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Forum "Integrationstheorie" - Kurvenintegral berechnen
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Kurvenintegral berechnen: suche Hinweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:49 Fr 20.05.2011
Autor: mikexx

Aufgabe
Berechnen Sie das Kurvenintegral

[mm] \integral_{\alpha} [/mm] (x dy- y dx)

für die Kurve [mm] \alpha: [a,b]\to \IR^2, \alpha(t):=e^t(\cos t,\sin [/mm] t)

Ich weiß, dass man ein solches Kurvenintegral berechnet mit:

[mm] \integral_{\alpha} \omega:=\integral_a^b <\omega(\alpha(t)),\alpha'(t)> dt=\integral_a^b (\sum_{i=1}^n f_i(\alpha(t))\alpha'_i(t)) [/mm] dt

Wobei [mm] \omega [/mm] stetige Pfaffsche Form ist.


Ich verstehe aber nicht, was bei dieser Aufgabe es mit diesem Integranden (x dy -y dx) auf sich hat.

Bei Forster steht ergänzend noch, dass x und y hier die kanonischen Koordinatenfunktionen im [mm] \IR^2 [/mm] sein sollen (was auf dem Aufgabenzettel aber nicht extra da steht.)

Was bedeutet denn das?

Ist hier [mm] \omega=x [/mm] dy-y dx?

Irgendwie ist mir das wirr.

        
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 Fr 20.05.2011
Autor: fred97

Mit [mm] \alpha=(\alpha_1, \alpha_2) [/mm] ist

        

[mm] $\integral_{\alpha} [/mm]  (x dy- y dx) [mm] =\integral_{a}^{b}{(\alpha_1(t) \alpha_2'(t)-\alpha_2(t) \alpha_1'(t)) dt}$ [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:00 Fr 20.05.2011
Autor: mikexx

Okay, danke..

Das muss ich erstmal verstehen!


Also nochmal langsam:D

Ist [mm] \omega=x [/mm] dy - y dx?

Wenn ichs verstanden habe, so kann man ja jede Pfaffsche Formen schreiben als

[mm] \omega=\sum_{i=1}^{n} f_idx_i [/mm]

Ist hier nun

[mm] f_1=x, dx_1=dy [/mm]
[mm] f_2=y, dx_2=dx [/mm] ?

Unter dem Integral steht ja:

[mm] <\omega(\alpha(t)),\alpha'(t)> [/mm]

[mm] = [/mm]

[mm] =<\underbrace{e^t\cdot \cos(t)}_{=\alpha_1}\cdot \underbrace{d e^t\sin(t)}_{=\alpha'_2}-\underbrace{e^t\sin(t)}_{=\alpha_2}\cdot \underbrace{d e^t\cos(t)}_{=\alpha'_1}, \alpha'(t)> [/mm]

??

Jetzt habe ich im Grunde etwas Ähnliches, wie Du geschrieben hattest, nur--- Du hattest das glaube ich bekommen, indem Du dx und dy nicht weiter beachtet hast und auf das Ergebnis durch das Skalarprodukt mit [mm] \alpha'(t) [/mm] kommst.

Wieso kann man dx und dy einfach weglassen...?



Bezug
                        
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:08 Fr 20.05.2011
Autor: mikexx

Soll man für die Grenzen a und b eigentlich irgendwelche bestimmten Werte nehmen oder allgemein ausrechnen?--

Bezug
                                
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:31 Sa 21.05.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Soll man für die Grenzen a und b eigentlich irgendwelche
> bestimmten Werte nehmen oder allgemein ausrechnen?--


Da für a und b keine konkreten Werte gegeben waren,
erledigt sich die Frage wohl von selbst.
Natürlich kannst du auch noch ein Zahlenbeispiel mit
liefern - und es vor allem als eigene Erfolgskontrolle
(mit geometrischer Probe) verwenden.

