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Lösen von Funktionen: Korrektur
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 17:01 Mi 18.05.2011
Autor: Shizo

Aufgabe 1
Aufgabe a) Man löse die folgenden Gleichungen

1. [mm] 3e^{2x}-2e^{x}=1 [/mm]

Aufgabe 2
2. ln(2x+1)-3=ln(x+5)

Möchte meine Lösungen gerne abgesegnet haben. Bedanke mich schon mal im voraus für Eure Mühe.

Zu Aufgabe 1:

[mm] 3e^{2x}-2e^{x}=1 [/mm]

[mm] 3e^{x}^{2}-2e^{x}=1 [/mm]                   für [mm] X=e^{x} [/mm] (diesen Schritt habe ich der Vorlesung entnommen)

[mm] 3X^{2}-2X-1=0 [/mm]

[mm] X^{2}-\bruch{2}{3}X-\bruch{1}{3}=0 [/mm]

An dieser Stelle pq-Formel:

[mm] X_{1/2}=-\bruch{1}{3}\pm\wurzel{(\bruch{1}{9})+1} [/mm] daraus folgt...

[mm] X_{1}=\bruch{-1-\wurzel{10}}{3} [/mm]  und   [mm] X_{2}=\bruch{-1+\wurzel{10}}{3} [/mm]

Für [mm] X_{1} [/mm] = [mm] \bruch{-1-\wurzel{10}}{3} \Rightarrow e^{x} [/mm] = [mm] ln\bruch{-1-\wurzel{10}}{3} [/mm]


Für [mm] X_{2} [/mm] = [mm] \bruch{-1+\wurzel{10}}{3} \Rightarrow e^{x} [/mm] = [mm] ln\bruch{-1+\wurzel{10}}{3} [/mm]

[mm] \IL={(ln\bruch{-1-\wurzel{10}}{3},ln\bruch{-1+\wurzel{10}}{3})} [/mm]


Zu Aufgabe 2:

ln(2x+1)-3=ln(x+5)

ln(2x+1)-ln(x+5)=3   |      Logarithmengesetz: [mm] \bruch{x}{y}=lnx-lny [/mm]

[mm] \bruch{ln(2x+1)}{ln(x+5)}=3 [/mm]           |   e

[mm] e^{\bruch{ln(2x+1)}{ln(x+5)}}=e^{3} [/mm]   |   e und ln heben sich auf

[mm] \bruch{(2x+1)}{(x+5)}= e^{3} [/mm]      |   *(x+5)

[mm] (2x+1)=e^{3}*(x+5) \gdw (2x+1)=xe^{3}+5e^{3} [/mm]

[mm] 2x-x^{3}=5e^{3}-1 [/mm]                     |   x ausklammern

[mm] x(2-e^{3})=5e^{3}-1 [/mm]

[mm] x=\bruch{5e^{3}-1}{2-e^{3}} [/mm]

        
Bezug
Lösen von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:14 Mi 18.05.2011
Autor: Adamantin


> Aufgabe a) Man löse die folgenden Gleichungen
>  
> 1. [mm]3e^{2x}-2e^{x}=1[/mm]
>  2. ln(2x+1)-3=ln(x+5)
>  Möchte meine Lösungen gerne abgesegnet haben. Bedanke
> mich schon mal im voraus für Eure Mühe.
>  
> Zu Aufgabe 1:
>  
> [mm]3e^{2x}-2e^{x}=1[/mm]
>  
> [mm]3e^{x}^{2}-2e^{x}=1[/mm]                   für [mm]X=e^{x}[/mm] (diesen
> Schritt habe ich der Vorlesung entnommen)
>  
> [mm]3X^{2}-2X-1=0[/mm]
>
> [mm]X^{2}-\bruch{2}{3}X-\bruch{1}{3}=0[/mm]
>  
> An dieser Stelle pq-Formel:
>  
> [mm]X_{1/2}=-\bruch{1}{3}\pm\wurzel{(\bruch{1}{9})+1}[/mm] daraus

[notok] Achtung, es heißt -p/2, also wären es hier +1/3. Auch stimmt deine +1 hinten nicht. Es heißt doch unter der Wurzel: [mm] (p/2)^2-q [/mm] und q ist bei der -1/3, also müsste dort + 1/3 stehen...

> folgt...
>  
> [mm]X_{1}=\bruch{-1-\wurzel{10}}{3}[/mm]  und  
> [mm]X_{2}=\bruch{-1+\wurzel{10}}{3}[/mm]
>  
> Für [mm]X_{1}[/mm] = [mm]\bruch{-1-\wurzel{10}}{3} \Rightarrow e^{x}[/mm]
> = [mm]ln\bruch{-1-\wurzel{10}}{3}[/mm]

[notok] Aua, aua....du solltest mal die Probe deiner Lösungen machen. Kannst du mit dem Taschenrechner ln(a) berechnen, wenn a < 0 ? Du hast im Zähler [mm] -1-\wurzel{10} [/mm] stehen und das ist garantiert kleiner als 0. Damit hättest du eine nicht definierte Lösung!

