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Norm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:05 So 20.04.2014
Autor: Trikolon

Aufgabe
Sei C([0,1])={f|f:[0,1]-->IR stetig} der Vektorraum aller stetigen Funktionen auf dem Intervall [0,1], versehen mit den punktweise Verknüpfungen.
a) Zeige: [mm] ||f||_{[0,1]}=sup [/mm] {|f(x)|; x [mm] \in [/mm] [0,1]} definiert Norm auf C([0,1]).
b) Sei [mm] (f_n)_n [/mm] eine Folge in C([0,1]) und sei [mm] (g_n)_n [/mm] eine Folge stetig diffbarer Funktionen [mm] g_n: [/mm] [0,1]-->IR. Beweise oder widerlege:
(i) Ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}||f_n||_{[0,1]}=0 [/mm]  , so folgt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}=0. [/mm]
(ii) Ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}||g_n||_{[0,1]}=0 [/mm] , so folgt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ||g'_n||_{[0,1]}=0. [/mm]

Zu a) (der Einfachheit halber schreibe ich nicht immer die Einschränkung auf [0,1] hin.)

||f|| [mm] \ge [/mm] 0 klar, denn |f(x)| [mm] \ge [/mm] 0, also ist das sup davon erst recht größer gleich 0.

||f||=0 [mm] \gdw [/mm] sup {|f(x)|; x [mm] \in [/mm] [0,1]} =0 [mm] \gdw [/mm] f=0.

[mm] ||\lambda [/mm] f|| = sup { [mm] |\lambda [/mm] f(x)|; x [mm] \in [/mm] [0,1] } = sup { [mm] |\lambda||f(x)|; [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1] } = [mm] |\lambda| [/mm] sup {|f(x)|; x [mm] \in [/mm] [0,1]} = [mm] |\lambda| [/mm] ||f||

||f+g|| = sup { |f(x)+g(x)|; x [mm] \in [/mm] [0,1] } [mm] \le [/mm] sup {|f(x)|+|g(x)|; x [mm] \in [/mm] [0,1]} [mm] \le [/mm]   sup {|f(x)|; x [mm] \in [/mm] [0,1]} + sup {|g(x)|; x [mm] \in [/mm] [0,1]} =||f||+||g||.

Stimmt das so? An welchen Stellen geht genau die Stetigkeit ein?

b) Hier habe ich nur Vermutungen...
(i) falsch. Ist nicht [mm] f_n=\bruch{2x_n}{(x_n)^2+1} [/mm] ein Gegenbeispiel?
(ii) richtig

        
Bezug
Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 So 20.04.2014
Autor: fred97


> Sei C([0,1])={f|f:[0,1]-->IR stetig} der Vektorraum aller
> stetigen Funktionen auf dem Intervall [0,1], versehen mit
> den punktweise Verknüpfungen.
>  a) Zeige: [mm]||f||_{[0,1]}=sup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

{|f(x)|; x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

[0,1]}

> definiert Norm auf C([0,1]).
>  b) Sei [mm](f_n)_n[/mm] eine Folge in C([0,1]) und sei [mm](g_n)_n[/mm] eine
> Folge stetig diffbarer Funktionen [mm]g_n:[/mm] [0,1]-->IR. Beweise
> oder widerlege:
>  (i) Ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}||f_n||_{[0,1]}=0[/mm]  , so
> folgt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}=0.[/mm]
>  
> (ii) Ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}||g_n||_{[0,1]}=0[/mm] , so
> folgt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} ||g'_n||_{[0,1]}=0.[/mm]
>  Zu
> a) (der Einfachheit halber schreibe ich nicht immer die
> Einschränkung auf [0,1] hin.)
>  
> ||f|| [mm]\ge[/mm] 0 klar, denn |f(x)| [mm]\ge[/mm] 0, also ist das sup davon
> erst recht größer gleich 0.
>  
> ||f||=0 [mm]\gdw[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

sup {|f(x)|; x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

[0,1]} =0 [mm]\gdw[/mm] f=0.

>  
> [mm]||\lambda[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

f|| = sup { [mm]|\lambda[/mm] f(x)|; x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

[0,1] } = sup {

> [mm]|\lambda||f(x)|;[/mm] x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

[0,1] } = [mm]|\lambda|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

sup {|f(x)|; x

> [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

[0,1]} = [mm]|\lambda|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

||f||

>  
> ||f+g|| = sup { |f(x)+g(x)|; x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

[0,1] } [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

sup

> {|f(x)|+|g(x)|; x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

[0,1]} [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

   sup {|f(x)|; x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> [0,1]} + sup {|g(x)|; x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

[0,1]} =||f||+||g||.

