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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Lösungsverhalten von DGL
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Lösungsverhalten von DGL: Rückfrage, Korrektur, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:47 Do 01.02.2018
Autor: Dom_89

Aufgabe
Bestimme durch ein geeignetes Verfahren die Lösung:

a) y`(x) = [mm] 2\bruch{y(x)}{x}-\bruch{x}{y(x)} [/mm]

b) y`(x) = [mm] \wurzel[3]{y(x)^2}*sin(x) [/mm]

Hallo,

bei den beiden o.g. Aufgaben würde ich nun zunächst mit der Substitution beginnen und bei

a) [mm] \bruch{y(x)}{x} [/mm] = u

und

b) [mm] y(x)^2 [/mm] = u

setzen.

Ist das für die beiden Aufgaben die richtige Wahl?

Vielen Dank

        
Bezug
Lösungsverhalten von DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:19 Do 01.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Bestimme durch ein geeignetes Verfahren die Lösung:

>

> a) y'(x) = [mm]2\bruch{y(x)}{x}-\bruch{x}{y(x)}[/mm]

>

> b) y'(x) = [mm]\wurzel[3]{y(x)^2}*sin(x)[/mm]
> Hallo,

>

> bei den beiden o.g. Aufgaben würde ich nun zunächst mit
> der Substitution beginnen und bei

>

> a) [mm]\bruch{y(x)}{x}[/mm] = u

>

Das passt. [ok]

> und

>

> b) [mm]y(x)^2[/mm] = u

>

> setzen.

Nein, die b) geht ganz einfach durch Trennung der Variablen. Da braucht man nichts zu substituieren. :-)


Gruß, Diophant

Bezug
                
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Lösungsverhalten von DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:09 Sa 03.02.2018
Autor: Dom_89

Hallo,

die Aufgabe b) konnte ich ohne Probleme lösen.

Bei Aufgabe a) läuft es leider nicht so rund :(

y'(x) = [mm] 2\bruch{y(x)}{x}-\bruch{x}{y(x)} [/mm]

Ich substituiere ja dann [mm] \bruch{y(x)}{x} [/mm] = u

Dann habe ich ja y'(x) = [mm] 2u-\bruch{x}{y(x)} [/mm]

Oder muss ich noch mehr substituieren ?

Vielen Dank



Bezug
                        
Bezug
Lösungsverhalten von DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:23 Sa 03.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

>

> die Aufgabe b) konnte ich ohne Probleme lösen.

>

> Bei Aufgabe a) läuft es leider nicht so rund :(

>

> y'(x) = [mm]2\bruch{y(x)}{x}-\bruch{x}{y(x)}[/mm]

>

> Ich substituiere ja dann [mm]\bruch{y(x)}{x}[/mm] = u

>

> Dann habe ich ja y'(x) = [mm]2u-\bruch{x}{y(x)}[/mm]

>

> Oder muss ich noch mehr substituieren ?

So macht es doch keinen Sinn, oder?

Also wenn

[mm] u=\frac{y}{x} [/mm]

dann gilt sicherlich im Umkehrschluss (kleines Wortspiel ;-) )

[mm] \frac{x}{y}=\frac{1}{u} [/mm]

Damit hätten wir schon einmal

[mm] y'=2u-\frac{1}{u} [/mm] (*)


Aber das bringt natürlich immer noch nichts, denn links steht jetzt ein unbrauchbarer Differenzialquotient. Was tun?

Wir formen um:

[mm]u=\frac{y}{x}\gdw y=u*x[/mm]

Jetzt beachte, dass u eine Funktion von x ist. Damit können wir die obige Gleichung mittels Produktregel ableiten:

[mm]y'=u'*x+u[/mm]

Wenn du damit in die Gleichung (*) eingehst, bekommst du eine neue DGL für die Funktion u(x), und diese musst du jetzt versuchen zu lösen, um anschließend zurückzusubtituieren.


Gruß, Diophant

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Lösungsverhalten von DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:22 So 04.02.2018
Autor: Dom_89

Hallo,

vielen Dank für die ausführliche Antwort!

