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Mittelwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:34 Sa 13.05.2017
Autor: Trikolon

Mal eine Frage aus Interesse: woher haben das arithmetische, das geometrische und das harmonische Mittel ihren Namen ?

        
Bezug
Mittelwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:31 So 14.05.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Mal eine Frage aus Interesse: woher haben das
> arithmetische, das geometrische und das harmonische Mittel
> ihren Namen ?

Wie so oft bei mathematischen Begriffen (vor allem bei solchen, die schon etwas länger üblich sind), kann man hier wohl nur spekulieren.

Die Arithmetik ist ja im Prinzip das Rechnen in [mm] \IQ [/mm] mit den Grundrechenarten. Wohl dieser Tatsache hat auch der Begriff arithmetische Folge (n. Ordnung) ihren Namen zu verdanken, wobei man in der Schule die arithmetische Folge 1. Ordnung einfach als arithmetische Folge einführt. Mit dem arithmetischen Mittel kann man auf Grund der Bauart solcher Folgen (konstante Abstände aufeinanderfolgender Glieder) ein fehlendes Glied berechnen, wenn man seinen Vorgänger und Nachfolger kennt. Außerdem kommt man bei der Berechnung mit den Mitteln der Arithmetik aus, was diesen Mittelwert vom Geometrischen Mittel abgrenzt, nicht aber vom Harmonischen Mittel. Das könnte bei dem, was man im Volksmund Durchschnitt nennt, namensgebend gewesen sein.

Das Geometrische Mittel zweier Zahlen trifft man durchaus öfter in der Geometrie an. Bspw. am []Kreis bei der sog. mittleren Proportionalen, beim Goldenen Schnitt und vor allem bei der Quadratur des Rechtecks. Obwohl natürlich auch in anderem Zusammenhang bekannt (praktisches Beispiel: Zinsrechnung), ist hier die Namensgebung für meinen Geschmack relativ nachvollziehbar, denn man darf ja auch nicht vergessen, welch herausragende Rolle als Grundlagengebiet die Geometrie bis ca. Anfang 20. Jahrhundert für die Mathematik gespielt hat (bei den Griechen war sie die mathema).

Das Harmonische Mittel hat eine Anwendung in der Musik (und der Name legt das ja sogar nahe, auch wenn man die Problematik nicht kennt). Und zwar geht es um die Dur/Moll-Problematik. Wenn ich auf die Schnelle nichts übersehe, legt (egal welche Art von Moll man betrachtet) die erste Terz fest, ob es sich um einen Dur- oder Moll-Dreiklang (bzw. eine Tonleiter) handelt. Während die große Terz (was ihre Frequenz angeht) das arithmetische Mitel der Quinte ist, ist es bei der kleinen Terz das harmonische Mittel. Und da das Verhältnis der Frequenzen zweier Töne der Teilung der Saite bei allen Saiteninstrumenten entspricht, hat das im Lauf der Zeit in der Musiktheorie eine gewisse Relevanz bekommen. Dazu diese []Zusammenfassung auf Wikipedia.

Insgesamt vermute ich, dass man diesen Namen nicht allzu viel Bedeutung beimessen sollte, weil sie - zusammen betrachtet - genauso inkonstistent sind wie etwa die Namen der unterschiedlichen Zahlenmengen. Bekannt sind sie jedoch so etwa seit Pythagoras' Zeiten und vielleicht findest du in []diesem Text mehr Informationen zu deiner Frage. Ich habe leider gerade nur die Zeit für meine kleine Antwort, aber nicht mehr um den Artikel zu lesen.


Gruß, Diophant

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