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Landau-Symbol: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:49 Di 21.10.2014
Autor: evinda

Hallo!!!
Ich soll zeigen, dass n [mm] \cdot 2^n=O(n!) [/mm] .

Ich habe folgendes versucht:

Wir wollen zeigen, dass n [mm] \cdot 2^n=O(n!), [/mm] also, dass:

[mm] \exists [/mm] c>0 und [mm] n_0 \geq [/mm] 0 , sodass [mm] \forall [/mm] n [mm] \geq n_0: [/mm]

n [mm] \cdot 2^n \leq [/mm] c [mm] \cdot [/mm] n!

n [mm] \cdot 2^n \leq [/mm] n [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdots [/mm] n=n [mm] \cdot [/mm] n!, [mm] \forall [/mm] n [mm] \geq [/mm] 0

Wir nehmen c=n und [mm] n_0=0, [/mm] und haben dass n [mm] \cdot 2^n=O(n!). [/mm]

Ist das was ich versucht habe richtig? Und habe ich es richtig formuliert?



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Landau-Symbol: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:50 Di 21.10.2014
Autor: andyv

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo,

so funktioniert das nicht. Was soll denn n in c=n sein?

Zeige, dass die Folge $(a_n)$ mit $a_n=\frac{2^n}{(n-1)!$ (nach oben) beschränkt ist.

Liebe Grüße

Bezug
                
Bezug
Landau-Symbol: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:05 Di 21.10.2014
Autor: evinda

Ich habe nochmal überlegt. Könnte man es vielleicht so machen?

n [mm] \cdot 2^n=n \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdots [/mm] 2 [mm] \leq [/mm] n [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdots [/mm] (n-1)=1 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdots [/mm] (n-1) [mm] \cdot [/mm] n=n!

Also, nehmen wir [mm] n_0=0 [/mm] und c=1.

Oder ist es nicht richtig?

Bezug
                        
Bezug
Landau-Symbol: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:14 Di 21.10.2014
Autor: andyv

Das stimmt auch nicht. (Betrachte z.B. n=2)

Um es konkreter zu machen: Zeige $ [mm] \frac{2^n}{(n-1)!}\le4 [/mm] \ [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] $

Liebe Grüße

Bezug
                                
Bezug
Landau-Symbol: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:28 Di 21.10.2014
Autor: evinda

Ich hatte ein Begriff vergessen..

Ist es so richtig:

[Dateianhang nicht öffentlich]

?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                        
Bezug
Landau-Symbol: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:47 Di 21.10.2014
Autor: andyv

Diese Ungleichung ist auch falsch. (Es gilt ja nicht [mm] 2$\le [/mm] 1$.)

Eine kleinere Schranke als 4 wirst du nicht finden.

Liebe Grüße

Bezug
                                                
Bezug
Landau-Symbol: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:26 Do 23.10.2014
Autor: evinda

Für welches n bekommt man 2 [mm] \leq [/mm] 1 ? :/

Bezug
                                                        
Bezug
Landau-Symbol: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:34 Do 23.10.2014
Autor: andyv

Für n=2.

Liebe Grüße

Bezug
                                                                
Bezug
Landau-Symbol: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:49 Do 23.10.2014
Autor: evinda

Und wie könnte ich zeigen, dass [mm] \frac{2^n}{(n-1)!} \leq [/mm] 4, [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \mathbb{N} [/mm] ?

Bezug
                                                                        
Bezug
Landau-Symbol: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:13 Do 23.10.2014
Autor: andyv

Z.B. per Induktion.

Liebe Grüße

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Bezug
Landau-Symbol: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:23 Do 23.10.2014
Autor: evinda

Wie kommt man zum Ergebnis, dass [mm] \frac{2^n}{(n-1)!} \leq [/mm] 4, [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \mathbb{N} [/mm] ?



Bezug
                                                                                        
Bezug
Landau-Symbol: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:42 Do 23.10.2014
Autor: andyv

Das sollte man "sehen", wenn man Zähler und Nenner ausschreibt.