Wie du schon beschrieben hast erhalte ich nach der Substitution ja dann [mm] y'=2u-\frac{1}{u}. [/mm] Das weitere Vorgehen hast du bereits auch erläutert, dennoch habe ich eine kurze Frage:

Wir haben die "Formel" u' = [mm] \bruch{g(u)-u}{x} [/mm] gezeigt bekommen.

Mein g(u) entspricht ja nun dem [mm] y'=2u-\frac{1}{u} [/mm]

Eingesetzt erhalte ich dann

u' = [mm] \bruch{2u-\frac{1}{u}-u}{x} [/mm] = [mm] \bruch{2u-1-u}{ux} [/mm] = [mm] \bruch{u-1}{ux} [/mm]

[mm] \bruch{du}{dx}= \bruch{u-1}{ux} [/mm]

An dieser Stelle komme ich nun aber leider nicht mit der Trennung der Variablen nach u und x klar :(

Kann ich den von mir beschriebenen Weg überhaupt so gehen ?

Vielen Dank

Bezug
                                        
Bezug
Lösungsverhalten von DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:32 So 04.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

>

> vielen Dank für die ausführliche Antwort!

>

> Wie du schon beschrieben hast erhalte ich nach der
> Substitution ja dann [mm]y'=2u-\frac{1}{u}.[/mm] Das weitere
> Vorgehen hast du bereits auch erläutert, dennoch habe ich
> eine kurze Frage:

>

> Wir haben die "Formel" u' = [mm]\bruch{g(u)-u}{x}[/mm] gezeigt
> bekommen.

Das verstehe ich nicht so ganz, es scheint aber richtig zu sein und sich speziell auf diese Aufgabe zu beziehen?

> Mein g(u) entspricht ja nun dem [mm]y'=2u-\frac{1}{u}[/mm]

>

> Eingesetzt erhalte ich dann

>

> u' = [mm]\bruch{2u-\frac{1}{u}-u}{x}[/mm] = [mm]\bruch{2u-1-u}{ux}[/mm] =
> [mm]\bruch{u-1}{ux}[/mm]

>

> [mm]\bruch{du}{dx}= \bruch{u-1}{ux}[/mm]

>

Da oben stimmt noch die erste Gleichheit. Ab dann wird es abenteuerlich. ;-)

Tipp:

[mm]u-\frac{1}{u}= \frac{u^2-1}{u}[/mm]

> An dieser Stelle komme ich nun aber leider nicht mit der
> Trennung der Variablen nach u und x klar :(

>

> Kann ich den von mir beschriebenen Weg überhaupt so gehen
> ?

Dein angedachter Weg ist schon richtig (genau das hatte ich ja auch vorgeschlagen). Aber du hast beim Umformen des Bruchterms Fehler gemacht, diese gilt es zunächst, zu behebn.

Letztendlich kommt man (zur Kontrolle) auf folgende DGL:

[mm] u'*x=\frac{u^2-1}{u} [/mm]

Und da ist die Trennung der Variablen doch naheliegend (Stichwort: wie kommt ein Bruch, der als Faktor auf einer Seite steht, beim Umformen einer Gleichung auf die andere Seite?).


Gruß, Diophant

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Lösungsverhalten von DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:35 So 04.02.2018
Autor: Dom_89

Hallo,

danke für die Antwort!

ich bin nun nach Umformen des Bruchs auf [mm] u'=\frac{u^2-1}{u} [/mm]  (Wie du ja auch geschrieben hast)

Nun verstehe ich aber leider nicht, wie die Trennung der Variablen nur mit "u" funktionieren soll - ich habe doch kein"x" mehr, da es sich im Bruch doch herausgekürzt hat - oder übersehe ich da (mal wieder) etwas ?


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Bezug
Lösungsverhalten von DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:35 So 04.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

>

> danke für die Antwort!

