www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Analysis des R1" - Maximum, Minimum
Maximum, Minimum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Maximum, Minimum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:20 Mo 21.04.2014
Autor: Gina2013

Aufgabe
Es sei M eine endliche Menge reeller Zahlen. Zeigen Sie, dass M ein Min hat
   und das min(M)=-max(-M) gilt, wobei die Menge -M definiert ist als [mm] \{-x |x\in M \} [/mm]

Guten Abend, könnte mir jemand vl paar Tipps zur Lösung diese Aufgabe geben?
Habe [mm] min(M)=\{x |x\in Mx\inM \}, [/mm] wobei -x=min(M) ist und [mm] min(-M)=\{-x|x\in M \} [/mm] definiert. Wäre das schon mal richtiger Anfang? Wenn ja, dann wüßte ich nicht, wie ich max definieren sollte.
Freue mich über jede Hilfe.
Lg Gina

        
Bezug
Maximum, Minimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:33 Di 22.04.2014
Autor: leduart

Hallo
du musst die Def. von Min bzw Max benutzen, und das was da steht ist doch nicht richtig?
wenn [mm] x\in [/mm] M dann muss doch -x nicht in M liegen, adann kann doch -x nicht Min(M) sein.
1. Schritt, du sollst zeigen dass M ein Min und ein Max hat, dazu musst du benutzen, dass M endlich ist. und aus reellen Zahlen besteht.
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
Maximum, Minimum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:45 Di 22.04.2014
Autor: Gina2013

Vielen Dank, ist schon viel verständlicher geworden, aber dann wäre [mm] M=\{ m_{1}, m_{2}, ......, m_{n} \}, [/mm] und [mm] 0 M [mm] \subseteq\IR, [/mm] aber warum ist die Menge M endlich? Und wie zeige ich das? Oder sagt [mm] m_{n} [/mm] schon, dass die Menge endlich ist?

Bezug
                        
Bezug
Maximum, Minimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:41 Di 22.04.2014
Autor: DieAcht

Hallo Gina,


Die Menge

      [mm] M\subset\IR [/mm]

ist nach Voraussetzung endlich!

Du kannst [mm] $M\not=\emptyset$ [/mm] definieren als

      [mm] M=\{a_1,\ldots,a_n\}=\{a_k\mid k=1,2,\ldots,n\}, [/mm]

wobei

      [mm] a_1,\ldots,a_n\in\IR [/mm]

und

      [mm] |M|=n\in\IN [/mm]

die Mächtigkeit von [mm] $M\$ [/mm] ist.

Zeige nun induktiv, dass [mm] $M\$ [/mm] ein Minimum besitzt. Der Be-
weis, dass [mm] $M\$ [/mm] ein Maximum besitzt ist dann analog. Falls
du das voraussetzen darfst, dann definiere direkt das Max-
imum bzw. das Minimum und zeige die Eigenschaft.


Gruß
DieAcht

Bezug
                                
Bezug
Maximum, Minimum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:55 Di 22.04.2014
Autor: Gina2013

Hallo noch mal.
Komme jetzt irgendwie nicht weiter.
Also, wie ich vorhin min und max von der Menge M gezeigt habe, ist falsch?
Gruß Gina


Bezug
                                        
Bezug
Maximum, Minimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:52 Di 22.04.2014
Autor: DieAcht

Du hast doch auch [mm] $M\not=\emptyset$ [/mm] definiert als

      [mm] M=\{a_1,\ldots,a_n\}=\{a_k\mid k=1,2,\ldots,n\}, [/mm]

wobei

      [mm] a_1,\ldots,a_n\in\IR, [/mm]

aber daraus folgt nicht

      [mm] $a_1\le a_2\le\ldots\le a_n$, [/mm]

sowie

      [mm] \min(M)=a_1 [/mm] und [mm] \max(M)=a_n. [/mm]

Mein Tipp bleibt:

Zeige nun induktiv, dass $ M\ $ ein Minimum besitzt. Der Be-
weis, dass $ M\ $ ein Maximum besitzt ist dann analog. Falls
du das voraussetzen darfst, dann definiere direkt das Max-
imum bzw. das Minimum und zeige die Eigenschaft.