Liebe Grüße

Bezug
                                                                                                
Bezug
Landau-Symbol: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:56 Do 23.10.2014
Autor: evinda

Also, kann man es so machen?

Wir wollen zeigen, dass n [mm] \cdot 2^n=O(n!), [/mm] also, dass [mm] \exists [/mm] c>0 und [mm] n_0 \geq [/mm] 0, sodass [mm] \forall [/mm] n [mm] \geq n_0: [/mm] n [mm] \cdot 2^n \leq [/mm] c [mm] \cdot [/mm] n! [mm] \Rightarrow \frac{2^n}{(n-1)!} \leq [/mm] c

[mm] \frac{2^n}{(n-1)!}=\frac{2^n}{1 \cdot 2 \cdots (n-1)} \leq \frac{2^n}{1 \cdot 2 \cdot 2 \cdots 2}=\frac{2^n}{2^{n-2}}=2^2=4 [/mm]

Wir nehmen c=4, und kommen zum Ergebnis, dass n [mm] \cdot 2^n=O(n!). [/mm]

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Landau-Symbol: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:55 Do 23.10.2014
Autor: andyv

Eine Induktion fände ich besser, um die Gleichung für alle n dingfest zu machen.

Jefenfalls stimmt das aber jetzt.

Liebe Grüße

Bezug
                                                                                                                
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Landau-Symbol: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:59 Di 28.10.2014
Autor: evinda

Wie könnte man es mit Induktion beweisen?

Ich habe folgendes versucht:

- n=1: [mm] \frac{2}{0!}=2 \leq [/mm] 4
- Wir nehmen an, dass [mm] \frac{2^n}{(n-1)!} \leq [/mm] 4
- [mm] \frac{2^{n+1}}{n!}=\frac{2^n \cdot 2}{(n-1)! \cdot n} \leq [/mm] 4 [mm] \cdot \frac{2}{n}=\frac{8}{n} [/mm]

Wenn [mm] \frac{8}{n} \leq [/mm] 4, gilt  n [mm] \geq [/mm] 2, n [mm] \cdot 2^n=O(n!) [/mm] gilt aber [mm] \forall [/mm] n [mm] \geq [/mm] 1, oder nicht?

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Landau-Symbol: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:43 Mi 29.10.2014
Autor: andyv

n $ [mm] \cdot 2^n=O(n!) \quad [/mm] (n [mm] \to \infty)$ [/mm] ist unabhängig von n, du meinst wohl, dass $ [mm] \frac{2^n}{(n-1)!} \leq [/mm] $ 4 für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt und die Antwort lautet ja.

Du kannst auch n=2 als Induktionsanfang nehmen, dann gilt für ein [mm] $n\ge [/mm] 2$ sicherlich $ [mm] \frac{8}{n} \leq [/mm] $ 4, also gilt $ [mm] \frac{2^n}{(n-1)!} \leq [/mm] $ 4  für [mm] $n\ge [/mm] 2$, für n=1 ebenso.

Liebe Grüße

Bezug
        
Bezug
Landau-Symbol: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:52 Do 30.10.2014
Autor: fred97

Ergänzend: es gilt für jedes $x [mm] \in \IR$: [/mm]

  $n [mm] \cdot x^n=o(n!) [/mm] $   für $ n [mm] \to \infty$. [/mm]

Es gilt also

  [mm] $\bruch{n*x^n}{n!} \to [/mm] 0$  für $ n [mm] \to \infty$. [/mm]

Denn

  [mm] \bruch{n*x^n}{n!}=x*\bruch{x^{n-1}}{(n-1)!} [/mm]  für $n [mm] \ge [/mm] 1$.

[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^{n-1}}{(n-1)!} [/mm] ist konvergent, also gilt

   [mm] $\bruch{x^{n-1}}{(n-1)!}\to [/mm] 0$  für $ n [mm] \to \infty$. [/mm]

FRED

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