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Laplacescher Entwicklungssatz: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:02 Mo 22.10.2007
Autor: Owen

Aufgabe
Berechnen Sie die Determinante:
[mm] \pmat{ 1 & -5 & 4 &1 \\ 2 & 1 & -3 & -1 \\ 3 & -4 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 } [/mm]

Ich berechne nun die Determinante nach Zeile1:
1*(1*1*1-(-1)*1*1)+5*(2*1*1-(-1)*1*1)
+4*(2*(-4)*1-(-1)*(-4)*1)+1*(2*(-4)*1-(-3)*(-4)*1)=-51

Es muss aber -33 herauskommen. Wo liegt der Fehler?

        
Bezug
Laplacescher Entwicklungssatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:14 Mo 22.10.2007
Autor: Bastiane

Hallo Owen!

> Berechnen Sie die Determinante:
>  [mm]\pmat{ 1 & -5 & 4 &1 \\ 2 & 1 & -3 & -1 \\ 3 & -4 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 }[/mm]
>  
> Ich berechne nun die Determinante nach Zeile1:
>  1*(1*1*1-(-1)*1*1)+5*(2*1*1-(-1)*1*1)
>  +4*(2*(-4)*1-(-1)*(-4)*1)+1*(2*(-4)*1-(-3)*(-4)*1)=-51
>  
> Es muss aber -33 herauskommen. Wo liegt der Fehler?

Du hast die Determinanten der [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrizen falsch berechnet. Sieh dir []das doch nochmal genau an. Und beim []Laplaceschen Entwicklungssatz wechseln sich + und - bei den einzelnen "Summanden" immer ab. Vielleicht klappt's ja dann.

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

Bezug
                
Bezug
Laplacescher Entwicklungssatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:28 Mo 22.10.2007
Autor: Owen

Aufgabe
s. oben

ich habe jetzt die Vorzeichen richtig gesetzt und bekomme dann -11 heraus, das passt auch nicht. Ich hatte auf den Seiten bereits geschaut, jedoch komme ich damit nicht weiter. Ich verstehe nicht, warum es falsch ist.

Bezug
                        
Bezug
Laplacescher Entwicklungssatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 Mo 22.10.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Eugen.

du hast die Determinanten der "Untermatrizen"/"Streichmatrizen" nicht richtig berechnet:

Du hast $A= [mm] \pmat{ 1 & -5 & 4 &1 \\ 2 & 1 & -3 & -1 \\ 3 & -4 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 } [/mm] $


Die Koeffizienten für die Entwicklung nach der ersten Zeile gemäß Herrn Laplace hast du richtig. Ich schreibs mal ausführlicher auf:

Erst einmal die allg. "Formel" für die Entwicklung nach der i.Zeile:

[mm] $det(A)=\sum\limits_{j=1}^n(-1)^{i+j}\cdot{}a_{ij}\cdot{}det(A_{ij})$ [/mm]

wobei [mm] $A_{ij}$ [/mm] diejenige Matrix ist, die aus $A$ durch Streichen der i.Zeile und j.Spalte entsteht. $n$ ist die "Größe" der Matrix

Also hast du hier für die Entwicklung nach der 1. Zeile:

[mm] $det(A)=\sum\limits_{j=1}^4(-1)^{1+j}\cdot{}a_{1j}\cdot{}det(A_{1j})$ [/mm]

wobei [mm] $A_{1j}$ [/mm] durch Streichen dedr 1.Zeile und j.Spalte von A entsteht

Also konkret:

[mm] $det(A)=1\cdot{}\det\pmat{ 1 & -3 & -1 \\ -4 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 } +5\cdot{}det\pmat{ 2 & -3 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1}+4\cdot{}det\pmat{ 2 & 1 & -1 \\ 3 & -4 & 1 \\ 1 & 1 & 1}-1\cdot{}det\pmat{ 2 & 1 & -3 \\ 3 & -4 & 1 \\ 1 & 1 & 1}$ [/mm]

Die Determinanten der [mm] $3\times [/mm] 3$ Untermatrizen kannst du mit der Regel von Sarrus berechnen oder nochmal nach Laplace entwickeln



LG

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Laplacescher Entwicklungssatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:34 Mo 22.10.2007
Autor: Owen

ok, ich habe es nun verstanden, vielen Dank

Bezug
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