LG


Bezug
                        
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:11 Sa 21.05.2011
Autor: fred97


> Okay, danke..
>  
> Das muss ich erstmal verstehen!
>  
>
> Also nochmal langsam:D
>  
> Ist [mm]\omega=x[/mm] dy - y dx?
>  
> Wenn ichs verstanden habe, so kann man ja jede Pfaffsche
> Formen schreiben als
>  
> [mm]\omega=\sum_{i=1}^{n} f_idx_i[/mm]
>  
> Ist hier nun
>  
> [mm]f_1=x, dx_1=dy[/mm]
>  [mm]f_2=y, dx_2=dx[/mm] ?
>  
> Unter dem Integral steht ja:
>  
> [mm]<\omega(\alpha(t)),\alpha'(t)>[/mm]
>  
> [mm]=[/mm]
>  
> [mm]=<\underbrace{e^t\cdot \cos(t)}_{=\alpha_1}\cdot \underbrace{d e^t\sin(t)}_{=\alpha'_2}-\underbrace{e^t\sin(t)}_{=\alpha_2}\cdot \underbrace{d e^t\cos(t)}_{=\alpha'_1}, \alpha'(t)>[/mm]
>  
> ??
>  
> Jetzt habe ich im Grunde etwas Ähnliches, wie Du
> geschrieben hattest, nur--- Du hattest das glaube ich
> bekommen, indem Du dx und dy nicht weiter beachtet hast und
> auf das Ergebnis durch das Skalarprodukt mit [mm]\alpha'(t)[/mm]
> kommst.
>  
> Wieso kann man dx und dy einfach weglassen...?

Ich habe nichts weggelassen ! Mit [mm] $f=(f_1,f_2)$ [/mm] ist

             [mm] $\integral_{\alpha}^{}{(f_1(x,y) dx +f_2(x,y) dy)} [/mm]

nur eine andere Schreibweise für

             [mm] $\integral_{\alpha}^{}{f(x,y) *d(x,y)}$, [/mm]

wobei das letzt Integral def. ist durch


             [mm] \integral_{a}^{b}{f(\alpha(t))*\alpha'(t) dt} [/mm]

FRED
            

>  
>  


Bezug
                                
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:10 Sa 21.05.2011
Autor: mikexx

Ich weiß, dass Du nichts absichtlich weggelassen hast oder so und dass alles korrekt ist.

Ich verstehe bloß nicht, wo am Ende dy und dx bleiben.

Vielleicht erklärt es sich so:

[mm] \integral_{\alpha} \omega=\integral_a^b <\omega(\alpha(t)),\alpha'(t)> [/mm]

= [mm] \integral_a^b <\sum_{i=1}^2 f_i(\alpha(t)) dx_i(\alpha(t)),\alpha'(t)> [/mm]

wobei

[mm] f_1= x:(p_1,p_2)\mapsto p_1 [/mm]
[mm] f_2= y:(p_1,p_2)\mapsto p_2 [/mm]
[mm] dx_1=dy [/mm]
[mm] dx_2=dx [/mm]

Und weiter:

= [mm] \integral_a^b \sum_{i=1}^2 f_i(\alpha(t)) \underbrace{}_{=\alpha'_i} [/mm]

= [mm] \integral_a^b [/mm] (Standardskalarprodukt)


So kommt man - denke ich - auf Deine Lösung.
Ich habe mich halt gefragt, wo dx und dy eigentlich bleiben und wieso man am Ende nur das Skalarprodukt aus [mm] f=(f_1,f_2) [/mm] und [mm] \alpha' [/mm] hat.

Ich hoffe, das ist so korrekt.


Bezug
                                        
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Ergebnis der Berechnung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:48 Sa 21.05.2011
Autor: mikexx

Jedenfalls habe ich dann als Ergebnis:

[mm] \bruch{1}{5}\cdot 2(\cos(a)\cdot e^{2a}-2\sin(a)e^{2a}-(\cos(b)-2\sin(b))\cdot e^{2b}) [/mm]

Bezug
                                                
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Ergebnis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:03 Do 28.07.2011
Autor: mikexx

Hallo,

Ist eine Wele her, aber ich habe das nochmal besser mal ausgerechnet und habe da Folgendes heraus:

[mm]\int_{\alpha}xdy-ydx=\frac{1}{2}(e^{2b}-e^{2a})[/mm].


