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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Kreuzprodukt bei Mengen
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Kreuzprodukt bei Mengen: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:47 Di 24.10.2017
Autor: Tobikall

Aufgabe
Seien A;B;M und N Mengen. Zeigen Sie:
(a) (MxN) u  (A x B) ist Teilmenge aus (M u A) x (N u B)
(b) Falls in (a) Gleichheit gilt und weder M c A noch A c M gilt, so ist N = B.


Eine Skizze kann hier hilfreich sein (nehmen Sie dazu an, dass alle Teilmengen Intervalle auf
R sind, und stellen Sie die Produktmengen in der Ebene dar.

Hallo liebe Gemeinde,

Könnte mir vielleicht noch jemand bei dieser Aufgabe helfen, denn da komme ich nicht richtig weiter. Die Skizze habe ich und vorstellen kann ich es mir auch, nur weiß ich nicht, wie man das bei a) beweist oder bei b) den Ansatz für die Gleichheit findet. Man muss ja N ist Teilmenge von B und B ist Teilmenge von N beweisen, nur finde ich da keinen richtigen Ansatz.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Kreuzprodukt bei Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:36 Di 24.10.2017
Autor: fred97


> Seien A;B;M und N Mengen. Zeigen Sie:
>  (a) (MxN) u  (A x B) ist Teilmenge aus (M u A) x (N u B)
>  (b) Falls in (a) Gleichheit gilt und weder M c A noch A c
> M gilt, so ist N = B.
>  
>
> Eine Skizze kann hier hilfreich sein (nehmen Sie dazu an,
> dass alle Teilmengen Intervalle auf
>  R sind, und stellen Sie die Produktmengen in der Ebene
> dar.
>  Hallo liebe Gemeinde,
>  
> Könnte mir vielleicht noch jemand bei dieser Aufgabe
> helfen, denn da komme ich nicht richtig weiter. Die Skizze
> habe ich und vorstellen kann ich es mir auch, nur weiß ich
> nicht, wie man das bei a) beweist oder bei b) den Ansatz
> für die Gleichheit findet. Man muss ja N ist Teilmenge von
> B und B ist Teilmenge von N beweisen, nur finde ich da
> keinen richtigen Ansatz.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  


Sei $X:=(M [mm] \times [/mm] N) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \times [/mm] B)$ und $Y:=(M [mm] \cup [/mm] A) [mm] \times [/mm] (N [mm] \cup [/mm] B)$.

Zu zeigen ist $X [mm] \subseteq [/mm] Y$.

Also nehmen wir und ein $(u,v) [mm] \in [/mm] X$ her. Zu zeigen ist: $(u,v) [mm] \in [/mm] Y$.

Nun gibt es zwei Fälle:

1. Fall:  $(u,v) [mm] \in [/mm] M [mm] \times [/mm] N$. Dann ist $u [mm] \in [/mm] M$ und $v [mm] \in [/mm] N$. Dann haben wir aber auch $u [mm] \in [/mm] M [mm] \cup [/mm] A$ und $v [mm] \in [/mm] N [mm] \cup [/mm] B$. Das zeigt: $(u,v) [mm] \in [/mm] Y$.

2.  Fall:  $(u,v) [mm] \in [/mm] A [mm] \times [/mm] B$. Diesen Fall erledigst Du !

Erledige das mal, dann sehen wir weiter.

Bezug
                
Bezug
Kreuzprodukt bei Mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:38 Di 24.10.2017
Autor: Tobikall

Erstmal schonmal danke für Deine Hilfe.

Beim 2.  Fall ist ja dann [mm] (u,v)\varepsilon [/mm] AxB und somit ist u [mm] \varepsilon [/mm] A und v [mm] \varepsilon [/mm] B und da wir ja auch haben : $ u [mm] \in [/mm] M [mm] \cup [/mm] A $ und $ v [mm] \in [/mm] N [mm] \cup [/mm] B $ zeigt das, dass $ (u,v) [mm] \in [/mm] Y $ ist.

Ist das richtig und reicht das?