Eventuell zum Verständnis: [mm] \IR [/mm] ist ein angeordneter Körper.

Bezug
                                                
Bezug
Maximum, Minimum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:01 Di 22.04.2014
Autor: Gina2013

Soll ich dann schreiben, dass [mm] 0\le a_{1} [/mm] damit man sieht, dass [mm] a_{1} [/mm] ein Minimum ist? Oder verstehe ich nicht, wie man induktiv zeigen soll.

Bezug
                                                        
Bezug
Maximum, Minimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:07 Di 22.04.2014
Autor: DieAcht


> Soll ich dann schreiben, dass [mm]0\le a_{1}[/mm] damit man sieht,
> dass [mm]a_{1}[/mm] ein Minimum ist?

Nein. [notok]

Sei

      [mm] M_1:=\{1,0\}, [/mm]

dann ist

      [mm] \min(M_1)\not=1 [/mm]

und

      [mm] \max(M_1)\not=0. [/mm]

Die Menge muss nicht sortiert sein!

> Oder verstehe ich nicht, wie man induktiv zeigen soll.

Aufgabe
Zeigen Sie (beispielsweise mittels Induktion), dass jede enldiche Menge reeller Zahlen ein Maximum besitzt.



Zeige diese Behauptung induktiv über die Anzahl der Elemente.

Bezug
                                                                
Bezug
Maximum, Minimum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:24 Di 22.04.2014
Autor: Gina2013

Wenn die Menge M nur aus einem Element besteht, dann ist es ein Maximum oder nur angenommen ein Maximum/ bzw ein Minimum?

Sei [mm] M=\{x_{1},x_{2}, x_{3},......,x_{n} \} [/mm] dann falls [mm] x_{n}\ge [/mm] ( [mm] x_{1},x_{2},..... x_{n-1}), [/mm] ist [mm] x_{n} [/mm] ein Maximum und falls [mm] x_{n}\le (x_{1}, x_{2},..... x_{n-1}) [/mm] ein Minimum.


Bezug
                                                                        
Bezug
Maximum, Minimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:55 Di 22.04.2014
Autor: DieAcht


> Wenn die Menge M nur aus einem Element besteht, dann ist es
> ein Maximum oder nur angenommen ein Maximum/ bzw ein
> Minimum?

Nein. [notok]

Sei

      [mm] $\emptyset\not=M\subseteq\IR$ [/mm] und $|M|=1$.

Wir definieren

      [mm] $M:=\{\alpha\}, [/mm]

wobei

      [mm] \alpha\in\IR [/mm]

beliebig ist. Dann gilt:

      [mm] \min(M)=\max(M)=\alpha. [/mm]

> Sei [mm]M=\{x_{1},x_{2}, x_{3},......,x_{n} \}[/mm] dann falls
> [mm]x_{n}\ge[/mm] ( [mm]x_{1},x_{2},..... x_{n-1}),[/mm] ist [mm]x_{n}[/mm] ein
> Maximum und falls [mm]x_{n}\le (x_{1}, x_{2},..... x_{n-1})[/mm] ein
> Minimum.

Nacheinander.

1) Zeige, dass jede endliche Menge reeller Zahlen ein Maximum besitzt.
2) Zeige, dass jede endliche Menge reeller Zahlen ein Minimum besitzt.

(Wobei die zweite Aussage dann analog folgt, sodass ich mich
mich im Folgenden auf die erste Aussage beziehen werde.)

Was ist denn hier die genaue Induktionsvoraussetzung?

Für den Induktionsschritt betrachten wir

      [mm] M:=\{x_1,\ldots,x_n\}=\{x_1,\ldots,x_{n-1}\}\cup\{x_n\}. [/mm]

Falls nun

      [mm] $\max(x_1,\ldots,x_{n-1})\ge x_n$, [/mm]

dann folgt? Sonst folgt?

