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Monotonie & Vorzeichentabelle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:51 Sa 12.01.2013
Autor: Kuroi

Aufgabe
Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle von f, ermitteln Sie die Koordinaten und die Art der Extrempunkte von G(f) und geben Sie die Wertemenge W(f) von f an.



Guten Morgen,

ich habe eine Frage zur Bestimmung der Monotonie bei gebrochen-rationalen Funktionen. Wir sollen dies mithilfe einer Vorzeichentabelle lösen. Allerdings weiß ich nicht so recht, mit welchen Werten ich diese Tabelle fülle, bzw. wie ich danach Plus und Minus einsetzen muss. Habe im Internet bereits nach Erklärungen/Lösungen gesucht, aber die meisten Leute bestimmen das Monotonieverhalten wohl mit dem Limes - wir sollen jedoch explizit eine Vorzeichentabelle benutzen.

Die erste Ableitung meiner Funktion sieht so aus:
[mm] f'(x)=\bruch{(x+1)*(x-3)}{(1-x)^2} [/mm]

Ich hatte mir mal notiert, dass die zu überprüfenden Werte aus den Nullstelle(n) des Zählers von f'(x) und den Definitionslücken von f(x) bestehen. Falls dem so ist, hier meine errechneten Ergebnisse dieser Werte:

Def.-Lücke von f(x): 1
Nullstellen von f'(x): [mm] x_1=-1 [/mm] ; [mm] x_2=3 [/mm]

Nochmal zu meinen zwei Fragen:
1) Muss ich nur die Nullstellen des Zählers von f'(x) sowie die Definitionslücken von f(x) in die Tabelle eintragen?
2) Wie setze ich danach das Plus bzw. Minus in die Tabelle ein?

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe!

        
Bezug
Monotonie & Vorzeichentabelle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:00 Sa 12.01.2013
Autor: Diophant

Hallo,

in deiner Tabelle sollen doch die Vorzeichen Intervallen auf der x-Achse zugeordnet werden. Die Nullstellen und die Definitionslücken sind dabei natürlich die Grenzen dieser Intervalle und das Vorzeichen der Ableitung in dem jeweiligen Intervall bekommt man durch ein wenig Überlegung oder zur Not durch Einsetzen eines einzigen Wertes aus dembegtreffenden Intervall.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Monotonie & Vorzeichentabelle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:11 Sa 12.01.2013
Autor: Kuroi

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

In meiner Musterlösung findet sich jedoch eine weitere Zahl in der Vorzeichentabelle, die ich keinem der genannten Werte zuordnen kann. Um mein Problem besser darzustellen, hab' ich mal auf die Schnelle die Tabelle geschrieben:

http://img402.imageshack.us/img402/6471/monotonie.png

Ich finde, wie erwartet, wieder:
Nullstelle von f'(x): (x+1)
Nullstelle von f'(x): (x-3)
Definitionslücke von f(x): [mm] (1-x)^2 [/mm]

Woher kommt aber die zweite -1 (ist ja in dem Beispiel auch eine Nullstelle von f'(x)) in der Tabelle? Und wie bestimme ich jetzt genau das Plus, bzw. das Minus?

Bezug
                        
Bezug
Monotonie & Vorzeichentabelle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:17 Sa 12.01.2013
Autor: Diophant

Hallo,

die Tabelle auf die du verlinkt hast ist unsinnig beschriftet.

Es geht um folgende Intervalle:

  I: x<-1
II: -1<x<1
III: 1<x<3
IV: x>3

Und die Vorzeichen bekommt man, indem man ein wenig nachdenkt über den Term, mit dem man da umgeht. So ist bspw. in diesem Fall der Nennerterm stets positiv (weshalb?), so dass die Vorzeichen auisschließlich vom Zähler abhängen. Das solltest du doch hinbekommen?


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Monotonie & Vorzeichentabelle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:43 Sa 12.01.2013
Autor: Kuroi

Die Aussage, dass diese Vorzeichentabelle unsinnig beschriftet ist, bringt mich nicht wirklich weiter. Wie bereits gesagt, wir sollen die Monotonie genau nach diesem Schema errechnen. Mir ist klar, um welche Intervalle es geht - jene in der letzten Antwort gleichen denen in meinem verlinkten Screenshot ja auch (Spaltenüberschriften). Mir geht es um die Überschriften der Zeilen, welche ich ja brauche, um Plus und Minus einzusetzen.

