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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Lösen von DGen
Lösen von DGen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lösen von DGen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 Sa 21.05.2011
Autor: Roffel

Aufgabe
Bestimmen sie die Lösungen der folgenden Anfangswertprobleme und geben sie jeweils die maximale Defintionsmenge an:

Hi

ich hab hier ein Vorzeichen Problem....

a) [mm] x'=x^{2}, [/mm]    x(2)=1
   [mm] \bruch{dx}{dt}=x^{2} [/mm]
   [mm] \integral{\bruch{1}{x^{2}}dx}= \integral{dt*1} [/mm]
    - [mm] \bruch{1}{x}+c1= [/mm] t +c2      
    - [mm] \bruch{1}{x} [/mm]      = t-c1+c2
    [mm] \bruch{1}{x} [/mm]   = -t -c             hier ist glaub mein problem, ich fasse hier ja c1 und c2 zusammen, aber wie lautet dann das Vorzeichen von c?? ich mach ja danach das ganze mal -1 .... wie ist das die regel, ich will ja -c1+c2 = c machen, wenn ich dann sage es heisst +c, dann kommt das raus:
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] = -t -c
was dann
[mm] x=\bruch{1}{-t+c} [/mm]  aber ergeben muss und nicht -t-c.... wo ist da mein kleiner Fehler...????

Grüße
        
Bezug
Lösen von DGen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Sa 21.05.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Roffel,


> Bestimmen sie die Lösungen der folgenden
> Anfangswertprobleme und geben sie jeweils die maximale
> Defintionsmenge an:
>  Hi
>  
> ich hab hier ein Vorzeichen Problem....
>  
> a) [mm]x'=x^{2},[/mm]    x(2)=1
>     [mm]\bruch{dx}{dt}=x^{2}[/mm]
>     [mm]\integral{\bruch{1}{x^{2}}dx}= \integral{dt*1}[/mm] [ok]

> - [mm]\bruch{1}{x}+c1=[/mm] t +c2       [ok]

Du kannst die beiden Integrationskonstanten direkt zu einer - sagen wir c - zusammenfassen und nur auf die rechte Seite packen.

Üblicherweise schreibt man direkt:

[mm]-\frac{1}{x}=t+c[/mm]  mit [mm] $c\in\IR$ [/mm]

> - [mm]\bruch{1}{x}[/mm]      = t-c1+c2
>      [mm]\bruch{1}{x}[/mm]   = -t -c             [ok] hier ist glaub mein
> problem, ich fasse hier ja c1 und c2 zusammen, aber wie
> lautet dann das Vorzeichen von c?? ich mach ja danach das
> ganze mal -1 .... wie ist das die regel, ich will ja -c1+c2
> = c machen,

Das ist egal, wenn [mm]c=c_2-c_1[/mm] ganz [mm]\IR[/mm] durchläuft, so tut es auch [mm]-c[/mm]

> wenn ich dann sage es heisst +c, dann kommt das
> raus:
>  [mm]\bruch{1}{x}[/mm] = -t -c [ok]

Mit [mm]c\in\IR[/mm]

Das kannst du genauso schreiben als [mm]\frac{1}{x}=-t+\tilde c[/mm] mit [mm]\tilde c\in\IR[/mm] - es ist [mm]\tilde c=-c[/mm] und durchläuft dann ebenfalls ganz [mm]\IR[/mm]

>  was dann
> [mm]x=\bruch{1}{-t+c}[/mm]  [ok] aber ergeben muss und nicht -t-c.... wo
> ist da mein kleiner Fehler...????

Kein Fehler! Alles ok.

Rechne mal in beiden Darstellungen [mm]x(t)=\frac{1}{-t-c}[/mm] und [mm]x(t)=\frac{1}{-t+\tilde c}[/mm] mithilfe der AB [mm]x(2)=1[/mm] das [mm]c[/mm] bzw. [mm]\tilde c[/mm] aus ...

Welche Lösungsfunktion erhältst du?

Und wie sieht es mit ihrem max. Definitionsbereich aus?


>  
> Grüße

LG

schachuzipus

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