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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Lineare Unabhängigkeit
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Lineare Unabhängigkeit: Zweifel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:59 Mo 28.04.2014
Autor: Tabs2000

Aufgabe
Sind Vektoren, bei denen beim Prüfen auf lineare Abhängigkeit, ein unterbestimmtes Gleichungssystem vorliegt, linear abhängig?

Hallo, ich arbeite gerade den Stoff der letzten Stunde nach und mir fällt das besonders schwer,da ich krank war und ich hoffe, ihr könnt mir hier eben kurz einen Denkanstoß geben. Meine Frage ist: Ich hab hier 3 Vektoren, die in R³ sich befinden, die auf lineare Abhängigkeit hin zu prüfen sind. Jetzt hab ich in einer Zeile 0-0-0 | 0 stehen und frage mich,ob man die Vektoren dann noch als linear abhängig bezeichnen würde. Ich bin mir gerade total unschlüssig,weil ich ja nicht mehr eine Zahl als Skalar habe,sondern einen Ausdruck,der von einem Parameter (t) abhängig ist...



        
Bezug
Lineare Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:20 Mo 28.04.2014
Autor: angela.h.b.


> Sind Vektoren, bei denen beim Prüfen auf lineare
> Abhängigkeit, ein unterbestimmtes Gleichungssystem
> vorliegt, linear abhängig?
>  Hallo, ich arbeite gerade den Stoff der letzten Stunde
> nach und mir fällt das besonders schwer,da ich krank war
> und ich hoffe, ihr könnt mir hier eben kurz einen
> Denkanstoß geben. Meine Frage ist: Ich hab hier 3
> Vektoren, die in R³ sich befinden, die auf lineare
> Abhängigkeit hin zu prüfen sind. Jetzt hab ich in einer
> Zeile 0-0-0 | 0 stehen und frage mich,ob man die Vektoren
> dann noch als linear abhängig bezeichnen würde. Ich bin
> mir gerade total unschlüssig,weil ich ja nicht mehr eine
> Zahl als Skalar habe,sondern einen Ausdruck,der von einem
> Parameter (t) abhängig ist...
>
>  


Hallo,

betrachten wir

[mm] \vektor{2\\3\\4}, \vektor{5\\6\\7}, \vektor{9\\12\\15}. [/mm]

Zu untersuchen ist, ob die Gleichung

[mm] a\vektor{2\\3\\4}+b\vektor{5\\6\\7}+c\vektor{9\\12\\15}=\vektor{0\\0\\0} [/mm]

nur die eine Lösung a=b=c=0 hat.

Untersuchung der Koeffizientenmatrix ergibt

[mm] \pmat{2&5&9&|&0\\3&6&12&|&0\\4&7&15&|&0} [/mm] ---> [mm] \pmat{1&0 &2&|&0\\0&1&1&|&0\\0&0&0&|&0}. [/mm]


Das homogene LGS ist unterbestimmt.

Man kann eine Variable frei wählen, etwa
c=t,
und bekommt
b=-t
a=-2t.

Wir lernen: natürlich ist (mit t=0) a=b=c=0 eine Lösung,
aber (mit t=5) es ist auch a=-10, b=-5, c=5 eine Lösung.

Die Gleichung hat also nicht nur eine Lösung, und damit sind die Vektoren linear abhängig.

LG Angela



Bezug
                
Bezug
Lineare Unabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:37 Mo 28.04.2014
Autor: Tabs2000

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Damit ist meine Frage auch beantwortet : LINEAR ABHÄNGIG !!!


Bezug
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