www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Aussagenlogik" - Negationen von Aussagen
Negationen von Aussagen < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Aussagenlogik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Negationen von Aussagen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 Sa 08.03.2014
Autor: gummibaum

Aufgabe 1
a) Geben Sie die Definition von "[m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist gerade" an.

b) Geben Sie durch Negation der Aussage, in a), eine Aussage an, die äquivalent zur Aussage "[m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist nicht gerade" ist, an.

c) Begründen Sie genau, anhand der Aussage von b), warum [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m], gegeben durch [m]f(x) := e^x[/m], nicht gerade ist.

Aufgabe 2
a) Sei [mm] p\in\IR. [/mm] Geben Sie die Definition von "[m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist p-periodisch" an.

b) Geben Sie, durch der Negation der Aussage in a), eine Aussage an, die äquivalent zur Aussage "[m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist nicht periodisch" ist.

c) Begründen Sie genau, anhand der von Ihnen in b) hergeleiteten Aussage, warum [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m], gegeben durch [m]f(x) := e^x[/m], nicht 1-periodisch ist.

Aufgabe 3
Geg. ist folgende Definition: Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow \IR[/m] heißt kausal, wenn für alle [m]x < 0[/m] gilt [m]f(x) = 0[/m].

a) Geben Sie durch der Negation dieser Definition an, wann eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow \IR[/m] nicht kausal ist (vollständiger Satz!).

b) Weisen mit Ihrem Ergebnis aus a) nach, dass [m]f: \IR \rightarrow \IR[/m] def. durch [m]f(x) := x^2[/m] nicht kausal ist.

Hallo zusammen!

Ich möchte hier versuchen die Aufgaben zu lösen, wobei gesagt werden muss, dass sehr hoher Wert auf das (korrekte) formale Aufschreiben (allerdings ohne Quantoren) gelegt wird.

Vorab: Es soll grundsätzlich folgendermaßen vorgegangen werden:

- Benennung der Ursprungsaussage (in diesem Fall die Definition)
- Zerlegung der Aussage in Teilaussagen/-aussageformen
- Formale Angabe der Aussage mittels logischer Operatoren
- Negation (ggf. durch Anwendung der De Morganschen Gesetze)
- Angabe der negierten Aussage in Worten

Aufgabe 1)

a) Def. gerade Funktion:
Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] heißt gerade, wenn für alle x gilt: [m]f(x) = f(-x)[/m]

Wie würde man diese Definition vorlesen?
Eine Funktion f bildet [m]\IR[/m] auf [m]\IR[/m] ab, heißt genau dann gerade, wenn für alle [m]x \in \IR[/m] gilt:
Der Funktionswert an Stelle x ist gleich dem negativen Funktionswert an der Stelle x.  (?)

b) Benennung der Aussage (siehe Definition)

Zerlegung der Aussage in Teilaussagen/-formen:

A: Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist gerade
B (x): f(x) = f(-x) ( Aussageform, daher B(x) )

Dann gilt: (formale Angabe, inkl. Quantifzierung)
[m]A \gdw[/m] Für alle x [m]\in \IR[/m] gilt: B(x)

Negation
[m]\neg A \gdw[/m] Es gibt (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m], für das gilt: [m]\neg B(x)[/m]

Negation in Worten:
Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist genau dann nicht gerade, wenn es (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m] gibt, für das gilt: [m] f(x) \ne f(-x) [/m]

c) Sei [m]x = 2[/m]. Dann ist: [m]f (-2) = e^-2 \approx 0.135[/m] und [m]f (2) = e ^2 = \approx 7.389[/m] und damit ist [m]f(2) \ne f(-2)[/m], d.h. die Funktion f mit [m]f(x) := e^x[/m] ist nicht gerade.

Aufgabe 2)

a) Def. periodische Funktion:
Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] heißt p-periodisch, wenn [m]f(x+p) = f(x)[/m] für alle [m]x \in \IR[/m] gilt.

