiv würde man doch erwarten, dass die Folge gegen [mm] $\IR$ [/mm] konvergiert, oder nicht?
Der Grenzwert ist jedenfalls wieder eine Menge, keine reelle Zahl.
Ich weiß nicht, wie ihr Konvergenz von Mengenfolgen definiert habt, aber ich vermute etwa so: Eine Mengenfolge [mm] $(A_n)$ [/mm] heißt konvergent, wenn [mm] $\limsup_{n\rightarrow \infty} A_n=\liminf_{n\rightarrow \infty} A_n$ [/mm] gilt.
Diese Mengengleichheit ist hier für monotone Folgen zu zeigen.
> ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen bzw. anhand eines
> bsp. erklären.
>
> grüße,
Liebe Grüße
> knowhow
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Di 14.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeige, dass jede monotone Folge von Mengen konvergiert.
> Hallo zusammen,
> kann mir jemand einen tipp geben wie ich am besten
> anfangen kann, ich stehe total auf dem schlauch.
> unter monotone folgen verstehe ich, dass z.B sei [mm]a_n[/mm] eine
> folge dann wäre bei monoton wachsend [mm]a_n \le a_n+1[/mm] und bei
> monoton fallend [mm]a_n \ge a_n+1.[/mm] Wie ist es dann bei
> Mengenfolge?
> Betrachten wir einfach mal eine menge [mm]X=\{1,2,3,4\}[/mm] mit
> Teilmengen [mm]A_1=\{1\}, A_2=\{1,2\},A_3=\{1,2,3\}.[/mm] wäre das
> eine monoton wachsende folge? da [mm]A_1 \subset A_2 \subset A_3?[/mm]
>
> ich kann mir leider nicht genau die konvergenz von
> mengenfolgen vorstellen, da für mich persönlich stelle
> bildlich gesehen als einen kreis in dem objekte drin
> stecken sei es Zahlen usw. diese kann man in Teilmengen
> "teilen", aber wie sollen diese gegen einen wert
> konvergieren.
>
> ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen bzw. anhand eines
> bsp. erklären.
ich greife einfach mal einen Teil von Andyvs Antwort auf: Es wäre gut
bzw. eigentlich ist es unerläßlich, dass Du uns mitteilst, welche Definition
ihr für den Grenzwert einer Folge von Mengen zur Verfügung gestellt
bekommen habt.
Und wenn Du dann den [mm] $\limsup$ [/mm] oder sowas mit verwendest: Auch dieser muss
definiert werden (da steht dann so ein großes Schnitt und ein Vereinigungssymbol,
genauer: ![[]](/images/popup.gif) klick(!)).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:42 Fr 17.10.2014 | | Autor: | knowhow |
hallo,
danke für eure antwort. also muss lim sup=lim inf gelten damit die folgemenge konvergiert. heißt das, dass ich zeigen muss dass [mm] limsup\subseteq [/mm] lim inf und
lim inf [mm] \subseteq [/mm] lim sup da wenn gleichheit immer zu zeigen ist die art des beweis gemacht wird. aber wie fange ich am besten an? kann mir jemand eine starthilfe geben. danke im voraus.
gruß,
knowhow
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:02 Fr 17.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> hallo,
> danke für eure antwort. also muss lim sup=lim inf gelten
> damit die folgemenge konvergiert. heißt das, dass ich
> zeigen muss dass [mm]limsup\subseteq[/mm] lim inf und
> lim inf [mm]\subseteq[/mm] lim sup da wenn gleichheit immer zu
> zeigen ist die art des beweis gemacht wird. aber wie fange
> ich am besten an? kann mir jemand eine starthilfe geben.
> danke im voraus.
>
Sei [mm] (A_n) [/mm] eine Folge von Mengen.
Du führst Dir nun als erstes die Definitionen von
[mm] \liminf_{n\rightarrow\infty} A_n
[/mm]
und
[mm] \limsup_{n\rightarrow\infty} A_n
[/mm]
zu Gemüte. Das ist immer hilfreich !
1. So, nun gelte [mm] A_1\subseteq A_2\subseteq \cdots. [/mm] Zeige dann:
[mm] \liminf_{n\rightarrow\infty} A_n= \bigcup_nA_n= \limsup_{n\rightarrow\infty} A_n
[/mm]
2. Gilt [mm] A_1\supseteq A_2\supseteq \cdots, [/mm] so zeige:
[mm] \liminf_{n\rightarrow\infty} A_n= \bigcap_nA_n= \limsup_{n\rightarrow\infty} A_n
[/mm]
FRED
> gruß,
> knowhow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 So 19.10.2014 | | Autor: | knowhow |
hallo,
ich habe mich mal heranversucht, aber irgendwie bekomme ich das nicht hin. es tut mr auch leid wenn ich mich so dumm stelle.
also was ich unter lim inf bzw. lim sup verstehe ist dass kleinster häufungspunkt bzw. größte HP.
und wir haben es folgend Def. [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} A_n:=\{x \in X: x \in A_n \mbox{ fuer unendl. viele n \in\IN\}} [/mm] heiß lim sup und [mm] \underline{\limes_{n\rightarrow\infty}}A_n:=\{x \in X: \mbox{Es ex. ein ein n_0 \in \IN}, \mbox{ so dass x \in A_n \mbox{fuer alle n\ge n_0}}\} [/mm] lim inf
ich habe dann so angefangen, dass ich x aus eine Menge X genommen hat,
dann sei x [mm] \in A_1 [/mm] da es gilt [mm] A_1 \subseteq A_2 \subseteq ....\subseteq A_n [/mm]
wenn ich den durschnitt betrachte [mm] \bigcap_{n=1}^{}A_n=A_1 [/mm] und somit auch x [mm] \in A_n. [/mm] Da es für unendl viele n gilt ex. doch ein [mm] n_0 [/mm] s.d x [mm] \in A_n [/mm] liegt damit ist lim inf [mm] A_n \subseteq [/mm] lim sup [mm] A_n
[/mm]
dass sieht mir etws falsch aus. kann mir da jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Mo 20.10.2014 | | Autor: | andyv |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
die Inklusion ist doch trivial, $\{n_0,n_0+1,\dots\}$ ist schließlich nicht endlich. Das hat auch nichts mit Monotonie der Folge zu tun.
Interessanter ist die andere Inklusion.
Wenn $x \in \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}A_n$, dann ist $x\in A_{n_0}}$ für ein $n_0 \in \IN$.
Wenn $(A_n)$ monoton steigend ist folgt $x \in A_n \ \forall n\ge n_0$, also $x \in \underline{\limes_{n\rightarrow\infty}}A_n $.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 So 19.10.2014 | | Autor: | abakus |
> hallo,
> danke für eure antwort. also muss lim sup=lim inf gelten
Hallo,
ob das wirklich MUSS, wissen wir nicht.
Es war eine Vermutung von andyv, dass das möglicherweise so bei euch definiert wurde.
Könntest du das erst einmal so bestätigen?
Gruß Abakus
> damit die folgemenge konvergiert. heißt das, dass ich
> zeigen muss dass [mm]limsup\subseteq[/mm] lim inf und
> lim inf [mm]\subseteq[/mm] lim sup da wenn gleichheit immer zu
> zeigen ist die art des beweis gemacht wird. aber wie fange
> ich am besten an? kann mir jemand eine starthilfe geben.
> danke im voraus.
>
> gruß,
> knowhow
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