Bezug
                                                                                
Bezug
Maximum, Minimum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:11 Di 22.04.2014
Autor: Gina2013

dann folgt dass [mm] x_{n} [/mm] ein Minimum von M ist und falls [mm] x_{n}\ge max(x_{1}, x_{2},...., x_{n-1}), [/mm] dann [mm] x_{n} [/mm] ist ein Maxium.
Habe ich nicht das gleiche hingeschrieben? Die Vereinigung von zwei Mengen habe ich ausgelassen, da war mein Fehler.

Aber wie zeige ich, dass min(M)=-max(-M) ist?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Maximum, Minimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:22 Di 22.04.2014
Autor: DieAcht


> dann folgt dass [mm]x_{n}[/mm] ein Minimum von M ist und falls
> [mm]x_{n}\ge max(x_{1}, x_{2},...., x_{n-1}),[/mm] dann [mm]x_{n}[/mm] ist
> ein Maxium.
>  Habe ich nicht das gleiche hingeschrieben? Die Vereinigung
> von zwei Mengen habe ich ausgelassen, da war mein Fehler.

Das ist und war übrigens nicht dein einziger Fehler. Es
geht doch zunächst nur um das Maximum! Es gilt:

      [mm] M:=\{x_1,\ldots,x_n\}=\{x_1,\ldots,x_{n-1}\}\cup\{x_n\} [/mm]

      [mm] \Rightarrow \max(M):=\begin{cases} \max(x_1,\ldots,x_{n-1}), & \mbox{falls } \max(x_1,\ldots,x_{n-1})\ge x_n \\ x_n, & \mbox{sonst } \end{cases}. [/mm]

Jetzt folgt eigentlich die zweite Aussage

>> Zeige, dass jede endliche Menge reeller Zahlen ein Minimum besitzt.

analog.

> Aber wie zeige ich, dass min(M)=-max(-M) ist?

Der gute Marcel hat gerade hier "etwas" dazu geschrieben. :-)

Bezug
                                                                                                
Bezug
Maximum, Minimum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:54 Do 24.04.2014
Autor: Gina2013

Ich weiß leider nicht, was ich für die Fragezeichen ansetzen sollte.


Bezug
                                                                                                        
Bezug
Maximum, Minimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:14 Do 24.04.2014
Autor: leduart

Hallo
Du willst doch die Elemente umordnen, so dass das erste das kleinste ist.
welches Zeichen muss dann zwischen den Elementen stehen?
Gruß leduart

Bezug
                                                                                        
Bezug
Maximum, Minimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:10 Do 24.04.2014
Autor: tobit09

Hallo Gina2013!


Wenn ich nichts überlesen habe, wurden hier im Thread noch gar nicht die Definitionen von einem Maximum und einem Minimum festgehalten.


Eine reelle Zahl $m$ heißt Minimum einer Menge [mm] $M\subseteq\IR$, [/mm] wenn gilt:
1. [mm] $m\in [/mm] M$ und
2. [mm] $m\le [/mm] m'$ für alle [mm] $m'\in [/mm] M$.

Eine reelle Zahl $n$ heißt Maximum einer Menge [mm] $N\subseteq\IR$, [/mm] wenn gilt:
1. [mm] $n\in [/mm] N$ und
2. [mm] $n\ge [/mm] n'$ für alle [mm] $n'\in [/mm] N$.


Man kann sich überlegen, dass jede Menge [mm] $M\subseteq\IR$ [/mm] höchstens ein Maximum und höchstens ein Minimum besitzen kann.

Diese reellen Zahlen werden im Falle ihrer Existenz mit [mm] $\max(M)$ [/mm] bzw. [mm] $\min(M)$ [/mm] bezeichnet.


> Aber wie zeige ich, dass min(M)=-max(-M) ist?