Wie würde man diese Definition vorlesen?
Eine Funktion f bildet [m]\IR[/m] auf [m]\IR[/m] ab, heißt genau p-periodisch, wenn für alle [m]x \in \IR[/m] gilt:
Der Funktionswert an Stelle x plus p ist gleich dem(selbigen?) Funktionswert an der Stelle x.  (?)

b) Benennung der Aussage (siehe Definition)

Zerlegung der Aussage in Teilaussagen/-formen:

A: Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist p-periodisch
B (x): f(x+p) = f(x) ( Aussageform, daher B(x) )

Dann gilt: (formale Angabe, inkl. Quantifzierung)
[m]A \gdw[/m] Für alle x [m]\in \IR[/m] gilt: B(x)

Negation
[m]\neg A \gdw[/m] Es gibt (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m], für das gilt: [m]\neg B(x)[/m]

Negation in Worten:
Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist genau dann nicht p-periodisch, wenn es (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m] gibt, für das gilt: [m] f(x+p) \ne f(x) [/m]

c) Sei [m]x = 2, p = 1[/m] (p = 1, lt. Aufgabenstellung). Dann ist: [m]f (2 + 1) = e^3 \approx 20.086[/m] und [m]f (2) = e ^2 = \approx 7.389[/m] und damit ist [m]f(2+1) \ne f(2)[/m], d.h. die Funktion f mit [m]f(x) := e^x[/m] ist nicht 1-periodisch.


Aufgabe 3)

Def. kausale Funktion:
Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow \IR[/m] heißt kausal, wenn für alle [m]x < 0[/m] gilt [m]f(x) = 0[/m].

Wie würde man diese Definition vorlesen?
Eine Funktion f bildet [m]\IR[/m] auf [m]\IR[/m] ab, heißt genau dann kausal, wenn für alle [m]x \in \IR[/m] gilt:
Wenn x kleiner ist als 0, dann ist der Funktionswert an der Stelle x gleich 0.

a) Benennung der Aussage (siehe Definition)

Zerlegung der Aussage in Teilaussagen/-formen:

A: Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist kausal
B: x < 0
C: f(x) = 0

Dann gilt: (formale Angabe, inkl. Quantifzierung)
[m]A \gdw[/m] Für alle x [m]\in \IR[/m] gilt: B [mm] \Rightarrow [/mm] C

Negation (De Morgansche Gesetze)
[m]\neg A \gdw[/m] Es gibt (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m], für das gilt: [m]\neg (B \Rightarrow C) \gdw \neg(\neg B \vee C) \gdw (B \wedge \neg C) [/m]

(...ist das Äquivalenzzeichen oben zulässig?)

Negation in Worten:
Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist genau dann nicht kausal, wenn es (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m] gibt, für das gilt: [m] x < 0 \wedge f(x) \ne 0 [/m]

b) c) Sei [m]x = -2[/m] (siehe Vor.: x < 0). Dann ist: [m]f (-2) = (-2)^2 = 4[/m] und damit ist [m]f(2) \ne 0[/m], d.h. die Funktion f mit [m]f(x) := x^2[/m] ist nicht gerade.


Bitte um Feedback bzw. Verbesserungsvorschläge, insbesondere was die Schreibweise, Formulierung und Vollständigkeit angeht.

Vielen Dank im voraus!!!

        
Bezug
Negationen von Aussagen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:11 So 09.03.2014
Autor: gummibaum

Niemand? :)
So schwer sind die Aufgaben doch nicht oder?

Bezug
        
Bezug
Negationen von Aussagen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:37 Di 11.03.2014
Autor: meili

