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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Koordinatenbestimmung des Seitenmittelpunktes
Koordinatenbestimmung des Seitenmittelpunktes < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Koordinatenbestimmung des Seitenmittelpunktes: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:53 Fr 27.02.2004
Autor: Monthy

ZU meiner zu lösenden Aufgabe:

Gegeben sei das Dreieck ABC

a (-1/-2)
b (4/-1)
c (1,5/3)

ok, das konstruieren ist nicht das Problem. Auch nicht das bestimmen der 3 Funktionstherme für die drei Dreiecksseiten.
Aber ich stehe leider total auf dem Schlauch bei Frage c,e,f und g

Frage c: Bestimmen Sie die Koordinaten der Seitenmittelpunkte (zeichnerisch oder rechnerische?...ich hab keine Ahnung

Frage e: Geben Sie die Gleichungen der Mittelsenkrechten des Dreieckes an.

Frage f: Bestimmen Sie die Schnittpunkte aller Mittelsenkrechten.

Frage g: Bestimmen Sie den Abstand des Schnittpunktes der Mittelsenkrechten von den Eckpunkten.

Ich muß dazu sagen, dass ich "Wiedereinsteiger" nach 10 Jahren Berufsleben bin, der nun sein Abi nachholen möchte...leider ist Mathe eins der Fächer, wo ich merh oder minder saublöd bin.

Wenn mir jemand einen Lösungsansatz geben könnte, wäre ich sehr erfreut.

Für viele mag diese Aufgabestellung kinderleicht sein, mir ist sie zur Zeit ein echtes Rätsel.

Danke,

Ralf


        
Bezug
Koordinatenbestimmung des Seitenmittelpunktes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:25 Fr 27.02.2004
Autor: Marc

Hallo Monthy,

schön, dass du es doch noch geschafft hast, trotz der Probleme mit der eMail-Adresse. Herzlich willkommen also im MatheRaum :-)!

Übrigens haben dir in diesem []Forum auch bereits einige Leute geantwortet.

> ok, das konstruieren ist nicht das Problem. Auch nicht das
> bestimmen der 3 Funktionstherme für die drei
> Dreiecksseiten.

Wie lauten denn deine Funktionsterme?

>  Aber ich stehe leider total auf dem Schlauch bei Frage
> c,e,f und g
>  
> Frage c: Bestimmen Sie die Koordinaten der
> Seitenmittelpunkte (zeichnerisch oder rechnerische?...ich
> hab keine Ahnung

Hier ist der rechnerische Weg gemeint, würde ich sagen, jedenfalls würde das zu den weiteren Aufgabenstellungen  passen.

Dafür gibt es eine einfache Formel. Der Punkt $M$, der die Mitte der Strecke [mm] $\overline{AB}$ ($A=(a_1|a_2)$ [/mm] und [mm] $B=(b_1|b_2)$) [/mm] bildet, hat die Koordinaten
[mm] $$M\left(\bruch{a_1+b_1}{2}+\bruch{a_2+b_2}{2}\right)$$ [/mm]
also einfach das arithmetische Mittel der x- und y-Koordinate.
  

> Frage e: Geben Sie die Gleichungen der Mittelsenkrechten
> des Dreieckes an.

Die Mittelsenkrechte ist eine Gerade und hat somit die Form $y=m*x+b$.
Die Steigung ist wieder mit einer einfachen Formel zu berechnen, denn für die Steigungen [mm] $m_1$,$m_2$ [/mm] zweier orthogonaler (=zueinander senkrecht) Funktionen gilt:
[mm] $$m_1*m_2=-1$$ [/mm]
Diese Senkrechte wird zur Mittelsenkrechten dadurch, dass sie durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft (den du oben bei c) berechnet hast. Mit diesem Wissen ist der Achsenabschnitt $b$ der Mittelsenkrechten zu berechnen (durch Einsetzen der Koordinaten des Mittelpunktes)

> Frage f: Bestimmen Sie die Schnittpunkte aller
> Mittelsenkrechten.

Jetzt, da du die Mittelsenkrechten kennst, ist das doch kein Problem mehr, oder?
Gleichsetzen, nach x auflösen...
  

> Frage g: Bestimmen Sie den Abstand des Schnittpunktes der
> Mittelsenkrechten von den Eckpunkten.

