Lipschitz Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Fr 06.06.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Wie viel Stetigkeit steckt in Lipschitz Stetigkeit?
Bzw. wo liegen die Unterschiede zur "normalen" Stetigkeit die man zum Beispiel mit dem [mm] $\epsilon$-$\delta$-Kriterium, [/mm] oder Folgenkriterium erhält? |
Hi,
die Frage, welche ich oben ein wenig Salopp formuliert habe, ist, in wie weit ich "normale" Stetigkeit mit der Lipschitz-Stetigkeit vergleichen kann und was die genauen Unterschiede sind bzw. auch die Vor und Nachteile.
Ist eine "normal" stetige Funktion auch immer Lipschitz-Stetig?
Ich würde sagen, dass sie es ist.
Umgekehrt muss es natürlich nicht so sein.
Aber wie stellt man sich die Lipschitz-Stetigkeit vor? Ist eine Funktion, die auf einem eingeschränktem Intervall Lipschitz-Stetig ist auch stetig im eigentlichem Sinne?
Hier noch einmal die Definitionen:
Lipschitz-Stetigkeit:
[mm] $f:(X,d_1)\to(Y, d_2)$ [/mm] heißt Lipschitz-stetig genau dann wenn [mm] $\exist [/mm] L>0$ mit [mm] $d_2(f(x_1),f(x_2))\leq [/mm] L [mm] d_1(x_1, x_2)\quad \forall x_1,x_2\in [/mm] X$
[mm] $\epsilon$-$\delta$-Kriterium:
[/mm]
[mm] f:(X,d_1)\to f(X,d_2) x\in [/mm] X. Dann heißt f stetig in X, wenn
[mm] $\forall \epsilon>0\exist \delta>0:\forall z\in [/mm] X$ mit [mm] $d(x,z)<\delta$ [/mm] gilt [mm] $d(f(x),f(z))<\epsilon$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Fr 06.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Wie viel Stetigkeit steckt in Lipschitz Stetigkeit?
> Bzw. wo liegen die Unterschiede zur "normalen" Stetigkeit
> die man zum Beispiel mit dem [mm]\epsilon[/mm]-[mm]\delta[/mm]-Kriterium,
> oder Folgenkriterium erhält?
> Hi,
>
> die Frage, welche ich oben ein wenig Salopp formuliert
> habe, ist, in wie weit ich "normale" Stetigkeit mit der
> Lipschitz-Stetigkeit vergleichen kann und was die genauen
> Unterschiede sind bzw. auch die Vor und Nachteile.
> Ist eine "normal" stetige Funktion auch immer
> Lipschitz-Stetig?
Nein.
> Ich würde sagen, dass sie es ist.
> Umgekehrt muss es natürlich nicht so sein.
Nein.
Aus Lipschitz-Stetigkeit folgt Stetigkeit. Andersrum nicht.
Die Lipschitz-Stetigkeit ist sehr wichtig, denn man benötigt
sie zum Beispiel beim Satz von Picard-Lindelöf oder beim
Banachschen Fixpunktsatz.
> Aber wie stellt man sich die Lipschitz-Stetigkeit vor? Ist
> eine Funktion, die auf einem eingeschränktem Intervall
> Lipschitz-Stetig ist auch stetig im eigentlichem Sinne?
Ja. Im Übrigen folgt auch die wichtige Eigenschaft, dass
aus Lipschitz-Stetigkeit auch gleichmäßige Stetigkeit folgt.
