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Maß: zuerst ein Tipp, später...
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 23:39 Mi 25.10.2017
Autor: ser

Aufgabe
Sei λ:B( [mm] \IR^n [/mm] )→ [0, ∞] das Lebesgue-Maß und sei [mm] A:\IR^n [/mm] → [mm] \IR^n [/mm] eine bijektive lineare Abbildung.
1.  Zeigen Sie: Für jedes M ∈ B ( [mm] \IR^n) [/mm] gilt A(M) ∈ B ( [mm] \IR^n). [/mm]
Tipp: Zeigen Sie zunächst, dass {M ∈ B( [mm] \IR^n) [/mm] :A(M) ∈ B( [mm] \IR^n)} [/mm] eine σ-Algebra ist.
2. Zeigen Sie: Ist μ:B( [mm] \IR^n) [/mm] → [0,∞] ein von Null verschiedenes, ranslations-invariantes Maß, so gilt μ([0,1)n)>0 und μ(M) =μ([0,1)n)·λ (M) für alle M ∈B ( [mm] \IR^n). [/mm]
3.  Zeigen Sie: Für alle M∈B ( [mm] \IR^n) [/mm] gilt  λ(A(M))=λ(A([0,1)n))·λ(M).




Würde es gerne verstehen und mitarbeiten.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:30 Do 26.10.2017
Autor: tobit09

Hallo ser!


> Würde es gerne verstehen und mitarbeiten.

Gut. Gibt es irgendetwas an der Aufgabenstellung, das du nicht verstehst, oder fehlen dir lediglich Ideen zum Lösen der Aufgabe?

Hast du bei 1. schon versucht den Tipp zu befolgen?


>  2. Zeigen Sie: Ist μ:B( [mm]\IR^n)[/mm] → [0,∞] ein von Null
> verschiedenes, ranslations-invariantes Maß, so gilt
> μ([0,1)n)>0 und μ(M) =μ([0,1)n)·λ (M) für alle M ∈B
> ( [mm]\IR^n).[/mm]

Diese Aussage ist in dieser Allgemeinheit falsch.
Gegenbeispiel: Wir wählen [mm] $\mu$ [/mm] als Zählmaß und [mm] $M=\{5\}$. [/mm]
Dann ist [mm] $\mu(M)=1$, [/mm] aber [mm] $\mu([0,1)^n)\cdot\lambda(M)=\infty\cdot [/mm] 0=0$.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten die wesentliche Aussage zu "retten".
Am besten weist du den/die Dozent(in) auf den Fehler hin und fragst, wie die tatsächliche Aussage lauten soll.

Die "gerettete" Aussage wird wohl sehr aufwendig sauber (d.h. nicht nur die grobe Idee skizzierend) zu zeigen sein.
Daher möchte ich mich an der Lösung dieses Aufgabenteils nicht beteiligen.


>  3.  Zeigen Sie: Für alle M∈B ( [mm]\IR^n)[/mm] gilt  
> λ(A(M))=λ(A([0,1)n))·λ(M).

Hier wird man wohl die korrigierte Version von 2. auf [mm] $\mu$ [/mm] definiert durch [mm] $\mu(M):=\lambda(A(M))$ [/mm] anwenden.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:08 Do 26.10.2017
Autor: ser

Super vielen Dank.

Bezug
                        
Bezug
Maß: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:12 Do 26.10.2017
Autor: tobit09

Gerne. :-)

Kommst du mit meinen knappen Hinweisen und Rückfragen schon weiter?

Bei Bedarf kannst du ja meine Rückfragen beantworten und nochmal nachfragen.

Bezug
                
Bezug
Maß: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:13 Do 26.10.2017
Autor: donquijote


> Hallo ser!
>  
>
> > Würde es gerne verstehen und mitarbeiten.
>  Gut. Gibt es irgendetwas an der Aufgabenstellung, das du
> nicht verstehst, oder fehlen dir lediglich Ideen zum Lösen
> der Aufgabe?
>  
> Hast du bei 1. schon versucht den Tipp zu befolgen?
>  
>
> >  2. Zeigen Sie: Ist μ:B( [mm]\IR^n)[/mm] → [0,∞] ein von Null

> > verschiedenes, ranslations-invariantes Maß, so gilt
> > μ([0,1)n)>0 und μ(M) =μ([0,1)n)·λ (M) für alle M ∈B
> > ( [mm]\IR^n).[/mm]
>  Diese Aussage ist in dieser Allgemeinheit falsch.
>  Gegenbeispiel: Wir wählen [mm]\mu[/mm] als Zählmaß und [mm]M=\{5\}[/mm].
>  Dann ist [mm]\mu(M)=1[/mm], aber
> [mm]\mu([0,1)^n)\cdot\lambda(M)=\infty\cdot 0=0[/mm].