Hallo,

> a) Geben Sie die Definition von "[m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist
> gerade" an.
>  
> b) Geben Sie durch Negation der Aussage, in a), eine
> Aussage an, die äquivalent zur Aussage "[m]f: \IR \rightarrow\IR[/m]
> ist nicht gerade" ist, an.
>  
> c) Begründen Sie genau, anhand der Aussage von b), warum
> [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m], gegeben durch [m]f(x) := e^x[/m], nicht
> gerade ist.
>  a) Sei [mm]p\in\IR.[/mm] Geben Sie die Definition von "[m]f: \IR \rightarrow\IR[/m]
> ist p-periodisch" an.
>  
> b) Geben Sie, durch der Negation der Aussage in a), eine
> Aussage an, die äquivalent zur Aussage "[m]f: \IR \rightarrow\IR[/m]
> ist nicht periodisch" ist.
>  
> c) Begründen Sie genau, anhand der von Ihnen in b)
> hergeleiteten Aussage, warum [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m], gegeben
> durch [m]f(x) := e^x[/m], nicht 1-periodisch ist.
>  Geg. ist folgende Definition: Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow \IR[/m]
> heißt kausal, wenn für alle [m]x < 0[/m] gilt [m]f(x) = 0[/m].
>  
> a) Geben Sie durch der Negation dieser Definition an, wann
> eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow \IR[/m] nicht kausal ist
> (vollständiger Satz!).
>  
> b) Weisen mit Ihrem Ergebnis aus a) nach, dass [m]f: \IR \rightarrow \IR[/m]
> def. durch [m]f(x) := x^2[/m] nicht kausal ist.
>  Hallo zusammen!
>  
> Ich möchte hier versuchen die Aufgaben zu lösen, wobei
> gesagt werden muss, dass sehr hoher Wert auf das (korrekte)
> formale Aufschreiben (allerdings ohne Quantoren) gelegt
> wird.
>  
> Vorab: Es soll grundsätzlich folgendermaßen vorgegangen
> werden:
>  
> - Benennung der Ursprungsaussage (in diesem Fall die
> Definition)
>  - Zerlegung der Aussage in Teilaussagen/-aussageformen
>  - Formale Angabe der Aussage mittels logischer Operatoren
>  - Negation (ggf. durch Anwendung der De Morganschen
> Gesetze)
>  - Angabe der negierten Aussage in Worten
>  
> Aufgabe 1)
>  
> a) Def. gerade Funktion:
> Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] heißt gerade, wenn
> für alle x gilt: [m]f(x) = f(-x)[/m]

[ok]

>  
> Wie würde man diese Definition vorlesen?
>  Eine Funktion f bildet [m]\IR[/m] auf [m]\IR[/m] ab, heißt genau dann
> gerade, wenn für alle [m]x \in \IR[/m] gilt:
>  Der Funktionswert an Stelle x ist gleich dem negativen
> Funktionswert an der Stelle x.  (?)

[notok]
"auf" benutzt man, wenn die Funktion f surjektiv ist.
Der zweite Satz würde bedeuten: $f(x) = -f(x)$.

Eine Funktion f von [m]\IR[/m] nach [m]\IR[/m], heißt genau dann
gerade, wenn für alle [m]x[/m] aus (oder Element) [m]\IR[/m] gilt:
Der Funktionswert an Stelle x ist gleich dem Funktionswert
an der Stelle des negativen von x.  

>  
> b) Benennung der Aussage (siehe Definition)
>  
> Zerlegung der Aussage in Teilaussagen/-formen:
>  
> A: Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist gerade
>  B (x): f(x) = f(-x) ( Aussageform, daher B(x) )
>  
> Dann gilt: (formale Angabe, inkl. Quantifzierung)
>  [m]A \gdw[/m] Für alle x [m]\in \IR[/m] gilt: B(x)

[ok]

>  
> Negation
>  [m]\neg A \gdw[/m] Es gibt (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m], für das
> gilt: [m]\neg B(x)[/m]

[ok]

>  
> Negation in Worten:
>  Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist genau dann nicht
> gerade, wenn es (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m] gibt, für das
> gilt: [m]f(x) \ne f(-x)[/m]

[ok]

>  
> c) Sei [m]x = 2[/m]. Dann ist: [m]f (-2) = e^-2 \approx 0.135[/m] und [m]f (2) = e ^2 = \approx 7.389[/m]
> und damit ist [m]f(2) \ne f(-2)[/m], d.h. die Funktion f mit [m]f(x) := e^x[/m]
> ist nicht gerade.

[ok]

>  
> Aufgabe 2)
>  
> a) Def. periodische Funktion:
> Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] heißt p-periodisch,
> wenn [m]f(x+p) = f(x)[/m] für alle [m]x \in \IR[/m] gilt.

[ok]

>  
> Wie würde man diese Definition vorlesen?
>  Eine Funktion f bildet [m]\IR[/m] auf [m]\IR[/m] ab, heißt genau
> p-periodisch, wenn für alle [m]x \in \IR[/m] gilt:
>  Der Funktionswert an Stelle x plus p ist gleich
> dem(selbigen?) Funktionswert an der Stelle x.  (?)

Eine Funktion f von [m]\IR[/m] nach [m]\IR[/m], heißt genau dann
p-periodisch, wenn für alle [m]x[/m] aus [m]\IR[/m] gilt:
Der Funktionswert an Stelle x plus p ist gleich
dem Funktionswert an der Stelle x.  


