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Zeige : ist f in einem Gebiet G holomorph , nicht konstant und ohne Nullstelle , so hat |f(z)| in G kein Minimum.
Hallo ,
Da f holomorph und nicht konstant ist wird G unter f wieder auf ein Gebiet abgebildet (lt dem Satz der Gebietstreue)
Also für jeden Punkt [mm] x_{0} [/mm] = [mm] f(z_0) [/mm] existiert eine Umgebung [mm] U_{\epsilon}(x_0) [/mm] - die 0 nicht enthält - aber in der alle Punkte Funktionswerte von f sind. In dieser Umgebung liegen aber Punkte, deren Betrag zwar größer 0 , aber sicherlich kleiner [mm] |x_0| [/mm] ist. Also kann kein Punkt minimalen Betrag haben.
Was meint ihr dazu ? Ich bin nicht sicher Ob es ganz so rasch geht...
Lg und vielen Dank
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 Mi 07.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Zeige : ist f in einem Gebiet G holomorph , nicht konstant
> und ohne Nullstelle , so hat |f(z)| in G kein Minimum.
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> Hallo ,
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> Da f holomorph und nicht konstant ist wird G unter f wieder
> auf ein Gebiet abgebildet (lt dem Satz der Gebietstreue)
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> Also für jeden Punkt [mm]x_{0}[/mm] = [mm]f(z_0)[/mm] existiert eine
> Umgebung [mm]U_{\epsilon}(x_0)[/mm] - die 0 nicht enthält - aber in
> der alle Punkte Funktionswerte von f sind. In dieser
> Umgebung liegen aber Punkte, deren Betrag zwar größer 0 ,
> aber sicherlich kleiner [mm]|x_0|[/mm] ist. Also kann kein Punkt
> minimalen Betrag haben.
>
> Was meint ihr dazu ?
Alles O.K.
> Ich bin nicht sicher Ob es ganz so
> rasch geht...
Doch , das geht so rasch. Schau Dir mal den Beweis des Maximumprinzips an ..... . Da geht man gnau so vor.
Wenn Du das Maximumprinzip verwenden darfst, kannst Du auch so vorgehen:
g:=1/f ist auf G holomorph. Nach dem Max.-prinzip hat |g| in G kein lokales Maximum. Dann hat aber |f| in G kein lokales Minimum.
FRED
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> Lg und vielen Dank
>
> Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Mi 07.10.2015 | | Autor: | Thomas_Aut |
Hallo FRED,
> > Zeige : ist f in einem Gebiet G holomorph , nicht konstant
> > und ohne Nullstelle , so hat |f(z)| in G kein Minimum.
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> > Hallo ,
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> > Da f holomorph und nicht konstant ist wird G unter f wieder
> > auf ein Gebiet abgebildet (lt dem Satz der Gebietstreue)
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> > Also für jeden Punkt [mm]x_{0}[/mm] = [mm]f(z_0)[/mm] existiert eine
> > Umgebung [mm]U_{\epsilon}(x_0)[/mm] - die 0 nicht enthält - aber in
> > der alle Punkte Funktionswerte von f sind. In dieser
> > Umgebung liegen aber Punkte, deren Betrag zwar größer 0 ,
> > aber sicherlich kleiner [mm]|x_0|[/mm] ist. Also kann kein Punkt
> > minimalen Betrag haben.
> >
> > Was meint ihr dazu ?
>
> Alles O.K.
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> > Ich bin nicht sicher Ob es ganz so
> > rasch geht...
>
> Doch , das geht so rasch. Schau Dir mal den Beweis des
> Maximumprinzips an ..... . Da geht man gnau so vor.
>
> Wenn Du das Maximumprinzip verwenden darfst, kannst Du auch
> so vorgehen:
>
> g:=1/f ist auf G holomorph. Nach dem Max.-prinzip hat |g|
> in G kein lokales Maximum. Dann hat aber |f| in G kein
> lokales Minimum.
Die Idee ist natürlich spitze - das geht ja noch rascher :)
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> FRED
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> > Lg und vielen Dank
> >
> > Thomas
>
LG
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