>

> ich bin nun nach Umformen des Bruchs auf [mm]u'=\frac{u^2-1}{u}[/mm]
> (Wie du ja auch geschrieben hast)

>

> Nun verstehe ich aber leider nicht, wie die Trennung der
> Variablen nur mit "u" funktionieren soll - ich habe doch
> kein"x" mehr, da es sich im Bruch doch herausgekürzt hat -
> oder übersehe ich da (mal wieder) etwas ?

Ich weiß nicht, was du falsch gemacht hast, aber die richtige Version muss lauten

[mm]u'*x= \frac{u^2-1}{u}[/mm]

Versuche mal selbst, deinen Fehler zu finden.


Gruß, Diophant

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Lösungsverhalten von DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:40 So 04.02.2018
Autor: Dom_89

Hallo,

hier einmal, wie ich es "gelöst" habe:

u'= [mm] \bruch{g(u)-u}{x}=\bruch{2u-\bruch{1}{u}-u}{x} [/mm]

[mm] \bruch{2u}{1}-\bruch{1}{u}=\bruch{2u^2-1}{u} [/mm]

[mm] \bruch{2u^2-1}{u}-\bruch{u}{x}=\bruch{2u^2-1x-u^2}{ux} [/mm] = [mm] \bruch{u^2-1}{u} [/mm]

Dann scheint irgendwo ein Denkfehler drin zu sein

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Bezug
Lösungsverhalten von DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:52 So 04.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,
>

> hier einmal, wie ich es "gelöst" habe:

>

> u'= [mm]\bruch{g(u)-u}{x}=\bruch{2u-\bruch{1}{u}-u}{x}[/mm]

>

> [mm]\bruch{2u}{1}-\bruch{1}{u}=\bruch{2u^2-1}{u}[/mm]

>

> [mm]\bruch{2u^2-1}{u}-\bruch{u}{x}=\bruch{2u^2-1x-u^2}{ux}[/mm] =
> [mm]\bruch{u^2-1}{u}[/mm]

>

> Dann scheint irgendwo ein Denkfehler drin zu sein

das sind eklatante Unkenntnisse in Sachen Bruchrechnung!

Deine Methode korrekt gerechnet ergibt:

[mm]\begin{aligned} u'&= \frac{2u- \frac{1}{u}-u}{x}\\ \\ &=\frac{u- \frac{1}{u}}{x}\\ \\ &= \frac{ \frac{u^2-1}{u}}{x}\\ \\ &= \frac{u^2-1}{u*x} \end{aligned}[/mm]


Gruß, Diophant

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Lösungsverhalten von DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:18 Mo 05.02.2018
Autor: Dom_89

Hallo,

vielen Dank für die Antwort!

u'= [mm] \bruch{u^2-1}{u*x} [/mm]

[mm] \bruch{du}{dx}= \bruch{u^2-1}{u*x} [/mm]

Dann bin ich ja an der Stelle, an der ich die Trennung der Variablen vornehmen muss:

[mm] \bruch{du}{dx}= \bruch{u^2-1}{u*x} [/mm]

du = [mm] \bruch{u^2-1}{u*x}*dx [/mm]

[mm] \integral\bruch{u}{u^2-1}du =\integral \bruch{1}{x}dx [/mm]

Anschließend die Integrale lösen und die Rücksubstitution vornehmen.

Ist mein Vorgehen so richtig?

Danke!

Bezug
                                                                                        
Bezug
Lösungsverhalten von DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:31 Mo 05.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> vielen Dank für die Antwort!

>

> u'= [mm]\bruch{u^2-1}{u*x}[/mm]

>

> [mm]\bruch{du}{dx}= \bruch{u^2-1}{u*x}[/mm]

>

> Dann bin ich ja an der Stelle, an der ich die Trennung der
> Variablen vornehmen muss:

>

> [mm]\bruch{du}{dx}= \bruch{u^2-1}{u*x}[/mm]

>

> du = [mm]\bruch{u^2-1}{u*x}*dx[/mm]

>

> [mm]\integral\bruch{u}{u^2-1}du =\integral \bruch{1}{x}dx[/mm]

>

> Anschließend die Integrale lösen und die
> Rücksubstitution vornehmen.