Auch dafür gibt es eine Formel, für den Abstand $d$ zweier Punkte [mm] $A(a_1|a_2)$ [/mm] und [mm] $B(b_1|b_2)$ [/mm] gilt nämlich nach dem Satz des Pythagoras:
[mm] $$d=\wurzel{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2}$$ [/mm]

Bitte melde dich mit deinen Ergebnissen oder auch weiteren Fragen, wir stehen dir bis zur Lösung bei ;-)
  

> Ich muß dazu sagen, dass ich "Wiedereinsteiger" nach 10
> Jahren Berufsleben bin, der nun sein Abi nachholen
> möchte...leider ist Mathe eins der Fächer, wo ich merh oder
> minder saublöd bin.

Gerade bei dieser Aufgabe muss man ja (bzw. wird vom Aufgabensteller erwartet), dass man nur fertige Formeln anwendet. Gut, du hättest dir die Formeln auch selbst überlegen können, aber dann wären es nicht so viele Aufgabenteile ;-)

Viel Erfolg,
Marc.

Bezug
                
Bezug
Koordinatenbestimmung des Seitenmittelpunktes: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:58 Fr 27.02.2004
Autor: Monthy

Ich danke dir wie verrückt Marc!!!

Sehr ausführlich und selbst für mich mich Mathe-VD (Volldepp) verständlich.
In dem anderen Forum habe ich mich ebenfalls schon bedankt. Ich habe ehrlich nicht mit einer soo schnellen Reaktion auf meine Frage gerechnet.

Und ich bin sooooo schlecht...TERM mit H zu schreiben, ist eigentlich schon strafbar...;)

Ich werde meine Ergebnisse dann hier mal posten und warscheinlich noch öfter mit der einen oder anderen Frage zu euch kommen, wenn es euch nicht allzu sehr stört.

Einstweilen ein schönes WE allen und bis bald,

Ralf

Bezug
                        
Bezug
Koordinatenbestimmung des Seitenmittelpunktes: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:05 Fr 27.02.2004
Autor: Marc

Hallo Monthy,

> Ich danke dir wie verrückt Marc!!!

Gern geschehen, so macht der MatheRaum Sinn :-)

> Sehr ausführlich und selbst für mich mich Mathe-VD
> (Volldepp) verständlich.
>  In dem anderen Forum habe ich mich ebenfalls schon
> bedankt. Ich habe ehrlich nicht mit einer soo schnellen
> Reaktion auf meine Frage gerechnet.
>  
> Und ich bin sooooo schlecht...TERM mit H zu schreiben, ist
> eigentlich schon strafbar...;)

Kann passieren ;-), ist aber doch nicht schlimm, ist doch klar, dass man bei diesem Wetter auch an heiße Therme denkt...

> Ich werde meine Ergebnisse dann hier mal posten und
> warscheinlich noch öfter mit der einen oder anderen Frage
> zu euch kommen, wenn es euch nicht allzu sehr stört.

Ich hoffe nicht, dass hier der Eindruck erweckt wird, dass das hier stören könnte -- wir wollen doch gerade (uns untereinander) helfen!

Bis hoffentlich bald,
Marc.

Bezug
                                
Bezug
Koordinatenbestimmung des Seitenmittelpunktes: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:50 So 29.02.2004
Autor: Monthy

ok...danke euch (dir) hab ich es nun selbst in meinen dummen Kopf bekommen.

Also hier mal die Ergebnisse von mir.

Funktion der Dreicksseite
AB   y=0,2*x - 1,7
BC   y= -1,6*x +5,4
AC   y= 2*x+0

Seitenmittelpunkte:

AB   (1,5/-1,5)
BC   (2,75/1)
AC   (0,25/0,5)



Funktion der Mittelsenkrechten:

AB   y= -5*x+6
BC   y= 0,625*x-0,719
AC   y= -0,5*x+0,625

Schnittpunkt der Mittelsenkrechten im Dreieck:

x=1,195
y=0,028 (3 Stellen nach dem KOmma abgerundet)


Abstand der Mittelsenkrechten von den Eckpunkten:
AB   2,55cm
BC   2,35cm
AC   2,79cm

ich hoffe, ich hab nix vergessen.

Also, nochmals vielen lieben Dank von mir und bis zur nächsten Frage:)

Ralf

Bezug
                                        
Bezug
Koordinatenbestimmung des Seitenmittelpunktes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:41 So 29.02.2004
Autor: Marc

Hallo Monthy,

könntest du uns noch die drei fehlenden Teilaufgaben (a, b und d) dieser Aufgabe senden, dann kann ich diese nämlich als komplette Aufgabe in unsere Aufgabendatenbank stellen. Dankeschön!