Hallo,
das Gegenbespiel überzeugt mich nicht wirklich, da ich die Aussage [mm]\infty\cdot 0=0[/mm] in diesem Zusammenhang zumindest für gewagt halte. In der Maßtheorie würde das nur gelten, wenn [mm]\infty[/mm] für abzählbar unendlich steht.
Trotzdem ergibt die zu zeigende Behauptung nur wirklich Sinn, wenn [mm]\mu([0;1)^n)<\infty[/mm] ist, was man sinnvollerweise vorausetzen sollte.

>  
> Es gibt verschiedene Möglichkeiten die wesentliche Aussage
> zu "retten".
>  Am besten weist du den/die Dozent(in) auf den Fehler hin
> und fragst, wie die tatsächliche Aussage lauten soll.
>  
> Die "gerettete" Aussage wird wohl sehr aufwendig sauber
> (d.h. nicht nur die grobe Idee skizzierend) zu zeigen
> sein.
>  Daher möchte ich mich an der Lösung dieses Aufgabenteils
> nicht beteiligen.

Die Aussage kann zunächst für Quader M mit rationalen Seitenlängen gezeigt werden. Da diese einen durchschnittsstabilen Erzeuger der Borel-Sigma-Algebra bilden, ist das Maß dadurch (im Fall [mm]\mu([0;1)^n)<\infty[/mm]) eindeutig festgelegt.

>  
>
> >  3.  Zeigen Sie: Für alle M∈B ( [mm]\IR^n)[/mm] gilt  

> > λ(A(M))=λ(A([0,1)n))·λ(M).
>  Hier wird man wohl die korrigierte Version von 2. auf [mm]\mu[/mm]
> definiert durch [mm]\mu(M):=\lambda(A(M))[/mm] anwenden.
>  
>
> Viele Grüße
>  Tobias


Bezug
                        
Bezug
Maß: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:39 Do 26.10.2017
Autor: tobit09

Hi donquijote!


Danke für deinen Beitrag!


>  das Gegenbespiel überzeugt mich nicht wirklich, da ich
> die Aussage [mm]\infty\cdot 0=0[/mm] in diesem Zusammenhang
> zumindest für gewagt halte. In der Maßtheorie würde das
> nur gelten, wenn [mm]\infty[/mm] für abzählbar unendlich steht.

Ich kenne [mm] $\infty\cdot [/mm] 0:=0$ als nützliche und übliche Festsetzung in der Maß- und Integrationstheorie.
Bei Bedarf kann ich dazu ein Zitat aus dem Maß- und Integrationstheorie-Buch von Bauer heraussuchen.

(Mir erscheint deine weitere Argumentation merkwürdig: Für mich ist [mm] $\infty$ [/mm] einfach ein Symbol. Für dich steht [mm] $\infty$ [/mm] manchmal für "abzählbar unendlich"? Und manchmal nicht?)


> Die Aussage kann zunächst für Quader M mit rationalen
> Seitenlängen gezeigt werden. Da diese einen
> durchschnittsstabilen Erzeuger der Borel-Sigma-Algebra
> bilden,

Nein, dieser Erzeuger ist nicht durchschnittsstabil.
Aber wir können stattdessen den durchschnittsstabilen Erzeuger der Intervalle der Form [mm] $[a_1,b_1)\times\ldots[a_n,b_n)$ [/mm] mit [mm] $a_i,b_i\in\IQ$ [/mm] für [mm] $i=1,\ldots,n$ [/mm] betrachten.

Die wesentliche Arbeit besteht nun darin zu zeigen, dass für derartige Quader M die gewünschte Gleichung gilt.


> ist das Maß dadurch (im Fall [mm]\mu([0;1)^n)<\infty[/mm])
> eindeutig festgelegt.

Hier muss man genauer argumentieren: Im Allgemeinen sind Maße durch ihre Werte auf durchschnittsstabilen Erzeugern nicht eindeutig bestimmt.

Aber es gilt folgender Eindeutigkeitssatz, der hier weiterhilft:
Seien [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\nu$ [/mm] Maße auf [mm] $(\Omega,\mathcal{A})$, [/mm] die auf einem durchschnittsstabilen Erzeuger von [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] übereinstimmen.
Es gebe eine Folge [mm] $(A_n)_{n\in\IN}$ [/mm] von Elementen [mm] $A_n\in\mathcal{A}$ [/mm] mit [mm] $\bigcup_{n\in\mathcal{N}}A_n=\Omega$, [/mm] so dass für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt: [mm] $\mu(A_n)=\nu(A_n)<\infty$. [/mm]
Dann gilt [mm] $\mu=\nu$. [/mm]


Viele Grüße
Tobias

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