[Bin am Anfang durcheinander gekommen mit der Koordinatendarstellung der Pfaffschen Form.]

Bezug
                                                        
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:19 Do 28.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  
> Ist eine Weile her, aber ich habe das nochmal besser mal
> ausgerechnet und habe da Folgendes heraus:
>  
> [mm]\int_{\alpha}xdy-ydx=\frac{1}{2}(e^{2b}-e^{2a})[/mm]


[daumenhoch]    das ist richtig !

LG   Al-Chw.

Bezug
                                        
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Mo 23.05.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                        
Bezug
Kurvenintegral berechnen: ohne Pfaff
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:35 Do 28.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Okay, danke..
>  
> Das muss ich erstmal verstehen!
>  
>
> Also nochmal langsam:D
>  
> Ist [mm]\omega=x[/mm] dy - y dx?
>  
> Wenn ichs verstanden habe, so kann man ja jede Pfaffsche
> Formen schreiben als
>  
> [mm]\omega=\sum_{i=1}^{n} f_idx_i[/mm]
>  
> Ist hier nun
>  
> [mm]f_1=x, dx_1=dy[/mm]
>  [mm]f_2=y, dx_2=dx[/mm] ?
>  
> Unter dem Integral steht ja:
>  
> [mm]<\omega(\alpha(t)),\alpha'(t)>[/mm]
>  
> [mm]=[/mm]
>  
> [mm]=<\underbrace{e^t\cdot \cos(t)}_{=\alpha_1}\cdot \underbrace{d e^t\sin(t)}_{=\alpha'_2}-\underbrace{e^t\sin(t)}_{=\alpha_2}\cdot \underbrace{d e^t\cos(t)}_{=\alpha'_1}, \alpha'(t)>[/mm]
>  
> ??
>  
> Jetzt habe ich im Grunde etwas Ähnliches, wie Du
> geschrieben hattest, nur--- Du hattest das glaube ich
> bekommen, indem Du dx und dy nicht weiter beachtet hast und
> auf das Ergebnis durch das Skalarprodukt mit [mm]\alpha'(t)[/mm]
> kommst.
>  
> Wieso kann man dx und dy einfach weglassen...?




Das kann man auch viel einfacher sehen. x und y werden
durch die Parametrisierung zu Funktionen von t. Dabei ist
z.B. die Ableitung von x nach t:

   [mm] $\dot{x}(t)\ [/mm] =\ [mm] \frac{dx}{dt}\ [/mm] =\  [mm] \frac{d}{dt}(e^t*cos(t))\ [/mm] =\ [mm] e^t*(cos(t)-sin(t))$ [/mm]

Daraus erhält man

   $\ dx\ =\ [mm] e^t*(cos(t)-sin(t))*dt$ [/mm]

also    $\ y*dx\ =\ [mm] e^t*sin(t)*e^t*(cos(t)-sin(t))*dt\ [/mm] =\ [mm] e^{2\,t}*(sin(t)*cos(t)-sin^2(t))$ [/mm]

Analog verfährt man mit der Ableitung [mm] \dot{y}(t) [/mm] , um dy und dann
$x*dy$ mittels t auszudrücken. Ins Integral einsetzen, den Integranden
vereinfachen und dann die Integration durchführen, Grenzen einsetzen.

LG   Al-Chw.

Bezug
                                
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:12 Do 28.07.2011
Autor: mikexx

Dieser "alternative" Weg gefällt mir.

Da aber zu der Zeit, als ich die Aufgabe gestellt hatte, explizit Pfaffsche Formen durchgenommen wurden, wäre diese Lösungsidee wohl vielleicht ein bisschen zu weit davon entfernt gewesen.

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