Die drei Eckpunkte hatten die Koordinaten
A (-1|-2)
B (4|-1)
C (1,5|3)

Zur Kontrolle habe ich mal die Situation (und die später erst in diesem Beitrag errechneten Ergebnisse) von []FunkyPlot zeichnen lassen:

[Dateianhang nicht öffentlich]



ad a) oder b)

Funktionsgleichungen der Dreiecksseiten:
Seite $a$: [mm] $g_a: y=m_a*x+b_a$ [/mm]
[mm] $g_a$ [/mm] verläuft durch die beiden Eckpunkte $B$ und $C$, es gilt deswegen für die Steigung: [mm] $m_a=\bruch{3-(-1)}{1,5-4}=\bruch{4}{-2,5}=-\bruch{8}{5}\;\;(=-0{,}4)$ [/mm]

Hier hast du ein anderes Ergebnis raus.

Nun setze ich einen der beiden Punkte in die Geradengleichung ein, um den Achsenabschnitt [mm] $b_a$ [/mm] zu bestimmen:
[mm] $y=m_a*x+b_a\;\gdw\;-1=-\bruch{8}{5}*4+b_a\;\gdw\;b_a=-1+\bruch{32}{5}=\bruch{27}{5}$ [/mm]

Die Geradengleichung lautet also:
Seite $a$: [mm] $\blue{g_a: y=-\bruch{8}{5}*x+\bruch{27}{5}}$ [/mm]

Seite $b$: [mm] $g_b: y=m_b*x+b_b$ [/mm]
[mm] $g_b$ [/mm] verläuft durch die beiden Eckpunkte $A$ und $C$, es gilt deswegen für die Steigung: [mm] $m_b=\bruch{3-(-2)}{1,5-(-1)}=\bruch{5}{2,5}=2$ [/mm]
[mm] $y=m_b*x+b_b\;\gdw\;-2=2*(-1)+b_b\;\gdw\;b_b=-2+2=0$ [/mm]
Seite $b$: [mm] $\blue{g_b: y=2*x}$ [/mm]

Seite $c$: [mm] $g_c: y=m_c*x+b_c$ [/mm]
[mm] $g_c$ [/mm] verläuft durch die beiden Eckpunkte $A$ und $B$, es gilt deswegen für die Steigung: [mm] $m_c=\bruch{-1-(-2)}{4-(-1)}=\bruch{1}{5}\;\;(=0{,}2)$ [/mm]
[mm] $y=m_c*x+b_c\;\gdw\;-1=\bruch{1}{5}*4+b_c\;\gdw\;b_c=-1-\bruch{4}{5}=-\bruch{9}{5}$ [/mm]
Seite $c$: [mm] $\blue{g_c: y=\bruch{1}{5}*x-\bruch{9}{5}}$ [/mm]



ad c)
Die Seitenmittelpunkte lauten:
[mm] $M_c=\left( \bruch{-1+4}{2} | \bruch{-2-1}{2} \right)=\left( \bruch{3}{2} | \bruch{-3}{2} \right)$ [/mm]

[mm] $M_a=\left( \bruch{4+1,5}{2} | \bruch{-1+3}{2} \right)=\left( \bruch{5,5}{2} | \bruch{2}{2} \right)=\left( \bruch{11}{4} | 1 \right)$ [/mm]

[mm] $M_b=\left( \bruch{1,5-1}{2} | \bruch{3-2}{2} \right)=\left( \bruch{0,5}{2} | \bruch{1}{2} \right)=\left( \bruch{1}{4} | \bruch{1}{2} \right)$ [/mm]

Unsere Ergebnisse stimmen also überein.



ad e)
Für die Steigungen [mm] $m_1,m_2$ [/mm] zweier zueinander senkrechter Geraden gilt ja [mm] $m_1*m_2=-1$. [/mm]
Die Steigungen der Mittelsenkrechten bezeichne ich mit [mm] $n_a,n_b,n_c$. [/mm]
Für sie gilt dann:
[mm] $n_a*m_a=-1\gdw n_a=-1/m_a=-1/-\bruch{8}{5}=\bruch{5}{8}$ [/mm]
[mm] $n_b*m_b=-1\gdw n_b=-1/m_b=-1/2=-\bruch{1}{2}$ [/mm]
[mm] $n_c*m_c=-1\gdw n_c=-1/m_c=-1/\bruch{1}{5}=-5$ [/mm]

Deine Steigungen der Mittelsenkrechten stimmen überraschenderweise mit meinen überein, obwohl deine Steigung [mm] $m_a$ [/mm] von meiner abweicht.