>  
>
> Für [mm]X_{2}[/mm] = [mm]\bruch{-1+\wurzel{10}}{3} \Rightarrow e^{x}[/mm]
> = [mm]ln\bruch{-1+\wurzel{10}}{3}[/mm]
>  
> [mm]\IL={(ln\bruch{-1-\wurzel{10}}{3},ln\bruch{-1+\wurzel{10}}{3})}[/mm]
>  

Ich rate dir zu folgendem Vorgehen:

Rechne nochmal mit richtigen Vorzeichen ;)

>
> Zu Aufgabe 2:
>  
> ln(2x+1)-3=ln(x+5)
>  
> ln(2x+1)-ln(x+5)=3   |      Logarithmengesetz:
> [mm]\bruch{x}{y}=lnx-lny[/mm]
>  
> [mm]\bruch{ln(2x+1)}{ln(x+5)}=3[/mm]           |   e
>  
> [mm]e^{\bruch{ln(2x+1)}{ln(x+5)}}=e^{3}[/mm]   |   e und ln heben
> sich auf
>  
> [mm]\bruch{(2x+1)}{(x+5)}= e^{3}[/mm]      |   *(x+5)
>  
> [mm](2x+1)=e^{3}*(x+5) \gdw (2x+1)=xe^{3}+5e^{3}[/mm]
>  
> [mm]2x-x^{3}=5e^{3}-1[/mm]                     |   x ausklammern
>  
> [mm]x(2-e^{3})=5e^{3}-1[/mm]
>  
> [mm]x=\bruch{5e^{3}-1}{2-e^{3}}[/mm]  

[ok] dir ist unterwegs nur ein Schusselfehler passiert, es muss [mm] xe^3 [/mm] heißen und nicht [mm] x^3 [/mm] in der dritten Zeilen von unten, ansonsten korrekt.

ABER prüfe ob dies ein Ergebnis sein kann, denn dein Ergebnis ist ungefähr -5,5. Kannst du das in ln einsetzen?



Bezug
                
Bezug
Lösen von Funktionen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:41 Mi 18.05.2011
Autor: Shizo

Ja, ich muss gestehen, war wirklicher Mist. Aber dafür wollte ich es ja abgesegnet haben!!! =)

[mm] X_{1/2}=\bruch{1}{3}\pm\wurzel{(\bruch{1}{9})+\bruch{1}{3}} [/mm]

[mm] X_{1/2}=\bruch{1}{3}\pm\wurzel{(\bruch{12}{27})} [/mm]

[mm] X_{1/2}=\bruch{1}{3}\pm\bruch{2}{3} [/mm]

[mm] X_{1}=-\bruch{1}{3} [/mm] ;      [mm] X_{2}=1 [/mm]

D.h. meine Lösungsmenge würde lauten:

[mm] \IL=(0) [/mm]

Das mit der negativen Seite hatte ich mir doch schon fast gedacht. War mir dessen aber nicht sicher! Danke für den Hinweis.


Was [mm] 2x-x^{3}=5e^{3}-1 [/mm] angeht. Hmm, da hat wohl die Taste e blockiert. =)

Vielen Dank nochmals für die Korrektur!!!

Bezug
                        
Bezug
Lösen von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:45 Mi 18.05.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Shizo,

> Ja, ich muss gestehen, war wirklicher Mist. Aber dafür
> wollte ich es ja abgesegnet haben!!! =)
>
> [mm]X_{1/2}=\bruch{1}{3}\pm\wurzel{(\bruch{1}{9})+\bruch{1}{3}}[/mm] [ok]
>
> [mm]X_{1/2}=\bruch{1}{3}\pm\wurzel{(\bruch{12}{27})}[/mm]
>
> [mm]X_{1/2}=\bruch{1}{3}\pm\bruch{2}{3}[/mm]
>
> [mm]X_{1}=-\bruch{1}{3}[/mm] ; [mm]X_{2}=1[/mm] [ok]
>
> D.h. meine Lösungsmenge würde lauten:
>
> [mm]\IL=(0)[/mm]

Wenn du damit die Menge, die [mm]x=0[/mm] enthält meinst, dann ja!

[mm]\IL=\{0\}[/mm]

>
> Das mit der negativen Seite hatte ich mir doch schon fast
> gedacht. War mir dessen aber nicht sicher! Danke für den
> Hinweis.
>
>
> Was [mm]2x-x^{3}=5e^{3}-1[/mm] angeht. Hmm, da hat wohl die Taste e
> blockiert. =)
>
> Vielen Dank nochmals für die Korrektur!!!


Gruß

schachuzipus


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