Wenn ich das Beispiel im verlinkten Screenshot weiterführe, also Plus bzw. Minus logisch nach unten rechne, komme ich auf richtige Ergebnisse (Hoch-/Tiefpunkte, streng monoton steigend bzw. fallend). Lasse ich allerdings die erste Spalte weg - da ich ja nicht weiß, woher die -1 kommt - wird das Ergebnis logischerweise falsch.

Mir geht es um die Klärung, woher diese ominöse -1 kommt, damit ich nach diesem Schema auch andere Aufgaben rechnen kann. Im Grunde ist mir schon bewusst, weshalb ich die Nullstellen und Definitionslücken eintragen muss und wann ein negatives bzw. positives Vorzeichen eingetragen wird.

Mit der Bitte um Klärung des -1-Problems und Dank für die Ausdauer.

Edit: Bei Bedarf kann ich auch die vollständige Lösung dieser Vorzeichentabelle zur besseren Darstellung meines Problems schreiben, wenn's der Sache dienlich ist.

Bezug
                                        
Bezug
Monotonie & Vorzeichentabelle: Zum Thema: Schema
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:48 Sa 12.01.2013
Autor: Diophant

Hallo Kuroi,

> Mir geht es um die Klärung, woher diese ominöse -1 kommt,
> damit ich nach diesem Schema auch andere Aufgaben rechnen
> kann. Im Grunde ist mir schon bewusst, weshalb ich die
> Nullstellen und Definitionslücken eintragen muss und wann
> ein negatives bzw. positives Vorzeichen eingetragen wird.

und mir ging es darum, dir nahezubringen, dass du dieses Denken in Schemen aufgibst und über die eigentliche Aufgabenstellung nachdenkst. Ich bin kein Freund dieser Schemen und von daher vielleicht dann der falsche Ansprechpartner. :-)

Die fragliche -1 übrigens ist irgendein Formatierungsfehler, die gehört in den Spaltenkopf oben links, damit der eben 'x<-1' heißt.


Gruß, Diophant

Bezug
                                        
Bezug
Monotonie & Vorzeichentabelle: Nachfrage
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 Sa 12.01.2013
Autor: meili

Hallo Kuroi,

> Die Aussage, dass diese Vorzeichentabelle unsinnig
> beschriftet ist, bringt mich nicht wirklich weiter. Wie
> bereits gesagt, wir sollen die Monotonie genau nach diesem
> Schema errechnen. Mir ist klar, um welche Intervalle es
> geht - jene in der letzten Antwort gleichen denen in meinem
> verlinkten Screenshot ja auch (Spaltenüberschriften). Mir
> geht es um die Überschriften der Zeilen, welche ich ja
> brauche, um Plus und Minus einzusetzen.
>  
> Wenn ich das Beispiel im verlinkten Screenshot
> weiterführe, also Plus bzw. Minus logisch nach unten
> rechne, komme ich auf richtige Ergebnisse
> (Hoch-/Tiefpunkte, streng monoton steigend bzw. fallend).
> Lasse ich allerdings die erste Spalte weg - da ich ja nicht
> weiß, woher die -1 kommt - wird das Ergebnis
> logischerweise falsch.

Könntest Du bitte an einigen Spalten vorrechnen, wie die Plus und Minus
verrechnet werden.
Wo kommst Du auf einen Hochpunkt und wo auf einen Tiefpunkt?

(Ich komme auf Hochpunkt bei x=-1 und Tiefpunkt bei x=3.

Wäre dann:
x < -1: steigend  (f''(x) > 0)
-1 < x < 1: fallend  (f''(x) < 0))
1 < x < 3:  fallend  (f''(x) < 0)
3 < x:  steigend  (f''(x) > 0)

Was auch mit den Vorzeichen in der Tabelle ohne die "-1-Zeile"
übereinstimmen würde.)

Vielleicht wäre es auch nützlich die Funktion f anzugeben.

>  
> Mir geht es um die Klärung, woher diese ominöse -1 kommt,
> damit ich nach diesem Schema auch andere Aufgaben rechnen
> kann. Im Grunde ist mir schon bewusst, weshalb ich die
> Nullstellen und Definitionslücken eintragen muss und wann
> ein negatives bzw. positives Vorzeichen eingetragen wird.
>  
> Mit der Bitte um Klärung des -1-Problems und Dank für die
> Ausdauer.
>  
> Edit: Bei Bedarf kann ich auch die vollständige Lösung
> dieser Vorzeichentabelle zur besseren Darstellung meines
> Problems schreiben, wenn's der Sache dienlich ist.

Gruß
meili

Bezug
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