Vorweg sollte man sich kurz überlegen, warum überhaupt [mm] $\min(M)$ [/mm] und [mm] $\max(-M)$ [/mm] existieren:
Mit $M$ ist auch $-M$ endlich und nichtleer. (Denn wenn etwa [mm] $M=\{m_1,\ldots,m_n\}$ [/mm] gilt, so folgt [mm] $-M=\{-m_1,\ldots,-m_n\}$.) [/mm]
Nach dem bereits gezeigten Teil der Aufgabe existieren somit Minimum und Maximum von $M$ und $-M$.


Sei nun [mm] $n:=\max(-M)$, [/mm] d.h. $n$ bezeichnet das existierende und eindeutig bestimmte Maximum von $-M$, d.h. [mm] $n\in [/mm] -M$ und [mm] $n\ge [/mm] n'$ für alle [mm] $n'\in [/mm] -M$.

Zu zeigen ist nun: [mm] $\min(M)=-n$, [/mm] d.h. $-n$ ist ein Minimum von $M$.
D.h. zu zeigen ist
1. [mm] $-n\in [/mm] M$
2. [mm] $-n\le [/mm] m'$ für alle [mm] $m'\in [/mm] M$.

Wegen [mm] $n\in [/mm] -M$ existiert ein [mm] $m\in [/mm] M$ mit $n=-m$.
Wegen [mm] $n\ge [/mm] n'$ für alle [mm] $n'\in [/mm] M$ gilt [mm] $n\ge [/mm] -m'$ für alle [mm] $m'\in [/mm] M$.

Folgere nun 1. und 2.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
        
Bezug
Maximum, Minimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:36 Do 24.04.2014
Autor: tobit09

Hallo Gina2013!


Ich denke, es ist an der Zeit, den Beweis, dass jede nichtleere endliche Teilmenge [mm] $M\subseteq\IR$ [/mm] ein Maximum besitzt, sauber aufzuschreiben und fehlende Begründungen zu ergänzen.


Wir zeigen per Induktion nach [mm] $n\in\IN\setminus\{0\}$: [/mm] Jede n-elementige Menge [mm] $M\subseteq\IR$ [/mm] besitzt ein Maximum.


Induktionsanfang (n=1):

Sei $M$ eine 1-elementige Menge.
Dann lässt sich $M$ in der Form [mm] $M=\{m\}$ [/mm] schreiben.

Zeige nun mittels der in meiner anderen Antwort genannten Definition eines Maximums: $m$ ist ein Maximum von $M$.


Induktionsschritt (n-1->n für [mm] $n\ge [/mm] 2$):

Sei $M$ eine n-elementige Menge.
Dann lässt sich $M$ in der Form [mm] $M=M^\*\cup\{m\}$ [/mm] für eine $n-1$ elementige Menge [mm] $M^\*$ [/mm] und ein Element [mm] $m\in [/mm] M$ schreiben
(Wegen $M$ n-elementig für [mm] $n\ge [/mm] 2$ ist $M$ nichtleer. Man wähle ein beliebiges Element [mm] $m\in [/mm] M$ und [mm] $M^\*:=M\setminus\{m\}$.). [/mm]

Nach Induktionsvoraussetzung besitzt [mm] $M^\*$ [/mm] ein Maximum [mm] $m^\*$, [/mm] d.h. [mm] $m^\*$ [/mm] genügt den Bedingungen...

Sei nun

       [mm] $\widetilde{m}:=\begin{cases}m^\*,&\text{ falls }m^\*\ge m\\m,&\text{ falls }m^\*
Zeige nun: [mm] $\widetilde{m}$ [/mm] ist ein Maximum von $M$.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Maximum, Minimum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:47 So 27.04.2014
Autor: Gina2013

Vielen vielen Dank an Leduart und Tobias für so ausführliche Erklärung.  

Bezug
                        
Bezug
Maximum, Minimum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:50 So 27.04.2014
Autor: Gina2013

An dieacht natürlich auch vielen Dank und dass man so viel Geduld mit mir hat.
Gruß Gina

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de