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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenzkriterien für Reihen
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Konvergenzkriterien für Reihen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:19 Do 27.11.2014
Autor: arraneo

Hallo zusammen !

Meine Aufgabe ist einige Reihen auf Konvergenz zu prüfen und bei einigen habe ich schon ein paar Probleme und weiß nicht wie ich voran kommen könnte.

i)  [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}} [/mm]

hier ist die Frage ob das Quetientenkriterium hilft? denn ich komme gar nicht weiter und vielleicht gibt es da einen anderen Weg... ?

also, es heißt bei mir:

[mm] \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\wurzel{n+2}-\wurzel{n+1}}{\wurzel{n+1}}\frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}=\frac{\wurzel{n(n+2)}-\wurzel{n(n+1}}{n+1-\wurzel{n(n+1)}}=\frac{[(n+1)+\wurzel{n(n+1)}][\wurzel{n(n+2)}-\wurzel{n(n+1)}]}{(n+1)^2-n(n+1)} [/mm]

Nach der Ausmultiplizieren erhalte ich dann :

[mm] \frac{(n+1)[\wurzel{n}(\wurzel{n+2}-\wurzel{n+1})-n] +n\wurzel{(n+1)(n+2)}}{n+1} [/mm]

Hätte jemanden bitte eine Idee wie ich hier weiter komme , oder wenn es einen anderen Weg gäbe, bitte mir das empfehlen :)

vielen Dank !

arraneo

        
Bezug
Konvergenzkriterien für Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Do 27.11.2014
Autor: fred97

Mit dem Quotientenkriterium kommst Du zu keiner Entscheidung



Sei [mm] a_n:=\frac{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}} [/mm]

Erweitere mit [mm] \wurzel{n+1}+\wurzel{n} [/mm]  und Du bekommst

[mm] a_n=\frac{1}{\wurzel{n^2+n}+n} [/mm]

Weiter ist [mm] n^2+n \le n^2+3n^2=4n^2 [/mm]

Hilft das ?

FRED

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Konvergenzkriterien für Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 Do 27.11.2014
Autor: arraneo

Hey Fred!

Danke , JA, das hilft. Also dann wäre das die Geometrische Reihe mal 1/4 , die abs. konvergiert und Majorant für meine Reihe wäre :D

super !

Ich hätte leider noch ein paar Reihen, die ich nicht 'auf die Reihe' kriege :)

iii) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} n^3x^n [/mm] , wobei |x|< 1 ist.

wo ich wieder QK ausprobiert habe und komme auf:

[mm] Q:=\frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{(n+1)^3x}{n^3} \le \frac{(n+n)^3x}{n^3}=8x [/mm]

Sei also x:= [mm] \frac{1}{y} [/mm] mit [mm] y\in [/mm] Z , dann damit [mm] Q\le\theta<1 [/mm] stimmt, muss y>8 sein, was mir aber wenig bringt..

Ich kann aber leider keinen besseren Majorant finden, irgendwie.. :(

danke !

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Konvergenzkriterien für Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Do 27.11.2014
Autor: leduart

Hallo
ich seh da keine geometrische Reihe, wie kommst du daraufß mach mal die Abschätzung für das Ganze gertig!
beim nächsten würde ich das Wurzlkriterium, bzw, den Konvergenzradius über die nte Wurzel bestimmen.
Gruß leduart

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Konvergenzkriterien für Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:17 Do 27.11.2014
Autor: arraneo

achso ja, danke!

Also bei der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}} [/mm] :

Sei [mm] a_n:= \frac{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}} [/mm] , die wir dann wie Fred meinte durch : [mm] \wurzel{n+1}+\wurzel{n} [/mm] erweitern und somit erhalten:

[mm] a_n=\frac{1}{\wurzel{n^2+n}+n} [/mm]

Weiterhin gilt aber:

[mm] n^2+n\le n^2+3n^2=4n^2 [/mm]  . Sei also [mm] b_n:= \frac{1}{4n^2} [/mm]

Da die Reihe [mm] :\summe_{n=1}^{\infty}b_n= \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^2}=\frac{1}{4} \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} [/mm] = [mm] \frac{1}{4} \frac{\pi^2}{6}=\frac{\pi^2}{24} [/mm] offensichtlich konvergiert und es gilt:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n \le \summe_{n=1}^{\infty} b_n [/mm] ,

konvergiert nach dem Majorantenkriterum auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n. [/mm]  

:)

Bezug
                                        
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Konvergenzkriterien für Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:22 Do 27.11.2014
Autor: fred97


> achso ja, danke!
>
> Also bei der Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}}[/mm]
> :
>
> Sei [mm]a_n:= \frac{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}}[/mm] , die
> wir dann wie Fred meinte durch : [mm]\wurzel{n+1}+\wurzel{n}[/mm]
> erweitern und somit erhalten:
>
> [mm]a_n=\frac{1}{\wurzel{n^2+n}+n}[/mm]
>
> Weiterhin gilt aber:
>
> [mm]n^2+n\le n^2+3n^2=4n^2[/mm]  . Sei also [mm]b_n:= \frac{1}{4n^2}[/mm]
>  
> Da die Reihe [mm]:\summe_{n=1}^{\infty}b_n= \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^2}=\frac{1}{4} \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}[/mm]
> = [mm]\frac{1}{4} \frac{\pi^2}{6}=\frac{\pi^2}{24}[/mm]
> offensichtlich konvergiert und es gilt:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n \le \summe_{n=1}^{\infty} b_n[/mm] ,
>
> konvergiert nach dem Majorantenkriterum auch
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n.[/mm]  
>
> :)


Nein. Das hast Du gründlich vergeigt ! Mit meinen Tipps:

[mm] a_n \ge \bruch{1}{2n} [/mm]

FRED

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Konvergenzkriterien für Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:43 Do 27.11.2014
Autor: arraneo

achso das stimmt, denn die umgekehrte Ungleichung hilft dann gar nicht, also ich verstehe deine Tipps nicht :(

wie soll mir jetzt dieses : [mm] a_n\ge [/mm] 1/2n helfen? ich bräuchte doch was größeres als [mm] a_n, [/mm] was konvergiert , nicht umgekehrt, oder?

danke,
arraneo


Bezug
                                                        
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Konvergenzkriterien für Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:57 Do 27.11.2014
Autor: fred97


> achso das stimmt, denn die umgekehrte Ungleichung hilft
> dann gar nicht, also ich verstehe deine Tipps nicht :(
>
> wie soll mir jetzt dieses : [mm]a_n\ge[/mm] 1/2n helfen? ich
> bräuchte doch was größeres als [mm]a_n,[/mm] was konvergiert ,
> nicht umgekehrt, oder?

Offenbar willst Du auf Biegen und Brechen, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] konvergiert.

Man mag es bedauern und Du kannst im Handstand La Paloma pupsen, aber es hilft nicht:

die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] divergiert.

Denn [mm] a_n \ge \bruch{1}{2n} [/mm] und  [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n} [/mm] ist divergent.

FRED

>
> danke,
>  arraneo
>  


Bezug
                                                                
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Konvergenzkriterien für Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:04 Do 27.11.2014
Autor: arraneo

HAHAHHAHA !!! genial..

alles klar, keine Ahnung wie ich das nicht von vorne rein gesehen hab !!

danke Dir !

LG,

arraneo

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