Normalverteilung in 2 Richtung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ich erspare euch die Einzelheiten, denn ich verstehe, wie man auf den Ansatz kommt. (Kurzfassung: QPSK Signalmodulation: Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit eines Symbolfehlers, wenn weißes gaussches rauschen mit varianz [mm] \sigma^2 [/mm] in beiden Richtungen anliegt, als auch eine unbekannte Phasendrehung [mm] \alpha. [/mm] Geben sie das Ergebnis in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] und [mm] \sigma [/mm] an.) |
Hallo,
ich brauche Hilfe, bzw. verstehe nicht warum meine Lösung falsch ist.
Ich komme auf den richtigen Ansatz: [mm] P_{falsch} [/mm] = [mm] 1-P_{richtig} [/mm] = (achtung häßlich):
[mm] 1-\integral_{-\infty}^{0}{\integral_{-\infty}^{0}{\bruch{1}{\sqrt{2*\pi*\sigma^2}}*e^{-\bruch{(x-cos(\beta))^2}{2*\sigma^2}}\bruch{1}{\sqrt{2*\pi*\sigma^2}}*e^{-\bruch{(y-sin(\beta))^2}{2*\sigma^2}} dx}dy}
[/mm]
wobei [mm] \beta [/mm] = [mm] -\pi*0.75+\alpha [/mm] für das QPSK Symbol im linken unteren Quadranten. (Eigentlich unwichtig für meine Frage).
Ich würde jetzt nur gerne wissen, wie ich das Integral löse, da mein Ansatz wohl nicht stimmt.
Ich dachte mir:
Das ist ja die Dichte der Normalverteilung, und der hintere Teil hängt nicht von x ab, also ziehe ich ihn vor das erste Integral und erhalte:
[mm] 1-\integral_{-\infty}^{0}{\bruch{1}{\sqrt{2*\pi*\sigma^2}}*e^{-\bruch{(y-sin(\beta))^2}{2*\sigma^2}}\integral_{-\infty}^{0}{\bruch{1}{\sqrt{2*\pi*\sigma^2}}*e^{-\bruch{(x-cos(\beta))^2}{2*\sigma^2}}dx}dy}, [/mm] womit ich habe:
[mm] 1-\integral_{-\infty}^{0}{\bruch{1}{\sqrt{2*\pi*\sigma^2}}*e^{-\bruch{(y-sin(\beta))^2}{2*\sigma^2}}*\phi(\bruch{-cos(\beta)}{\sigma})dy}
[/mm]
Da der Teil mit der Phifunktion nicht mehr von y abhängt, kann ich ihn vor das Integral ziehen und erhalte analog zu oben:
[mm] 1-\phi(\bruch{-sin(\beta)}{\sigma})*\phi(\bruch{-cos(\beta)}{\sigma})
[/mm]
Das wäre jetzt meiner Meinung nach das Ende.
In der Musterlösung wurde das Integral aber anders aufgelöst, hier kommt raus:
[mm] \phi(\bruch{-cos(\beta)}{\sigma})+\phi(\bruch{-sin(\beta)}{\sigma})-\phi(\bruch{-cos(\beta)}{\sigma})*\phi(\bruch{-sin(\beta)}{\sigma})
[/mm]
Beachte auch, das vorne das 1-... weg ist.
Sofern nun [mm] \phi(\bruch{-cos(\beta)}{\sigma})+\phi(\bruch{-sin(\beta)}{\sigma}) [/mm] nicht 1 ist, verstehe ich nicht, was hier gemacht wurde. Kann mit bitte jemand helfen?
(Falls euch das ganze QPSK-Zeug fremd ist, einfach nicht drüber nachdenken ;) )
Danke
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Schreibe [mm]\varphi[/mm] für die Dichte und [mm]\Phi[/mm] für die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Sonst gibt das ein Durcheinander. Ansonsten hast du meiner Ansicht nach richtig gerechnet und bist zu
[mm]1 - \Phi \left( - \frac{\sin \beta}{\sigma} \right) \cdot \Phi \left( - \frac{\cos \beta}{\sigma} \right)[/mm]
gekommen. Und jetzt beachte die Funktionalgleichung
[mm]\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)[/mm]
Diese wurde offenbar in der Musterlösung verwendet, um den Term weiter umzuformen. Allerdings irritieren mich in der Musterlösung die Minuszeichen in den Argumenten von [mm]\Phi[/mm]. Die gehören da meiner Meinung nach nicht mehr hin.
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