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Forum "Topologie und Geometrie" - Normale einer Hyperebene
Normale einer Hyperebene < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Normale einer Hyperebene: Beweis(idee)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:12 Do 19.05.2011
Autor: Akupunkturnadel

Ich habe folgendes Problem, bei dem ich gerade seit Stunden nicht so recht auf nen formalen Beweis komme :(

Wir betrachten affin unabhängige Vektoren [mm] A^1,...,A^d \in \IR^d. [/mm]

Für die Komponenten der Vektoren gilt:
[mm] A^i_i [/mm] = 0, sowie [mm] A^i_j [/mm] > 0 für alle i [mm] \not= [/mm] j

Bsp: [mm] A^1=(0,1,2)^T, A^2=(1,0,1)^T, A^3=(2,2,0) [/mm]

Meine Behauptung ist, dass für die Normale n der affinen Hülle dieser Punkte (d.h. die Hyperebene, die alle Punkte [mm] A^1,...,A^n [/mm] enthält) folgendes gilt:

n > 0 (komponentenweise) (bzw. natürlich n < 0, wenn man die Normale in die andere Richtung anträgt)

Leider krieg ich irgendwie gerade keine Idee für nen Beweis hin :(

Ich hab mal ein Bild für den drei-dimensionalen Fall in den Anhang gestellt.

[Dateianhang nicht öffentlich]
Bin über sämtliche Kommentare sehr dankbar



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Normale einer Hyperebene: Lösungsvorschlag
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:23 Do 19.05.2011
Autor: Akupunkturnadel

so ... ich hätte jetzt eine Idee ...

Sei [mm] P:=conv(A^1,...A^n). [/mm]

P kann man als Polytop ansehen und damit sich der linearen Optimierung bedienen ...

Kanten des Polytops sind [mm] conv(A^i,A^j) [/mm]


[mm] A^i [/mm] sind Lösungen von linearen Programmen:

min [mm] (e^i)^T [/mm] x
u.d.N. x [mm] \in [/mm] P

Dann gibt es ein v [mm] \in cone(e^i,e^j), [/mm] sodass [mm] conv(A^i,A^j) [/mm] Lösungsmenge von

min v^Tx
u.d.N. x [mm] \in [/mm] P

ist. Das könnte man dann induktiv so fortsetzen, dass man schließlich ein n [mm] \in cone(e^1,...e^d) [/mm] hat, sodass das ganze Polytop P Lösungsmenge von

min n^Tx
u.d.N. x [mm] \in [/mm] P

ist. Damit hätten wir die gesuchte Normale mit echt positiven Komponenten.

Könnte das so passen?


Bezug
        
Bezug
Normale einer Hyperebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:16 Do 19.05.2011
Autor: angela.h.b.


> Wir betrachten affin unabhängige Vektoren [mm]A^1,...,A^d \in \IR^d.[/mm]
>  
> Für die Komponenten der Vektoren gilt:
>  [mm]A^i_i[/mm] = 0, sowie [mm]A^i_j[/mm] > 0 für alle i [mm]\not=[/mm] j

>  
> Bsp: [mm]A^1=(0,1,2)^T, A^2=(1,0,1)^T, A^3=(2,2,0)[/mm]
>  
> Meine Behauptung ist, dass für die Normale n der affinen
> Hülle dieser Punkte (d.h. die Hyperebene, die alle Punkte
> [mm]A^1,...,A^n[/mm] enthält) folgendes gilt:
>  
> n > 0 (komponentenweise) (bzw. natürlich n < 0, wenn man
> die Normale in die andere Richtung anträgt)
>  
> Leider krieg ich irgendwie gerade keine Idee für nen
> Beweis hin :(

Hallo,

[willkommenmr].

Ich denke nicht daß man das wird beweisen können.

Gehen wir in den [mm] \IR^3 [/mm] und nehmen die Punkte

[mm] A_1(0,0,2), A_1(0,-2,0), A_3(2, [/mm] 0, 0).

Diese Punkte spannen die Ebene mit der Gleichung x-y+z=2 auf, ein Normalenvektor dieser Ebene ist [mm] \vektor{1\\-1\\1}, [/mm] und man wird ihn nicht überreden können, nur positive oder nur negative Einträge zu haben.

Oder meinst Du etwas anderes?

Gruß v. Angela

>  
> Ich hab mal ein Bild für den drei-dimensionalen Fall in
> den Anhang gestellt.
>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  Bin über sämtliche Kommentare sehr dankbar
>  
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Normale einer Hyperebene: Korrektur auf Antwort
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:18 Fr 20.05.2011
Autor: Akupunkturnadel

Hallo Angela, danke für deine Antwort.

Dein Beispiel erfüllt die Voraussetzung

[mm] A_i^i=0 [/mm] und vor allem [mm] A_i^j>0 [/mm]

nicht.

Diese Voraussetzung ist natürlich essentiell für meine Behauptung :)

Bezug
        
Bezug
Normale einer Hyperebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:31 Fr 20.05.2011
Autor: angela.h.b.


Hallo,

nimm die Punkte

A(0|2|0)
B(1|0|1)
C(4|2|0).

Die Ebene ist wie zuvor x-y+z=2,

der Normalenvektor enthält pos. und neg. Einträge.

Gruß v. Angela


Bezug
                
Bezug
Normale einer Hyperebene: Korrektur auf Antwort
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:51 Fr 20.05.2011
Autor: Akupunkturnadel

Hallo Angela,

das Beispiel genügt leider immer noch nicht den Voraussetzungen,

da [mm] A_3=C_3 [/mm] = 0 ist

ich fordere, dass auf jeder der Ebenen [mm] {x_i=0} [/mm] genau ein Punkt [mm] A^i [/mm] liegt, d.h. insbesondere, dass kein Punkt auf den Koordinatenachsen liegen darf.

Bezug
        
Bezug
Normale einer Hyperebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:17 Fr 20.05.2011
Autor: angela.h.b.


Weiter geht unser Pingpong:

nimm die Punkte

A(0|2|4)
B(1|0|1)
C(4|2|0).

Die Ebene ist wie zuvor x-y+z=2,

der Normalenvektor enthält pos. und neg. Einträge.

Gruß v. Angela


Bezug
                
Bezug
Normale einer Hyperebene: gelöst, danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:23 Fr 20.05.2011
Autor: Akupunkturnadel

Das PingPong hat ein Ende.

Dank dir vielmals, Angela

auch mal wieder ein Fall für "warum bin ich da nicht selbst draufgekommen" ;)

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