www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Algebraische Geometrie" - Kreisspiegelung/-Translation
Kreisspiegelung/-Translation < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebraische Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Kreisspiegelung/-Translation: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:39 Do 02.01.2014
Autor: MacMac512

Aufgabe
Gegeben seien zwei Tripel [mm] \{z_1,z_2,z_3\} [/mm] sowie [mm] \{w_1,w_2,w_3\} [/mm] verschiedener Punkte aus [mm] \hat{\mathbb{C}} [/mm] := [mm] \mathbb{C} \cup \infty [/mm] . Dann existiert genau eine gebrochen lineare Funktion L : [mm] \hat{\mathbb{C}} \rightarrow \hat{\mathbb{C}} [/mm] mit [mm] L(z_i)=w_i. [/mm]



[mm] \textbf{Beweis.} [/mm]
Die gebrochen lineare Funktion $L(z) =  [mm] \frac{z-z_1}{z-z_2} \cdot \frac{z_3 - z_2}{z_3 - z_1}$ [/mm] bildet das Tripel [mm] \{z_1,z_2,z_3\} [/mm] auf [mm] \{0,\infty,1\} [/mm] ab. Damit kann jedes Tripel verschiedener Punkte aus  [mm] \hat{\mathbb{C}} [/mm] unter der Wirkung von $PSL(2, [mm] \hat{\mathbb{C}})$ [/mm] auf das Tripel [mm] \{0, \infty, 1\} [/mm] abgebildet werden, also zwei Tripel auch aufeinander.

Die behauptete Eindeutigkeit ergibt sich aus folgender Überlegung:

Sei L eine gebrochen lineare Funktion mit $L(0)=0, [mm] L(\infty)=\infty$ [/mm] und $L(1)=1$. In der Darstellung von $L$ mittels der Matrix bestehend aus den Zahlen a,b,c,d folgt sofort, dass dann b=c=0 und a=d gilt. Damit ist $L=id$ die Identität.


Literatur: Elementargeometrie, Agricola & Fischer, Fachwissen für Studium und Mathematikunterricht, 2011, Seite: 48f

Hallo,

ich soll oben genannten Satz beweisen, dabei habe ich die gebrochen lineare Funktion $L(z) = [mm] $\frac{z-z_1}{z-z_2} \cdot \frac{z_3 - z_2}{z_3 - z_1} [/mm] gegeben, die das Tripel [mm] \{z_1,z_2,z_3\} [/mm] auf [mm] \{0,\infty,1\} [/mm] abbildet.

Die Gruppe $PSL(2,  [mm] \hat{\mathbb{C}})$ [/mm] ist definiert als $SL(2, [mm] \hat{\mathbb{C}})/\{\pm 1_2\}$. [/mm] Die Gruppe wird von Verknüpfungen von zwei Kreisspiegelungen erzeugt. Die gebrochen lineare Funktion $L$ ist damit eine Abbildung zwischen verallgemeinerten Kreisen, die soweit ich das inzwischen verstanden habe, entweder Kreise oder auch Geraden sein können.

Die obige Aufgabe ist doch nur ein "Spezialfall" der $PSL(2, [mm] \hat{\mathbb{C}})$ [/mm] bzw. eine genauere Betrachtung, oder?

Mir fehlt momentan der Ansatz wie ich von einem Tripel [mm] \{z_1,z_2,z_3\} [/mm] zu dem Tripel [mm] \{0,\infty,1\} [/mm] komme. Dass $L$ die identische Abbildung ist sieht man ja auch daran, dass eben [mm] $0,1,\infty$ [/mm] durch $L$ auf sich selbst abgebildet werden.

Die im Beweis genannte Matrix, habe ich mir als 2 [mm] \times [/mm] 2 - Matrix überlegt mit den jeweiligen Eintragen a,b,c,d also:
[mm] A=\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} [/mm]


wenn dabei $b=c=0$ gilt, und $a=d$ habe ich ja ein Vielfaches der Einheitsmatrix und somit logischerweise die Identität. Kann ich das einfach aus der Tatsache folgern, dass $L(0)=0, [mm] L(\infty)=\infty$ [/mm] und $L(1)=1$ gilt?

Obwohl ich jetzt doch schon ein paar Semester hinter mir habe, komme ich mir vor wie ein Erstsemester.
Ich hoffe, jemand von euch kann mir eine "Machete für mein intellektuelles Dickicht leihen". ^^

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Vielen Dank schonmal im Voraus für eure Mühe. :)

        
Bezug
Kreisspiegelung/-Translation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 Do 02.01.2014
Autor: hippias


