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Kugeloberfläche herleiten: Wie kommt man auf die Formel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:38 Di 07.11.2017
Autor: Spender

Aufgabe
Herleitung der Formel für die Kugeloberfläche ohne Volumenformel

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo,

kann mir bitte jemand diese Herleitung ohne die Volumenformel zu kennen erklären?
https://de.wikipedia.org/wiki/Kugel#Begr.C3.BCndung

MErci


        
Bezug
Kugeloberfläche herleiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:35 Mi 08.11.2017
Autor: HJKweseleit

[Dateianhang nicht öffentlich]
Wir stellen eine Kugel in eine genau passende Konservendose. Nun schneiden wir in einer beliebigen Höhe eine waagerechte Scheibe ab (schwarz gezeichnet). Wenn wir diesen Schnitt weiter durch die Dose führen, bekommen wir vom Dosenrand einen Ring derselben Dicke d (gelb gezeichnet).

Nun wird folgendes behauptet: Egal, in welcher Höhe sich der Schnitt befindet, der gelbe Ring auf dem Dosenrand hat dieselbe Fläche wie der schwarze auf der Kugeloberfläche.

Wenn das stimmt, hat die ganze Kugel die selbe Oberfläche wie der Dosenmantel, also Umfang*Höhe = [mm] 2\pi [/mm] R*2R = 4 [mm] \pi R^2. [/mm]

Zum Beweis betrachten wir nun den Schnitt von oben nach unten durch die DosenMitte:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Weil das Stück s auf der Oberfläche gebogen ist, stellen wir uns die Dicke der betrachteten Scheibe so klein vor, dass das keine Rolle mehr spielt und wir das Stückchen wie eine Gerade betrachten können (Wenn die Erde eine glatt polierte Kugel wäre, sähe für uns ein Flächenstück von 1m x 1m auch völlig eben aus, die Krümmung wäre für uns gar nicht bemerkbar).

Der Kugelradius R führt unter dem Winkel [mm] \alpha [/mm] gegen die Waagerechte zu s. [mm] \beta [/mm] soll sich mit [mm] \alpha [/mm] zu 90 ° ergänzen. Wenn du beachtest, dass s senkrecht auf R steht und die rote Linie nur eine Verlängerung von s ist, erkennst du, dass [mm] \beta [/mm] an den drei eingezeichneten Winkeln vorkommt.

Durch die roten Linien habe ich noch mal die Richtungen von s und d fortgeführt, so dass man rechts unten bei S und D sieht, dass diese auch in einem gemeinsamen rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel  [mm] \beta [/mm] vorkommen.

Über die Ähnlichkeit der Dreiecke erkennt man nun:

[mm] \bruch{s}{d}=\bruch{S}{D}=\bruch{R}{r}. [/mm]

Also ist s*r = d*R.

Wenn wir nun s "anfassen" und einmal um die Kugel ziehen, bekommen wir die schwarze Kugelring-Fläche aus dem ersten Bild. Dabei legt s den Weg [mm] 2*\pi [/mm] *r  zurück, die Fläche ist somit [mm] 2*\pi [/mm] *r*s.

Die gelbe Fläche des Dosenringes wird von d bei einer Umkreisung mit dem Weg [mm] 2*\pi* [/mm] R überstrichen, die Fläche ist somit [mm] 2*\pi [/mm] *R*d.

Weil aber r*s=R*d ist, ist [mm] 2*\pi *r*s=2*\pi [/mm] *R*d.

Beide Ringe haben somit denselben Flächeninhalt! Also stimmt das oben Gesagte.

Bemerkung: Bei gleicher Dicke d hat eine weiter oben auf der Kugel liegende Scheibe zwar einen kleineren Radius r, aber dafür ist das s so lang geworden, weil es viel schräger liegt, dass sich das dadurch genau ausgleicht.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Kugeloberfläche herleiten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:03 Mi 08.11.2017
Autor: Spender

DANKE
Gut erklärt!

Bezug
                
Bezug
Kugeloberfläche herleiten: schön
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 21:12 Mi 08.11.2017
Autor: Al-Chwarizmi

sehr schöne Darstellung und Erläuterung !

LG ,    Al-Chwarizmi

Bezug
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