Gruß
DieAcht
> Hier noch einmal die Definitionen:
>
> Lipschitz-Stetigkeit:
>
> [mm]f:(X,d_1)\to(Y, d_2)[/mm] heißt Lipschitz-stetig genau dann
> wenn [mm]\exist L>0[/mm] mit [mm]d_2(f(x_1),f(x_2))\leq L d_1(x_1, x_2)\quad \forall x_1,x_2\in X[/mm]
>
> [mm]\epsilon[/mm]-[mm]\delta[/mm]-Kriterium:
>
> [mm]f:(X,d_1)\to f(X,d_2) x\in[/mm] X. Dann heißt f stetig in X,
> wenn
>
> [mm]\forall \epsilon>0\exist \delta>0:\forall z\in X[/mm] mit
> [mm]d(x,z)<\delta[/mm] gilt [mm]d(f(x),f(z))<\epsilon[/mm]
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Fr 06.06.2014 | | Autor: | YuSul |
> > Ich würde sagen, dass sie es ist.
> > Umgekehrt muss es natürlich nicht so sein.
>
> Nein.
Zu beidem nein?
Eine "normal" stetige Funktion ist also nicht immer Lipschitz-stetig, aber aus Lipschitz-Stetigkeit folgt "normale" Stetigkeit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Fr 06.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
> > > Ich würde sagen, dass sie es ist.
> > > Umgekehrt muss es natürlich nicht so sein.
> >
> > Nein.
>
> Zu beidem nein?
Ja, beides war falsch.
> Eine "normal" stetige Funktion ist also nicht immer
> Lipschitz-stetig, aber aus Lipschitz-Stetigkeit folgt
> "normale" Stetigkeit?
Genau. So ist es richtig, aber lass dieses "normal" weg. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Fr 06.06.2014 | | Autor: | YuSul |
mit dem normal will ich nur zwischen stetig und Lipschitz-stetig unterscheiden.
Aber warum muss denn eine Lipschitz-stetige Funktion nicht stetig sein?
Das finde ich relativ komisch.
Hättest du ein geeignetes Beispiel wo ich das mal nachprüfen könnte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Fr 06.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
> mit dem normal will ich nur zwischen stetig und
> Lipschitz-stetig unterscheiden.
Dennoch gehört das Wort "normal" nicht dahin.
> Aber warum muss denn eine Lipschitz-stetige Funktion nicht
> stetig sein?
Das hat doch keiner gesagt! Lipschitzstetige Abbildungen
sind stetig und auch gleichmäßig stetig. Die Umkehrung
gilt aber im Allgemeinen nicht!
> Hättest du ein geeignetes Beispiel wo ich das mal
> nachprüfen könnte?
Überprüfe die stetige Abbildung
[mm] f\colon\IR\to\IR\colon x\mapsto x^2$,
[/mm]
auf Lipschitz-Stetigkeit.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Fr 06.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Wie gesagt, es ist mir klar, dass das "normal" da nicht hingehört, ich habe es trotzdem einfach nur hingeschrieben um deutlich zu machen was ich meine.
Die Funktion ist nicht Lipschitz-stetig, da ich keine Konstante L angeben kann so, dass
[mm] $|x^2-y^2|
ist.
Denn wenn ich eine Konstante L angebe, dann kann ich x einfach beliebig erhöhen, bis die Ungleichung nicht mehr stimmt.
Bzw. wenn ich |x+y| nach oben abschätzen wollte, dann kann ich das nicht gegen eine Konstante tun, weil [mm] $max\{|x+y|\}_{x,y\in\mathbb{R}}$ [/mm] nicht existiert.
Die Funktion sollte aber immer Lipschitz-stetig sein, wenn ich ein eingeschränktes Intervall betrachte.
Macht es Sinn Funktionen auf uneingeschränkten Intervallen zu betrachten. Da sollte dann doch nie etwas sinnvolles bei rumkommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Fr 06.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Die Funktion ist nicht Lipschitz-stetig, da ich keine
> Konstante L angeben kann so, dass
>
> [mm]|x^2-y^2|
>
> ist.
> Denn wenn ich eine Konstante L angebe, dann kann ich x
> einfach beliebig erhöhen, bis die Ungleichung nicht mehr
> stimmt.
Richtig.
> Die Funktion sollte aber immer Lipschitz-stetig sein, wenn
> ich ein eingeschränktes Intervall betrachte.