Für die Geradengleichungen gilt --wie oben-- durch Einsetzen der Koordinaten der Seitenmittelpunkte wieder:
[mm] $m_a$: $y=n_a*x+b\gdw 1=\bruch{5}{8}*\bruch{11}{4}+b\gdw b=1-\bruch{55}{32}=-\bruch{23}{32}$ [/mm]
[mm] $\blue{m_a: y=\bruch{5}{8}*x-\bruch{23}{32}}$ [/mm]

[mm] $m_b$: $y=n_b*x+b\gdw \bruch{1}{2}=-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{4}+b\gdw b=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{8}=\bruch{5}{8}$ [/mm]
[mm] $\blue{m_b: y=-\bruch{1}{2}*y+\bruch{5}{8}}$ [/mm]

[mm] $m_c$: $y=n_c*x+b\gdw -\bruch{3}{2}=-5*\bruch{3}{2}+b\gdw b=-\bruch{3}{2}+\bruch{15}{2}=6$ [/mm]
[mm] $\blue{m_c: y=-5*x+6}$ [/mm]

Auch hier stimmen unsere Ergebnisse überein.



ad f)
Der Schnittpunkt sieht auch gut aus, ich habe ihn faulerweise in der Skizze oben abgelesen. Korrekt wäre an dieser Stelle natürlich ein Schnittansatz der Mittelsenkrechtengleichungen (der nachgeliefert wird, wenn diese Aufgabe in die Datenbank gestellt wird.)



ad g)

Deine Angaben verstehe ich nicht ganz. Die Abstände der Mittelsenkrechten von den Exckpunkten war doch hier gar nicht zu berechnen, sondern der Abstand des Schnittpunktes der Mittelsenkrechten zu den drei Eckpunkten. Da müßte ein überraschendes Ergebnis herauskommen, jedenfalls begründet dieses Ergebnis den Satz, dass alle drei Eckpunkte eines Dreieckes auf einem Kreis, dem Umkreis liegen.

Alles Gute,
Marc

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                
Bezug
Koordinatenbestimmung des Seitenmittelpunktes: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:31 So 29.02.2004
Autor: Monthy

@ marc,

wieder vielen Dank für dein schnelles und umfassendes antworten.

Ich denke, du hast Recht in Bezug auf Frage g, da werde ich wohl nachbessern müssen...
Letztendlich habe ich ja mit den Schnittpunkten aller Mittelsenkrechten den Mittelpunkt des Dreiecks herausbekommen. Also liegen alle Aussenpunkte des Dreiecks (A,B,C) auf dem Kreis an sich und ich müßte nur noch den Radius berechnen..


Die kompletten Aufgaben werde ich bald abschreiben und veröfffentlichen.

Leider habe ich trotz alle dem schon wieder eine Frage :(



Ich soll ein Gleichungssystem lösen. Das an sich wäre nicht das Problem, wenn es 2 lineare Gleichungen wären, aber leider ist es eine quadratische und eine lineare.

f(x)= 2x²+4x-1
g(x)= 0,5x+6,5


Nun würde ich Laie das so machen:

2x²+4x-1=0,5x+6,5

4x+4x-1=0,5x+6,5
8x-1=0,5x+6,5 |-0,5x|+1
7,5x=7,5 |/7,5
x=1

dieses Ergebnis eingesetzt in die Ausgangsgleichungen ergibt ja ein identisches Ergebnis,
also X=1

Funktion 1 ist eine gedehnte und verschobene Parabel, Funktion 2 eine einfach gerade, die monoton steigend ist.

Leider bringt mir dieses Ergebnis nichts, ergo muß ich mich ja verrechnet haben oder mein Denkansatz ist schon komplett falsch.
Ich hoffe, jemand leuchtet mir den Weg,

Ralf




Bezug
                                                        
Bezug
Koordinatenbestimmung des Seitenmittelpunktes: Schnitt Parabel/Gerade (war: Koordinatenbestimmung des Seitenmittelpunktes)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:54 So 29.02.2004
Autor: Marc

Hallo Monthy,

>  
> Ich denke, du hast Recht in Bezug auf Frage g, da werde ich
> wohl nachbessern müssen...
>  Letztendlich habe ich ja mit den Schnittpunkten aller
> Mittelsenkrechten den Mittelpunkt des Dreiecks
> herausbekommen. Also liegen alle Aussenpunkte des Dreiecks
> (A,B,C) auf dem Kreis an sich und ich müßte nur noch den
> Radius berechnen..

Ja, genau, der Radius ist der Abstand [Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten] und [ein Eckpunkt].