> Gegeben seien zwei Tripel [mm]\{z_1,z_2,z_3\}[/mm] sowie
> [mm]\{w_1,w_2,w_3\}[/mm] verschiedener Punkte aus [mm]\hat{\mathbb{C}}[/mm]
> := [mm]\mathbb{C} \cup \infty[/mm] . Dann existiert genau eine
> gebrochen lineare Funktion L : [mm]\hat{\mathbb{C}} \rightarrow \hat{\mathbb{C}}[/mm]
> mit [mm]L(z_i)=w_i.[/mm]
>  
>
>
> [mm]\textbf{Beweis.}[/mm]
>  Die gebrochen lineare Funktion [mm]L(z) = \frac{z-z_1}{z-z_2} \cdot \frac{z_3 - z_2}{z_3 - z_1}[/mm]
> bildet das Tripel [mm]\{z_1,z_2,z_3\}[/mm] auf [mm]\{0,\infty,1\}[/mm] ab.
> Damit kann jedes Tripel verschiedener Punkte aus  
> [mm]\hat{\mathbb{C}}[/mm] unter der Wirkung von [mm]PSL(2, \hat{\mathbb{C}})[/mm]
> auf das Tripel [mm]\{0, \infty, 1\}[/mm] abgebildet werden, also
> zwei Tripel auch aufeinander.
>
> Die behauptete Eindeutigkeit ergibt sich aus folgender
> Überlegung:
>
> Sei L eine gebrochen lineare Funktion mit [mm]L(0)=0, L(\infty)=\infty[/mm]
> und [mm]L(1)=1[/mm]. In der Darstellung von [mm]L[/mm] mittels der Matrix
> bestehend aus den Zahlen a,b,c,d folgt sofort, dass dann
> b=c=0 und a=d gilt. Damit ist [mm]L=id[/mm] die Identität.
>  
>
> Literatur: Elementargeometrie, Agricola & Fischer,
> Fachwissen für Studium und Mathematikunterricht, 2011,
> Seite: 48f
>  Hallo,
>  
> ich soll oben genannten Satz beweisen, dabei habe ich die
> gebrochen lineare Funktion [mm]L(z) =[/mm][mm] \frac{z-z_1}{z-z_2} \cdot \frac{z_3 - z_2}{z_3 - z_1}[/mm]
> gegeben, die das Tripel [mm]\{z_1,z_2,z_3\}[/mm] auf [mm]\{0,\infty,1\}[/mm]
> abbildet.
>  
> Die Gruppe [mm]PSL(2, \hat{\mathbb{C}})[/mm] ist definiert als
> [mm]SL(2, \hat{\mathbb{C}})/\{\pm 1_2\}[/mm]. Die Gruppe wird von
> Verknüpfungen von zwei Kreisspiegelungen erzeugt. Die
> gebrochen lineare Funktion [mm]L[/mm] ist damit eine Abbildung
> zwischen verallgemeinerten Kreisen, die soweit ich das
> inzwischen verstanden habe, entweder Kreise oder auch
> Geraden sein können.
>
> Die obige Aufgabe ist doch nur ein "Spezialfall" der [mm]PSL(2, \hat{\mathbb{C}})[/mm]
> bzw. eine genauere Betrachtung, oder?

Diese Frage verstehe ich nicht. Du willst nachweisen,dass die $PSL(2, [mm] \hat{\mathbb{C}})$ [/mm] scharf $3$-transitiv ist.

>
> Mir fehlt momentan der Ansatz wie ich von einem Tripel
> [mm]\{z_1,z_2,z_3\}[/mm] zu dem Tripel [mm]\{0,\infty,1\}[/mm] komme. Dass [mm]L[/mm]
> die identische Abbildung ist sieht man ja auch daran, dass
> eben [mm]0,1,\infty[/mm] durch [mm]L[/mm] auf sich selbst abgebildet werden.

Achtung, ich glaube Du bringst hier etwas durcheinander: der obige Beweis hat zwei Teile, wobei im ersten Teil ein $L$ angegeben wird, das [mm] $(z_{1}, z_{2}, z_{3})$ [/mm] auf $(0, [mm] 1,\infty)$ [/mm] abbildet.
Jetzt musst Du Dir noch klarmachen, dass daraus tatsaechlich die behauptete Transitivitaet folgt! Mein Tip dazu: Wenn [mm] $(z_{i})^{L}= [/mm] (0, [mm] 1,\infty)$ [/mm] und [mm] $(w_{i})^{M}= [/mm] (0, [mm] 1,\infty)$, [/mm] dann betrachte [mm] $LM^{-1}$. [/mm]

Nun der zweite Teil, naemlich die Eindeutigkeit. Hier hat das $L$ eine andere Bedeutung bekommen. Das ist zwar nicht besonders guter Stil, aber was soll man machen...
Der Gedankengang ist etwa so: Seien $S,M$ gebrochen-lineare Abbildungen, die beide [mm] $(z_{i})$ [/mm] auf $(0, [mm] 1,\infty)$ [/mm] abbilden. Dann ist [mm] $S^{-1}M$ [/mm] eine gebrochen-lineare Abbildung, die
$(0, [mm] 1,\infty)$ [/mm] fest laesst (rechne dies nach!). Dieses [mm] $S^{-1}M$ [/mm] wird in dem Beweistext wieder mit $L$ bezeichnet. Jetzt mache man sich klar, dass dieses $L$ die identische Abbildung sein muss: Da wir ueber gebrochen-lineare Abbildungen sprechen, ist $L(z)= [mm] \frac{az+b}{cz+d}$ [/mm] fuer gewisse $a,b,c,d$. Ferner weisst Du, dass $L(0)= 0$ ist, d.h. [mm] $\frac{b}{d}= [/mm] 0$, also $b=0$. Nun setzte noch $1$ und [mm] $\infty$ [/mm] in $L$ ein und versuche daraus ebenso Schlussfolgerungen ueber die Parameter zu ziehen.

>  
> Die im Beweis genannte Matrix, habe ich mir als 2 [mm]\times[/mm] 2
> - Matrix überlegt mit den jeweiligen Eintragen a,b,c,d
> also:
>  [mm]A=\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}[/mm]
>  
>
> wenn dabei [mm]b=c=0[/mm] gilt, und [mm]a=d[/mm] habe ich ja ein Vielfaches
> der Einheitsmatrix und somit logischerweise die Identität.
> Kann ich das einfach aus der Tatsache folgern, dass [mm]L(0)=0, L(\infty)=\infty[/mm]
> und [mm]L(1)=1[/mm] gilt?

S.o.

>  
> Obwohl ich jetzt doch schon ein paar Semester hinter mir
> habe, komme ich mir vor wie ein Erstsemester.
> Ich hoffe, jemand von euch kann mir eine "Machete für mein
> intellektuelles Dickicht leihen". ^^
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Vielen Dank schonmal im Voraus für eure Mühe. :)


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebraische Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de