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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Logarithmus für kompl. Argum.
Logarithmus für kompl. Argum. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Logarithmus für kompl. Argum.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:10 Di 26.05.2015
Autor: Calculu

Hallo.
Ich beschäftige mich zur Zeit mit der komplexen Analysis und habe zum Logarithmus für komplexe Argumente eine Frage:

Es dreht dich um folgende Umformung:

z [mm] \in \IC \setminus\{0\} [/mm]
exp(ln(z)) = [mm] e^{ln|z|+i*arg(z)} [/mm] = [mm] e^{ln|z|}*(cos(arg(z))+i*sin(arg(z))) [/mm] = z

Mir ist leider der letzte Schritt nicht klar. Für arg(z):= [mm] \pi [/mm] würde gelten:
(cos(arg(z))+i*sin(arg(z)))=1
Wäre dann  [mm] e^{ln|z|} [/mm] = |z| = z ????



        
Bezug
Logarithmus für kompl. Argum.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:26 Di 26.05.2015
Autor: fred97


> Hallo.
>  Ich beschäftige mich zur Zeit mit der komplexen Analysis
> und habe zum Logarithmus für komplexe Argumente eine
> Frage:
>  
> Es dreht dich um folgende Umformung:
>  
> z [mm]\in \IC \setminus\{0\}[/mm]
>  exp(ln(z)) = [mm]e^{ln|z|+i*arg(z)}[/mm] =
> [mm]e^{ln|z|}*(cos(arg(z))+i*sin(arg(z)))[/mm] = z
>  
> Mir ist leider der letzte Schritt nicht klar. Für arg(z):=
> [mm]\pi[/mm] würde gelten:
>  (cos(arg(z))+i*sin(arg(z)))=1


Nein, das stimmt nicht.  Für arg(z)=  [mm]\pi[/mm] ist

  cos(arg(z))+i*sin(arg(z))=-1



>  Wäre dann  [mm]e^{ln|z|}[/mm] = |z| = z ????

Nein, sondern

  [mm]exp(ln(z))=e^{ln|z|}*(-1)[/mm] = -|z| = z,

denn ist arg(z)=  [mm]\pi[/mm], so ist z [mm] \in \IR [/mm] und z<0, also ist |z|=-z

FRED

>  
>  


Bezug
                
Bezug
Logarithmus für kompl. Argum.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:36 Di 26.05.2015
Autor: Calculu


> > Hallo.
>  >  Ich beschäftige mich zur Zeit mit der komplexen
> Analysis
> > und habe zum Logarithmus für komplexe Argumente eine
> > Frage:
>  >  
> > Es dreht dich um folgende Umformung:
>  >  
> > z [mm]\in \IC \setminus\{0\}[/mm]
>  >  exp(ln(z)) =
> [mm]e^{ln|z|+i*arg(z)}[/mm] =
> > [mm]e^{ln|z|}*(cos(arg(z))+i*sin(arg(z)))[/mm] = z
>  >  
> > Mir ist leider der letzte Schritt nicht klar. Für arg(z):=
> > [mm]\pi[/mm] würde gelten:
>  >  (cos(arg(z))+i*sin(arg(z)))=1
>  
>
> Nein, das stimmt nicht.  Für arg(z)=  [mm]\pi[/mm] ist
>  
> cos(arg(z))+i*sin(arg(z))=-1


Ahhh, ja stimmt.

>  
>
>
> >  Wäre dann  [mm]e^{ln|z|}[/mm] = |z| = z ????

>  
> Nein, sondern
>  
> [mm]exp(ln(z))=e^{ln|z|}*(-1)[/mm] = -|z| = z,
>  
> denn ist arg(z)=  [mm]\pi[/mm], so ist z [mm]\in \IR[/mm] und z<0, also ist
> |z|=-z
>  


Ok, das verstehe ich. Aber wieso gilt die Gleichung auch für arg(z) [mm] \not= \pi [/mm] ???

> FRED
>  >  
> >  

>  


Bezug
                        
Bezug
Logarithmus für kompl. Argum.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 Mi 27.05.2015
Autor: fred97

Ist [mm] \phi [/mm] ein Argumemnt von z, so gilt

    [mm] $z=|z|*e^{i \phi}$ [/mm]

Das ist die Polardarstellung der Komplexen Zahl z.

Somit:

  $exp(ln(|z|)+i [mm] \phi)= [/mm] exp(ln(|z|)*exp(i [mm] \phi)=|z|*e^{i \phi}=z$ [/mm]

FRED

Bezug
                                
Bezug
Logarithmus für kompl. Argum.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:14 Mi 27.05.2015
Autor: Calculu


> Ist [mm]\phi[/mm] ein Argumemnt von z, so gilt
>  
> [mm]z=|z|*e^{i \phi}[/mm]
>  
> Das ist die Polardarstellung der Komplexen Zahl z.
>  
> Somit:
>  
> [mm]exp(ln(|z|)+i \phi)= exp(ln(|z|)*exp(i \phi)=|z|*e^{i \phi}=z[/mm]
>  
> FRED

Super, jetzt hab ich's verstanden! Danke!!!


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