> Die kompletten Aufgaben werde ich bald abschreiben und
> veröfffentlichen.

Cool, danke.

> Leider habe ich trotz alle dem schon wieder eine Frage :(

Das nächste Mal poste neue Fragen bitte in einen neuen Diskussionsstrang, so bleibt das Forum etwas übersichtlicher.

> Ich soll ein Gleichungssystem lösen. Das an sich wäre nicht
> das Problem, wenn es 2 lineare Gleichungen wären, aber
> leider ist es eine quadratische und eine lineare.
>  
> f(x)= 2x²+4x-1
>  g(x)= 0,5x+6,5
>  
>
> Nun würde ich Laie das so machen:
>  
> 2x²+4x-1=0,5x+6,5
>  
> 4x+4x-1=0,5x+6,5

Wie kommst du denn auf das erste "4x"? Hast du etwa gedacht, 2x² wäre gleich 4x? Gegenbeispiel: x=1: => 2x²=2*1²=2*1=2, aber 4x=4*1=4.

>  8x-1=0,5x+6,5 |-0,5x|+1
>  7,5x=7,5 |/7,5
>  x=1
>  
> dieses Ergebnis eingesetzt in die Ausgangsgleichungen
> ergibt ja ein identisches Ergebnis,
>  also X=1
>  
> Funktion 1 ist eine gedehnte und verschobene Parabel,
> Funktion 2 eine einfach gerade, die monoton steigend ist.
>  
> Leider bringt mir dieses Ergebnis nichts, ergo muß ich mich
> ja verrechnet haben oder mein Denkansatz ist schon komplett
> falsch.
>  Ich hoffe, jemand leuchtet mir den Weg,

Dein Schnittansatz war schon nicht schlecht:
2x²+4x-1=0,5x+6,5

Diese Gleichung kann nun auf eine allgemeine quadratische Form gebracht werden: [mm] $a*x^2+b*x+c=0$ [/mm] oder sogar auf die normierte Form [mm] $x^2+p*x+q=0$ [/mm] (normiert wegen der unsichtbaren "1" vor [mm] $x^2$). [/mm]

Für die normierte Form gibt es eine fertige Lösungsformel, die p/q-Formel. Dort muß man nur noch p und q einsetzen und die Formel berechnet sofort die Lösungen der Gleichungen. Alternativ dazu könnte man bei der ersten oder zweiten Form eine quadratische Ergänzung durchführen.

Aber bringen wir die Gleichung erstmal auf eine der beiden Formen, ich wähle die normierte Form [mm] $x^2+p*x+q=0$: [/mm]

[mm] $2x^2+4x-1=0,5x+6,5\;\;\;\;|-0,5x-6,5$ [/mm]
[mm] $\gdw 2x^2+4x-0,5x-1-6,5=0$ [/mm]
[mm] $\gdw 2x^2+3,5x-7,5=0$ [/mm]
[mm] $\gdw x^2+1,75x-3,75=0$ [/mm]

Die p/q-Formel lautet nun:

[mm] $x_{1,2}=-\bruch{p}{2}\pm\sqrt{\left(\bruch{p}{2}\right)^2-q}$ [/mm]

p=1,75 und q=-3,75 einsetzen:

[mm] $x_{1,2}=-\bruch{1,75}{2}\pm\sqrt{\left(\bruch{1,75}{2}\right)^2+3,75}=-0,875\pm [/mm] 2,125$
[mm] $\Rightarrow x_1=-0,875-2,125=-3$ [/mm] und [mm] $x_2=-0,875+2,125=1,25$ [/mm]

Nach Möglichkeit würde ich aber versuchen, mit Brüchen zu rechnen, da dies 1. einfacher ist ;-) und 2. exakte Ergebnisse liefert. Aber du scheinst kein Freund von Brüchen zu sein, oder?

Zur Sicherheit mache ich die Probe:
[mm] $2x_1^2+4x_1-1=2(-3)^2+4*(-3)-1=18-12-1=5$ [/mm] und [mm] $0,5x_1+6,5=0,5*(-3)+6,5=5$ [/mm] [ok]
[mm] $2x_2^2+4x_2-1=2*1{,}25^2+4*1{,}25-1=3,125+5-1=7,125$ [/mm] und [mm] $0,5x_2+6,5=0,5*1,25+6,5=7,125$ [/mm] [ok]

Die Parabel und die Gerade schneiden sich also in zwei Punkten [mm] $S_1(-3|5)$ [/mm] und [mm] $S_2(1,25|7,125)$ [/mm]

Alles Gute,
Marc

Bezug
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