>

> Ist mein Vorgehen so richtig?

Perfekt. [ok]

Für das linke Integral noch ein kleiner Hinweis: wenn man den Integrand mit 2 multipliziert, ist er von der Form

[mm] \frac{f'(x)}{f(x)} [/mm]


Gruß, Diophant

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Bezug
Lösungsverhalten von DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:48 Mo 05.02.2018
Autor: Dom_89

Hallo,

danke für die Antwort!

[mm] \integral\bruch{u}{u^2-1}du =\integral \bruch{1}{x}dx [/mm]

Integrand des linken Integrals mit 2 multipliziert ergibt dann:

[mm] \integral\bruch{2u}{u^2-1}du =\integral \bruch{1}{x}dx [/mm]

Lösen der Integrale:

[mm] ln(|u^2-1|) [/mm] = ln(|x|)+C

Umstellen nach u:

u(x) = [mm] \wurzel{e^C*x+1} [/mm]

Rücksubstituieren:

y(x) = u(x)*x

y(x) = [mm] \wurzel{e^C*x+1}*x [/mm]

Hoffe, dass ich keinen Denkfehler drin habe!

Danke


Bezug
                                                                                                        
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Lösungsverhalten von DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:15 Mo 05.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

>

> danke für die Antwort!

>

> [mm]\integral\bruch{u}{u^2-1}du =\integral \bruch{1}{x}dx[/mm]

>

> Integrand des linken Integrals mit 2 multipliziert ergibt
> dann:

>

> [mm]\integral\bruch{2u}{u^2-1}du =\integral \bruch{1}{x}dx[/mm]

>

So war das aber nicht gemeint. ;-). Wenn du eine Gleichung mit 2 multiplizieren möchtest, dann musst du das nach wie vor auf beiden Seiten tun...

> Lösen der Integrale:

>

> [mm]ln(|u^2-1|)[/mm] = ln(|x|)+C

>

Nein, man könnte es bspw. so machen:

[mm]\begin{aligned} \int{ \frac{u}{u^2-1} du}&= \int{ \frac{dx}{x}}\ \gdw\\ \\ \int{ \frac{2u}{u^2-1} du}&= 2*\int{ \frac{dx}{x}}\ \Rightarrow\\ \\ ln\left|u^2-1\right|&=2*ln|x|+C=ln\left(x^2\right)+C \end{aligned} [/mm]

> Umstellen nach u:

>

> u(x) = [mm]\wurzel{e^C*x+1}[/mm]

>

Und das stimmt dann damit natürlich auch nicht (wobei deine Vorgehensweise ausgehend von der falschen Integration korrekt war).

Wenn du hier jetzt erfolgreich zurücksubstituiert hast, solltest du dir aber noch über eine wichtige Tatsache im Klaren sein. Es reicht hier nicht mehr aus, einfach einen Funktionsterm als Lösung anzugeben, sondern man muss da noch genauer hinschauen, was den Definitionsbereich angeht.

Wenn du die ursprüngliche DGL betrachtest müssten zwei Dinge unmittelbar klar sein. x=0 ist ausgeschlossen, ganz gleich ob der Funktionsterm diesen Wert zulassen würde order nicht. Und die Funktion darf keine Nullstellen haben (weshalb?).

Wenn man mit der Integrationskonstante hier korrekt umgeht, dann ist klar, dass dies (außer für x=0) auch nicht möglich ist. Aber um das deutlich zu machen, gehört hier zu einer korrekten Lösung auch eine korrekte Angabe für die Wertemenge, welche von der Integrationskonstante angenommen werden kann. Eine Alternative wäre tatsächlich, dass du die Konstante als [mm] e^C [/mm] stehen lässt, aber das ist eben unschön, also setze am Ende etwa [mm] c=e^C [/mm] und beachte eben, was das für c bedeutet...


Gruß, Diophant

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