Anschaulich gesehen erhalten wir die Lipschitz-Stetigkeit
einer stetigen Abbildung, falls die Sekantensteigung be-
schränkt ist. Seien dazu $(x,f(x))$ und $(y,f(y))$ zwei Elemente
des Graphen [mm] $f\$ [/mm] mit [mm] $x\not=y$, [/mm] dann ist die dazugehörige Sekante
die durch die beiden Punkte gehende Gerade. Die Steigung
der Gerade ist dann mit
[mm] \frac{f(x)-f(y)}{x-y}
[/mm]
gegeben und somit sagt uns im Grunde die Bedingung
[mm] $|f(x)-f(y)|\le [/mm] L|x-y|$ für alle [mm] $x,y\in D_f$
[/mm]
gerade, dass unabhängig der gewählten Punkte des Graphen
die Steigung betragsmäßig immer kleiner oder gleich [mm] $L\$ [/mm] ist.
Kannst du dir das nun etwas besser vorstellen?
> Macht es Sinn Funktionen auf uneingeschränkten Intervallen
> zu betrachten. Da sollte dann doch nie etwas sinnvolles bei
> rumkommen.
Das stimmt nicht. Überprüfe die konstante Abbildung
[mm] $g\colon\IR\to\IR\colon x\mapsto [/mm] c$,
wobei
[mm] c\in\IR
[/mm]
beliebig, auf Lipschitz-Stetigkeit.
Man kann übrigens zeigen, dass jedes Polynom
[mm] p(x)=\sum_{i=0}^{n}a_i*x^{i}
[/mm]
auf einem beschränkten Intervall [mm] $D\$ [/mm] Lipschitz-stetig ist.
Das kannst du auch mal zeigen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Fr 06.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja, da steckt doch einfach der Mittelwertsatz hinter, dass
[mm] $f'(\zeta)(x-y)$
[/mm]
Dabei ist [mm] $f'(\zeta)$ [/mm] ja auch einfach irgendeine Konstante.
Letzteres war von mir auch erstmal nur eine Vermutung, wobei ich mir auch sicher war, dass es bestimmt ein Gegenbeispiel gibt.
Okay, vielen Dank für die Hilfe.
Wenn du noch eine interessante Information zu dem Thema hast, dann zögere nicht sie mir mitzuteilen. Ansonsten ist der Thread für mich hier fürs erste abgeharkt.
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Fr 06.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Ja, da steckt doch einfach der Mittelwertsatz hinter, dass
>
> [mm]f'(\zeta)(x-y)[/mm]
>
> Dabei ist [mm]f'(\zeta)[/mm] ja auch einfach irgendeine Konstante.
Hier musst du auch aufpassen, denn es gibt lipschitz-
stetige Funktionen, die nicht zum Beispiel nicht überall
differenzierbar sind.
Dazu betrachte
$h(x):=|x|$.
> Letzteres war von mir auch erstmal nur eine Vermutung,
> wobei ich mir auch sicher war, dass es bestimmt ein
> Gegenbeispiel gibt.
>
> Okay, vielen Dank für die Hilfe.
> Wenn du noch eine interessante Information zu dem Thema
> hast, dann zögere nicht sie mir mitzuteilen.
Ihr werdet sicher in der Vorlesung bald ein paar Sätze
dazu beweisen. Dann sollte alles klar(er) werden.
> Ansonsten ist
> der Thread für mich hier fürs erste abgeharkt.
>
> Danke.
Gern geschehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Fr 06.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja, die Lipschitz-Stetigkeit hatten wir schon vor ein paar Wochen und sind jetzt weiter, aber so richtig verwendet haben wir es nur in 2-3 Sätzen.
Der Banachsche Fixpunktsatz wurde heute angekündigt. Das hier die Lipschitz-Stetigkeit auftaucht hast du ja bereits erwähnt.
Mal gucken ob es dann klarer wird. Wohl eher verwirrender. :)
Danke.
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