>  
> b) Benennung der Aussage (siehe Definition)
>  
> Zerlegung der Aussage in Teilaussagen/-formen:
>  
> A: Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist p-periodisch
>  B (x): f(x+p) = f(x) ( Aussageform, daher B(x) )
>  
> Dann gilt: (formale Angabe, inkl. Quantifzierung)
>  [m]A \gdw[/m] Für alle x [m]\in \IR[/m] gilt: B(x)

[ok]

>  
> Negation
>  [m]\neg A \gdw[/m] Es gibt (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m], für das
> gilt: [m]\neg B(x)[/m]
>  
> Negation in Worten:
>  Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist genau dann nicht
> p-periodisch, wenn es (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m] gibt, für
> das gilt: [m]f(x+p) \ne f(x)[/m]

[ok]

>  
> c) Sei [m]x = 2, p = 1[/m] (p = 1, lt. Aufgabenstellung). Dann
> ist: [m]f (2 + 1) = e^3 \approx 20.086[/m] und [m]f (2) = e ^2 = \approx 7.389[/m]
> und damit ist [m]f(2+1) \ne f(2)[/m], d.h. die Funktion f mit [m]f(x) := e^x[/m]
> ist nicht 1-periodisch.

[ok]

>  
>
> Aufgabe 3)
>  
> Def. kausale Funktion:
> Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow \IR[/m] heißt kausal, wenn
> für alle [m]x < 0[/m] gilt [m]f(x) = 0[/m].
>  
> Wie würde man diese Definition vorlesen?
>  Eine Funktion f bildet [m]\IR[/m] auf [m]\IR[/m] ab, heißt genau dann
> kausal, wenn für alle [m]x \in \IR[/m] gilt:
>  Wenn x kleiner ist als 0, dann ist der Funktionswert an
> der Stelle x gleich 0.

[ok]
(bis auf schon bei Aufgabe 1 und 2 geändertes)

>  
> a) Benennung der Aussage (siehe Definition)
>  
> Zerlegung der Aussage in Teilaussagen/-formen:
>  
> A: Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist kausal
>  B: x < 0
>  C: f(x) = 0
>  
> Dann gilt: (formale Angabe, inkl. Quantifzierung)
>  [m]A \gdw[/m] Für alle x [m]\in \IR[/m] gilt: B [mm]\Rightarrow[/mm] C

[ok]

>  
> Negation (De Morgansche Gesetze)
>  [m]\neg A \gdw[/m] Es gibt (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m], für das
> gilt: [m]\neg (B \Rightarrow C) \gdw \neg(\neg B \vee C) \gdw (B \wedge \neg C)[/m]
>  
> (...ist das Äquivalenzzeichen oben zulässig?)

Nein, man schreibt es nicht so in einem hintereinader weg.

Erst:
Negation
[m]\neg A \gdw[/m] Es gibt (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m], für das gilt: [m]\neg (B \Rightarrow C) [/m]

Umformung der Aussage [mm] $\neg [/mm] (B [mm] \Rightarrow [/mm] C)$ mit De Morgansche Gesetze:  
[m]\neg (B \Rightarrow C) \gdw \neg(\neg B \vee C) \gdw (B \wedge \neg C)[/m]

Daraus folgt:
[m]\neg A \gdw[/m] Es gibt (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m], für das
gilt: [m] (B \wedge \neg C)[/m]


>  
> Negation in Worten:
>  Eine Funktion [m]f: \IR \rightarrow\IR[/m] ist genau dann nicht
> kausal, wenn es (mindestens) ein x [m]\in \IR[/m] gibt, für das
> gilt: [m]x < 0 \wedge f(x) \ne 0[/m]

[ok]
(Wobei man noch einige mathematische Zeichen aussprechen würde)

>  
> b) c) Sei [m]x = -2[/m] (siehe Vor.: x < 0). Dann ist: [m]f (-2) = (-2)^2 = 4[/m]
> und damit ist [m]f(2) \ne 0[/m], d.h. die Funktion f mit [m]f(x) := x^2[/m]
> ist nicht gerade.

nicht kausal!
(sonst ok)

>  
>
> Bitte um Feedback bzw. Verbesserungsvorschläge,
> insbesondere was die Schreibweise, Formulierung und
> Vollständigkeit angeht.
>  
> Vielen Dank im voraus!!!

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Negationen von Aussagen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:53 Di 11.03.2014
Autor: gummibaum

Vielen lieben Dank Melli!
Dann habe ich ja nicht sooo viel falsch gemacht ;)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Aussagenlogik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de