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Messbare Menge konstruieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:57 So 20.05.2007
Autor: cutter

Aufgabe
Konstruieren Sie eine Lebesgue-messbare Menge positiven Maßes A , die kein Intervall enthält.

Hi...ich habe keine Ahnung wie ich diese Menge konstruieren soll...kann mir einer helfen ?
Liebe Grüße

        
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Messbare Menge konstruieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:43 So 20.05.2007
Autor: felixf

Hallo!

> Konstruieren Sie eine Lebesgue-messbare Menge positiven
> Maßes A , die kein Intervall enthält.

Gemeint ist sicher, dass die Menge kein Intervall enthalten darf, was aus mehr als einem Punkt besteht (ansonsten geht's nicht) :-)

Dazu: jedes Intervall, welches aus mehr als einem Punkt besteht, enthaelt ein Element aus [mm] $\IQ$. [/mm]

Und [mm] $\IQ$ [/mm] hat Lebesgue-Mass $0$.

Vielleicht bekommst du damit eine Idee...

LG Felix


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Messbare Menge konstruieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:51 So 20.05.2007
Autor: cutter

hi...
hoert sich ja ein wenig so an als wenn man die Elemte entfernen musst (siehe Cantormenge?!)...aber diese menge ist ja nicht die gesuchte...Liebe Grüße

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Bezug
Messbare Menge konstruieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:58 So 20.05.2007
Autor: felixf

Hi.

>  hoert sich ja ein wenig so an als wenn man die Elemte
> entfernen musst

Genau. Wenn $A$ irgendeine messbare Menge ist, dann ist $A [mm] \setminuq \IQ$ [/mm] ebenfalls messbar und enthaelt kein Intervall mehr.

Kannst du etwas ueber das Mass von $A$ im Vergleich zu dem von $A [mm] \setminus \IQ$ [/mm] aussagen?

LG Felix


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Messbare Menge konstruieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:01 So 20.05.2007
Autor: cutter

Das Maß ist mit der Montonie-Eigenschaft versehen und damit wohl größer als das Maß von [mm] \IQ.... [/mm]
und das ist dann meine gesuchte Lebesgue-messbare Menge?!..
LG

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Messbare Menge konstruieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:10 So 20.05.2007
Autor: felixf


> Das Maß ist mit der Montonie-Eigenschaft versehen und damit
> wohl größer als das Maß von [mm]\IQ....[/mm]

Wegen der Monotonie-Eigenschaft und der Subadditivitaet gilt [mm] $\mu(A) \ge \mu(A \setminus [/mm] B) [mm] \ge \mu(A) [/mm] - [mm] \mu(B)$. [/mm]

>  und das ist dann meine gesuchte Lebesgue-messbare
> Menge?!..

Haengt vom Mass von $A$ ab. ob das $> 0$ ist :-)

LG Felix


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Bezug
Messbare Menge konstruieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:21 So 20.05.2007
Autor: cutter

hi
also muss ich jetzt quasi noch eine menge A finden deren Maß größer als 0 ist..oder soll ich das ganz allgemein halten...
Also es gibt eine menge A dann betrachte ich A ohne [mm] \IQ [/mm] ,diese menge ist wieder messbar und es folgt das Maß der Menge ist gleich dem Maß von A?
LG

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Bezug
Messbare Menge konstruieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:24 So 20.05.2007
Autor: felixf

Hi!

>  also muss ich jetzt quasi noch eine menge A finden deren
> Maß größer als 0 ist..oder soll ich das ganz allgemein
> halten...

Das ist egal. Eine konkrete reicht ja. Da gibts viele einfache Moeglichkeiten... :)

>  Also es gibt eine menge A dann betrachte ich A ohne [mm]\IQ[/mm]
> ,diese menge ist wieder messbar und es folgt das Maß der
> Menge ist gleich dem Maß von A?

Genau.

LG Felix


Bezug
                                                                
Bezug
Messbare Menge konstruieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:37 So 20.05.2007
Autor: cutter

also  zb das intervall [0,1] auf [mm] \IR [/mm] hat ein Maß,das größer als 0 ist. Aber dann waeren wir doch schon direkt bei der Cantormenge,die hat jedoch wieder das Maß 0...:(

Bezug
                                                                        
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Messbare Menge konstruieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:40 So 20.05.2007
Autor: felixf

Hallo!

> also  zb das intervall [0,1] auf [mm]\IR[/mm] hat ein Maß,das größer
> als 0 ist.

Genau. Womit $[0, 1] [mm] \setminus \IQ$ [/mm] ebenfalls Mass 1 hat und kein echtes Intervall enthaelt.

> Aber dann waeren wir doch schon direkt bei der
> Cantormenge,die hat jedoch wieder das Maß 0...:(

Nein, die Cantormenge ist etwas ganz anders... Nur weil sie auch eine Teilmenge von $[0, 1]$ ist, ist sie noch lange nicht gleich $[0, 1] [mm] \setminus \IQ$... [/mm]

LG Felix


Bezug
                                                                                
Bezug
Messbare Menge konstruieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:48 So 20.05.2007
Autor: cutter

Ich bedanke mich
Schoenen Sonntag erstmal :)

Bezug
                                                                                        
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Messbare Menge konstruieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:51 So 20.05.2007
Autor: felixf

Hey cutter,

> Ich bedanke mich

bitte :)

>  Schoenen Sonntag erstmal :)

Dir auch!

LG Felix



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