Bezug
                        
Bezug
Kreuzprodukt bei Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:00 Di 24.10.2017
Autor: fred97


> Erstmal schonmal danke für Deine Hilfe.
>  
> Beim 2.  Fall ist ja dann [mm](u,v)\varepsilon[/mm] AxB und somit
> ist u [mm]\varepsilon[/mm] A und v [mm]\varepsilon[/mm] B und da wir ja auch
> haben : [mm]u \in M \cup A[/mm] und [mm]v \in N \cup B[/mm] zeigt das, dass
> [mm](u,v) \in Y[/mm] ist.
>  
> Ist das richtig und reicht das?

Ja, das passt.

>  


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Bezug
Kreuzprodukt bei Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:32 Di 24.10.2017
Autor: tobit09

Hallo Tobikall,


zu b):

Gelte also [mm] $(M\times N)\cup(A\times B)=(M\cup A)\times(N\cup [/mm] B)$ und weder [mm] $A\subseteq [/mm] M$ noch [mm] $M\subseteq [/mm] A$.
Zu zeigen ist $N=B$.

Die Voraussetzung, dass $A$ keine Teilmenge von $M$ ist, bedeutet, dass ein [mm] $a\in [/mm] A$ mit [mm] $a\notin [/mm] M$ existiert.

Um nun [mm] $N\subseteq [/mm] B$ nachzuweisen sei [mm] $n\in [/mm] N$ beliebig vorgegeben.
Zu zeigen ist [mm] $n\in [/mm] B$.

Wegen [mm] $a\in M\cup [/mm] A$ und [mm] $n\in N\cup [/mm] B$ gilt [mm] $(a,n)\in(M\cup A)\times(N\cup B)=(M\times N)\cup(A\times [/mm] B)$.

Kommst du mit diesem Anfang weiter?


Viele Grüße
Tobias

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Bezug
Kreuzprodukt bei Mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:32 Mi 25.10.2017
Autor: Tobikall

so richtig weiß ich noch nicht, wie es jetzt weitergehen soll?!


Bezug
                        
Bezug
Kreuzprodukt bei Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:52 Mi 25.10.2017
Autor: tobit09

Wir haben also [mm] $(a,n)\in (M\times N)\cup (A\times [/mm] B)$.

Das bedeutet nach Definition von [mm] $\cup$, [/mm] dass [mm] $(a,n)\in M\times [/mm] N$ oder [mm] $(a,n)\in A\times [/mm] B$ gelten muss.

Der Fall [mm] $(a,n)\in M\times [/mm] N$ kann jedoch nicht gelten, denn dann wäre [mm] $a\in [/mm] M$ im Widerspruch zur Wahl von a.

Also muss der Fall [mm] $(a,n)\in A\times [/mm] B$ vorliegen.

Also [mm] $n\in [/mm] B$.


Damit ist [mm] $N\subseteq [/mm] B$ gezeigt.

Bezug
                                
Bezug
Kreuzprodukt bei Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:59 Mi 25.10.2017
Autor: Tobikall

Vielen Dank für die Antwort, ich wusste nicht, dass die Aufgabe so einfach ist, aber manchmal schaffe ich es einfach nicht auf die richtige Lösung zu kommen.

Viele grüße TobiKall

Bezug
                                        
Bezug
Kreuzprodukt bei Mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:08 Do 26.10.2017
Autor: Tobikall

Ich hab mir die Aufgabe gerade nochmal angeschaut.
Muss man nicht auch noch beweisen, dass b aus der Menge B ein Element von N ist, damit N=B gilt?
Und wie macht man das?

Bezug
                                                
Bezug
Kreuzprodukt bei Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:46 Do 26.10.2017
Autor: fred97


> Ich hab mir die Aufgabe gerade nochmal angeschaut.
>  Muss man nicht auch noch beweisen, dass b aus der Menge B
> ein Element von N ist, damit N=B gilt?

Ja.


>  Und wie macht man das?

Fast genauso !

Oben wurde benutzt: $ A $ ist  keine Teilmenge von $ M $ . Dann folgte: N ist Teilmenge von B.

Wir haben auch noch: $ M $ ist  keine Teilmenge von $ A$ .

Dann bekommst Du (und das mach mal selbst !): B ist Teilmenge von N.



Bezug
                                                        
Bezug
Kreuzprodukt bei Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:09 Do 26.10.2017
Autor: Tobikall

Ok jetzt hab ichs hinbekommen, vielen Dank nochmal!

Bezug
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