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Mittelwertoperator: Beweis zeitliche Verschiebung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:21 Di 22.04.2014
Autor: bigdaddy78

Aufgabe
Im Skript wird die zeitliche Verschiebung des Mittelwertoperators $M$ folgendermaßen definiert
Ich bitte zu entschuldigen, dass ich den Befehl für das geschwungene M nicht kenne:
[mm] $M\{x(t-t_0)\}=M\{x(t)\}\Leftrightarrow M\{x(t)\}=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{T+t_0}x(t)dt$ [/mm]
Im Folgenden soll diese Zeitliche Verschiebung bewiesen werden,
die allerdings verstehe ich nicht vollständig.
Im Folgenden also wörtlich, wie der Beweis im Skript abgedruckt ist.

[mm] \Underline{\text{Beweis der Unabhängigkeit von einer zeitlichen Verschiebung:}} \\ [/mm]
[mm] $M\{x(t-t_0)\}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t-t_0)dt\\ [/mm]
[mm] \text{Substitution:} t-t_0=\tilde{t}\\ [/mm]
[mm] =\frac{1}{T}\int_{-{t_0}}^{T-{t_0}}x(\tilde{t})d\tilde{t}\\ [/mm]
[mm] \text{Subsititution:} t-T=\tilde{t}\\ [/mm]
[mm] \frac{1}{T}(\int_{-t_0}^{0}x(t)dt+\int_{0}^{T}x(t)dt+\int_{T}^{T-{t_0}}x(t-T)dt \text{ da} [/mm] x(t) [mm] \text{periodisch mit } T\\ [/mm]
[mm] =\frac{1}{T}(\int_{-t_0}^{0}x(t)dt+\int_{0}^{T}x(t)dt+\int_{0}^{-t_0}x(\tilde{t})dt=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)dt=M\{x(t)\}. [/mm]

[mm] \text{Die erste Subsitution finde ich einleuchtend, die Grenzen wurden ebenfells mitsubstituiert.}\\ [/mm]
[mm] \text{Die zweite Substitution bereitet mir allerdings Kopfzerbrechen.}\\ [/mm]
[mm] \text{1) Kann ich} \tilde(t) \text{einfach doppelt "belegen"? Also zweimal unterschiedlich definieren innerhalb einer Aufgabe?}\\ [/mm]
[mm] \text{Die Aufteilung des Integrals im Hinblick auf das zu zeigende erscheint mir auch logisch. Aber:}\\ [/mm]
[mm] \text{2) Darf ich einfach annehmen, dass} x(\tilde{t})=x(t)? [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus!



        
Bezug
Mittelwertoperator: Ein paar Kommentare
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 Mi 23.04.2014
Autor: Infinit

Hallo Bigdaddy78,
ein paar Kommentare zu diesen Umformungen möchte ich hier doch mal loslassen, so ganz intuitiv sind die Umformungen meines Erachtens nicht.
Die erste Substitution ist klar, inklusive der Grenzen. Bei der zweiten Substitution wird unglücklicherweise derselbe Parameter benutzt. Seis drum, mit
[mm] \tilde{t} = t - T [/mm] und der neuen Variablen [mm] t [/mm] komme ich beim Einsetzen in die obere Gleichung auf
[mm]\bruch{1}{T}\int_{t=T-t_0}^{t=2T-t_0} x(t-T) \, dt [/mm]
Die Integration geht auch hier über eine volle Periodenlänge, es treten allerdings Integralanteile aus zwei nebeneinanderliegenden Perioden auf. Dies führt dann zur Aufteilung in Deiner weiteren Rechnung. Dieser  Zwischenschritt ist m.E. schon wichtig fürs Verstehen, es sei denn, man kennt bereits das Ergebnis.

Zu Deiner zweiten Frage kann ich nur sagen, dass solch eine Gleichsetzung möglich ist, es ist einfach eine andere Parameterbezeichnung, die allerdings nichts an der Signalform selbst ändert.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
                
Bezug
Mittelwertoperator: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:33 Sa 10.05.2014
Autor: bigdaddy78

Hallo!

Tut mir leid das ich mich erst jetzt melde aber ich möchte mich bei Infinit für die Antwort bedanken. Die Antwort hat mir geholfen, die Aufgabe und den Lösungsweg zu verstehen.

Bezug
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