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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz von Reihen
Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Konvergenz von Reihen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 05:53 Do 17.03.2016
Autor: Ciyoberti

 
Aufgabe
[mm] \sum_{k=0}^{ \infty} \frac{2^k}{5^{k+1}}= \sum_{k=0}^{ \infty} \frac{1}{5} \frac{2^k}{5^k}= \frac{1}{5} \frac{1}{1- \frac{2}{5}}=\frac{1}{3}[/mm]
 


wie kommt man auf diese Gleichung [mm]\sum_{k=0}^{ \infty} \frac{1}{5} \frac{2^k}{5^k}= \frac{1}{5} \frac{1}{1- \frac{2}{5}}[/mm]
 

        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:24 Do 17.03.2016
Autor: DieAcht

Hallo Ciyoberti!

Danke, uns (mir) geht es auch gut. ;-)


Tipp: Geometrische Reihe.


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:40 So 20.03.2016
Autor: Ciyoberti

Hallo an allem,
ich hoffe es geht euch allem gut.
Verstehe ich es richtig: Jeder Reihe der Form  [mm] \sum_{k=1}^{n} a q^{k-1}[/mm] ist geometrische Reihe. Die Partialsummen ist [mm] s_{n}= a \frac{1- q^n}{1-q}[/mm]
Wenn ich von der Reihe [mm] \sum_{k=0}^{ \infty} \frac{2^k}{5^{k+1}}= \sum_{k=0}^{ \infty} \frac{1}{5} \frac{2^k}{5^k}= \sum_{k=0}^{ \infty} \frac{1}{5} (\frac{2}{5})^k[/mm]​ mit [mm]a= \frac{1}{5}[/mm] und q= [mm] \frac{2}{5} [/mm] die Konvergenz untersuchen soll und falls vorhanden ist die Grenzwert bestimmen soll,
​was ist [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} s_{n} = \sum_{k=0}^{n} \frac{2^n}{5^{n+1}}= \frac{1}{5} \frac{1- ( \frac{2}{5})^n}{1- \frac{2}{5}}= \frac{1}{5} \frac{1}{ \frac{3}{5}}= \frac{1}{3}[/mm]
und was ist [mm]s= \lim_{n\rightarrow\infty} s_{n}= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1- q^n}{1-q} = \frac{1}{1-q} = \frac{1}{1- \frac{2}{5}} = \frac{5}{3}[/mm]

ich bedanke mich für ihre bemühungen im voraus vielen dank

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:34 So 20.03.2016
Autor: Thomas_Aut

Hallo,

> Hallo an allem,
>  ich hoffe es geht euch allem gut.
>  Verstehe ich es richtig: Jeder Reihe der Form 
> [mm]\sum_{k=1}^{n} a_{0} q^{k-1}[/mm] ist geometrische Reihe. Die
> Partialsummen ist [mm] s_{n}= a_{0} \frac{1- q^n}{1-q}[/mm]

1) du schreibst ohnedies eine endliche Reihe an ...

Eine geometrische Reihe, ist die Reihe einer Folge, die folgende spezielle Eigenschaft hat : der Quotient (q) zweier benachbarter Folgenglieder ist konstant.

[mm] $\sum_{k=0}^{\infty}a_{0} q^{k}$ [/mm]

Ist $|q|<1$ so konvergiert die Reihe und es gilt

[mm] $\sum_{k=0}^{\infty}a_{0} q^{k}= a_{0} \frac{1}{1-q}$ [/mm]

Du weißt sicher, dass eine Reihe konvergiert, falls die ihr zu Grunde liegende Folge zur Nullfolge wird - dies ist hier offensichtlich der Fall, da [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}a_{0} q^{k}=0$ [/mm] für $|q|<1$,oder  [mm] $a_{0}=0$ [/mm]

sonst ist die Reihe divergent.


Die Partialsummen lauten [mm] $s_{n} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n} a_{0} q^{k}$. [/mm]


>  Wenn ich
> von der Reihe [mm] \sum_{k=0}^{ \infty} \frac{2^k}{5^{k+1}}= \sum_{k=0}^{ \infty} \frac{1}{5} \frac{2^k}{5^k}= \sum_{k=0}^{ \infty} \frac{1}{5} (\frac{2}{5})^k[/mm]​
> mit [mm]a= \frac{1}{5}[/mm] und q= [mm]\frac{2}{5}[/mm] die Konvergenz
> untersuchen soll und falls vorhanden ist die Grenzwert
> bestimmen soll,
>  ​was ist [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} s_{n} = \sum_{k=0}^{n} \frac{2^n}{5^{n+1}}= \frac{1}{5} \frac{1- ( \frac{2}{5})^n}{1- \frac{2}{5}}= \frac{1}{5} \frac{1}{ \frac{3}{5}}= \frac{1}{3}[/mm]
>  
> und was ist [mm]s= \lim_{n\rightarrow\infty} s_{n}= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1- q^n}{1-q} = \frac{1}{1-q} = \frac{1}{1- \frac{2}{5}} = \frac{5}{3}[/mm]
>  

Beides ist der Wert der Reihe - mit dem Unterschied, dass du [mm] \frac{1}{5} [/mm] unten vergessen hast.

> ich bedanke mich für ihre bemühungen im voraus vielen
> dank

LG

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:46 So 20.03.2016
Autor: tobit09

Hallo Thomas_Aut!


> Du weißt sicher, dass eine Reihe konvergiert, falls die
> ihr zu Grunde liegende Folge zur Nullfolge wird

Möglicherweise verstehe ich die von dir beabsichtigte Aussage falsch.
Sicherheitshalber:

Ist [mm] $(a_k)_{k\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge, so muss die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] noch lange nicht konvergieren, wie das Beispiel der harmonischen Reihe zeigt.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:05 So 20.03.2016
Autor: Ciyoberti

Hallo Thomas Aut,
Ich habe nichts vergessen. [mm]s= \lim_{n\rightarrow\infty} s_{n}= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1- q^n}{1-q} = \frac{1}{1-q}[/mm] steht genau so in mein Lerneinheit geschrieben. Und "s" muss doch die Grenzwert sein oder nicht. ?

Vielen Dank.



 

Bezug
                                        
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Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 So 20.03.2016
Autor: fred97


> Hallo Thomas Aut,
>  Ich habe nichts vergessen. [mm]s= \lim_{n\rightarrow\infty} s_{n}= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1- q^n}{1-q} = \frac{1}{1-q}[/mm] steht
> genau so in mein Lerneinheit geschrieben. Und "s" muss doch
> die Grenzwert sein oder nicht.

ja, alles korrekt

Fred


>  
> Vielen Dank.
>  
>
>
>  


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