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Messbarkeit: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:09 Mi 14.06.2006
Autor: kirayou

Hallo zusammen!

hab jetzt eine Frage und brauch dringende Hilfe!

wie kann man beweisen,dass eine Funktion (von R nach R) mit abzählbar vielen Unstetigkeitsstellen messbar ist.

Vielen Dank!!

kira

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Messbarkeit: Lösungsansatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:34 Fr 16.06.2006
Autor: just-math

Hallo kirayou,

ich glaube, bei deiner Aufgabe kannst Du so vorgehen:  Du musst ja zeigen, dass jedes Urbild einer messbaren Teilmenge von [mm] \IR [/mm]
unter der Funktion f auch wieder messbar ist. Sei [mm] A\subseteq \IR [/mm] messbar. Seien [mm] u_i,i\in\IN [/mm] mit oE   [mm] i vielen Unstetigkeitsstellen von f. Dann ist    [mm] f^{-1}(A)=\bigcup_{i} (f^{-1}(A)\cap (u_i,u_{i+1})\: )\:\:\:\cup\bigcup_{i}f^{-1}(A)\cap\{u_i\}) [/mm]

Die rechte dieser beiden Teilmengen ist abzählbar und als solche eine Menge vom Maß 0.

Nun ist   [mm] f^{-1}(A)\cap (u_i,u_{i+1})= f^{-1}(A\cap f((u_i,u_{i+1}))) [/mm] das Urbild einer messbaren Menge unter einer auf dem Intervall [mm] (u_i,u_{i+1}) [/mm]
stetigen Abbilldung, also messbar, und die noch verbliebene ''linke'' Menge ist also als abzählbare Vereinigung solcher auch messbar.

Viele Grüsse

just-math


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