>  
> Stimmt das so?



> An welchen Stellen geht genau die Stetigkeit
> ein?

Nirgendwo !

B([0,1])={f|f:[0,1]-->IR beschränkt} kannst Du genauso normieren.


>  
> b) Hier habe ich nur Vermutungen...
>  (i) falsch. Ist nicht [mm]f_n=\bruch{2x_n}{(x_n)^2+1}[/mm] ein
> Gegenbeispiel?

Was soll das denn sein ??????

(i) ist richtig, denn [mm] |\integral_{0}^{1}{f(x) dx}| \le [/mm] ||f||


>  (ii) richtig

Nein. (ii) ist falsch. Betrachte [mm] g_n(x)=\bruch{sin(nx)}{n} [/mm]

FRED


Bezug
                
Bezug
Norm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:28 So 20.04.2014
Autor: Trikolon

Danke schonmal!!

Also Teil a) ist richtig?

Und bei b) (i) Wie würde man hier ansetzen, um das zu beweisen?

Bezug
                        
Bezug
Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:35 So 20.04.2014
Autor: fred97


> Danke schonmal!!
>  
> Also Teil a) ist richtig?

Ja


>  
> Und bei b) (i) Wie würde man hier ansetzen, um das zu
> beweisen?

Für  $ [mm] |\integral_{0}^{1}{f(x) dx}| \le [/mm] $ ||f|| benutze

    |f(x)| [mm] \le [/mm] ||f||  für alle x [mm] \in [/mm] [0,1]  und die Dreiecksungl. für Integrale

FRED




Bezug
                                
Bezug
Norm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:33 Mo 21.04.2014
Autor: Trikolon

Also um ehrlich zu sein, verstehe ich nicht ganz, weshalb ich $ [mm] |\integral_{0}^{1}{f(x) dx}| \le [/mm] ||f|| $ zeigen muss...

Bezug
                                        
Bezug
Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:39 Mo 21.04.2014
Autor: leduart

Hallo
das sollst du benutzen , nicht zeigen!
Gruß leduart

Bezug
        
Bezug
Norm: kurze_Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Mo 21.04.2014
Autor: schlunzbuns1

Hier eine kurze Antwort:
Teil(a) folgt aus den Eigenschaften des Betrages, welcher
wie jede Norm homogen ist und die Dreiecksungleichung
erfüllt, zuzüglich der Definition des Supremums. Es bleibt zu
zeigen, dass nei Norm Null auch das element Null ist, was
hier gleichfalls klar ist.

Teil (b) Erstest Statement richtig, da wie schon erwähnt
wegen analoger Eigenschaften des Integranden
[mm] |\int_{0}^{1} f_n(x) [/mm] dx | [mm] \leq \|f_n \|_\infty [/mm]

Zweites Statement ist falsch. Gegenbeispiel
[mm] g_n(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{n+1} x^{n+1} [/mm]
konvergiert in der Supremumsnorm gegen Null
wegen [mm] \|g_n\|_\infty [/mm] = [mm] \frac{1}{n+1}, [/mm]
aber es  ist [mm] g_n^{'} [/mm] (x) = [mm] x^n [/mm] und damit
[mm] \|g^{'}_n(x)\|_\infty [/mm] = 1

Schöne Grüsse Schlunzbuns

Bezug
                
Bezug
Norm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:09 Mi 23.04.2014
Autor: Trikolon

Also ich versuchs mal zu formulieren:

Weil gilt:
[mm] |\integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}| \le \integral_{0}^{1}{|f_n(x)| dx} \le \integral_{0}^{1}{||f_n(x) || dx} [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}||f_n(x)||=0, [/mm] ist dann auch schon [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}=0. [/mm]

So ungefähr?

Bezug
                        
Bezug
Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 Mi 23.04.2014
Autor: fred97


> Also ich versuchs mal zu formulieren:
>  
> Weil gilt:
> [mm]|\integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}| \le \integral_{0}^{1}{|f_n(x)| dx} \le \integral_{0}^{1}{||f_n(x) || dx}[/mm]
> und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}||f_n(x)||=0,[/mm] ist dann auch
> schon [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}=0.[/mm]
>  
> So ungefähr?

Aber nein !

[mm] |\integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}| \le \integral_{0}^{1}{|f_n(x)| dx} \le \integral_{0}^{1}{||f_n|| dx}=||f_n||. [/mm]

Aus [mm] ||f_n|| \to [/mm] 0 folgt dann [mm] \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx} \to [/mm] 0.

Mach Dir klar, dass [mm] ||f_n(x)|| [/mm] völlig sinnlos ist.

FRED



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